1、-. z.單級倒立擺穩(wěn)定控制直線一級倒立擺系統(tǒng)在忽略了空氣阻力及各種摩擦之后，可抽象成小車和勻質(zhì)擺桿組成的系統(tǒng)，如圖1所示。圖1 直線一級倒立擺系統(tǒng)圖2 控制系統(tǒng)構(gòu)造假設(shè)小車質(zhì)量M =0.5kg，勻質(zhì)擺桿質(zhì)量m=0.2kg，擺桿長度2l =0.6m，*(t)為小車的水平位移，為擺桿的角位移，。控制的目標(biāo)是通過外力(t)使得擺直立向上即。該系統(tǒng)的非線性模型為：，其中。解：非線性模型線性化及建立狀態(tài)空間模型因為在工作點附近對系統(tǒng)進展線性化，所以可以做如下線性化處理：當(dāng)很小時，由cos、sin的冪級數(shù)展開式可知，忽略高次項后，可得cos1，sin，20；因此模型線性化后如下：J+ml2+ml*=mg

2、l (a) ml+(M+m) *=u (b) 其中取系統(tǒng)的狀態(tài)變量為輸出包括小車位移和擺桿的角位移.即*=Y=由線性化后運動方程組得*1=*=*2 *2=*=*3+u*3 =*4 *4=*3+u 故空間狀態(tài)方程如下：*=+u*=+uY= =二、通過Matlab仿真判斷系統(tǒng)的可控與可觀性，并說明其物理意義。1判斷可控性代碼： A=0 1 0 0;0 -2.627 0;0 0 0 1;0 0 31.1818 0; B=0;1.8182;0;-4.5455;P=ctrb(A,B);n=rank(P);運行了得n=4所以P為滿秩，系統(tǒng)能控2判斷可觀性代碼：A=0 1 0 0;0 -2.627 0;0

3、0 0 1;0 0 31.1818 0; B=0;1.8182;0;-4.5455; C=1 0 0 0;0 0 1 0;P=obsv(A,C);n=rank(P);運行了得n=4所以P為滿秩，系統(tǒng)能觀。三、能否通過狀態(tài)反應(yīng)任意配置系統(tǒng)的極點？假設(shè)能，通過Matlab仿真確定反應(yīng)控制規(guī)律K如圖2，使得閉環(huán)極點配置在上。并給出系統(tǒng)在施加一個單位脈沖輸入時狀態(tài)響應(yīng)曲線；答：因為系統(tǒng)完全能控，所以能通過狀態(tài)反應(yīng)任意配置系統(tǒng)的極點。要將閉環(huán)極點配置在上，所以期望特征方程為| QUOTE I(A-BK)|= QUOTE * QUOTE +2*( QUOTE +12+1 = QUOTE 4+5 QUOTE

4、 3+10 QUOTE 2+ QUOTE +4 Matlab求解K如下： A=0 1 0 0;0 0 -2.627 0;0 0 0 1;0 0 31.1818 0; B=0;1.8182;0;-4.5455; J=-1 -2 -1+i -1-i; K=place(A,B,J);運行得：K=-0.089378 -0.22345 -9.0957 -1.1894;未參加極點配置。仿真圖：未進展極點配置仿真電路圖1*的響應(yīng)圖：的響應(yīng)圖：配置后：參加極點配置仿真圖2*的響應(yīng)圖：的響應(yīng)圖：四、用MatLab中的lqr函數(shù)，可以得到最優(yōu)控制器對應(yīng)的K。要求用LQR控制算法控制倒立擺擺動至豎直狀態(tài)，并可以控制

5、倒立擺左移和右移；欲對系統(tǒng)進展最優(yōu)狀態(tài)反應(yīng)設(shè)計，及小化性能指標(biāo)為： J= QUOTE dt編寫matalab程序如下：A=0 1 0 0;00 -2.627 0;0 0 0 1;0 0 31.1818 0;B=0;1.8182;0;-4.5455;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;0*=1;y=1;Q=* 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 y 0; 0 0 0 0;R=1;G=lqr(A,B,Q,R);A1=(A-B*G);B1=B;C1=C;D1=D;t=0:0.01:5;U=zeros(size(t);*0=0.1 0 0.1 0;Y,*=lsim(A1,B1,C1,D1,

6、U,t,*0);plot(t,Y);legend(小車,倒立擺);運行可得：G=-1 -1.5495 -18.68 -3.4559由圖分析可得調(diào)節(jié)時間很長，所以增加Q的比重，將上程序中的*,y改為*=150,y=150.運行可得：G=-12.247 -9.3413 -41.934 -7.7732比擬可得，控制效果明顯改善。但反應(yīng)增益變大，意味著控制作用變強，消耗能量變大。將G放入系統(tǒng)中，進展simulink仿真可得：仿真電路圖：仿真結(jié)果：*的響應(yīng)圖：的響應(yīng)圖：五、寫出本次仿真實驗的心得體會。本實驗，從數(shù)學(xué)建模到仿真系統(tǒng)的搭建，再到加進控制環(huán)節(jié)進展實時控制，最后得出結(jié)果的過程中，參考了大量的資料，通過比照整合，設(shè)計出了適合自己的一套實驗方法：倒立擺數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)局部：首先用線性化數(shù)學(xué)模型，接著用動態(tài)系統(tǒng)空間狀態(tài)方程法導(dǎo)出狀態(tài)方程系數(shù)矩陣，然后用MATLAB對系統(tǒng)進展可控可觀判斷及進展幾點配置，參加配置后在Simulink軟件上進展系統(tǒng)仿真。最后通過matlab求解線性二次型最優(yōu)控制的G矩陣，然后參加形同進展Simulink仿真。通過本實驗，掌握了倒立擺仿真的整個過程，熟悉了MATLAB的仿真軟件Simulink的使用，也對系統(tǒng)控制有了