1、3.3.1二元一次不等式表示的平面區(qū)域江蘇省太湖高級中學(xué) 214125執(zhí)教：翟洪亮（江蘇省高中數(shù)學(xué)特級教師）教學(xué)目標(biāo)：1.了解二元一次不等式的幾何意義2.會畫出二元一次不等式表示的平面區(qū)域 3.會用“選點(diǎn)法”確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域教學(xué)重點(diǎn)：確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域以及由給出的平面區(qū)域?qū)懗鰧?yīng)的二元一次不等式教學(xué)難點(diǎn)：能用轉(zhuǎn)化法和選點(diǎn)法確定二元一次不等式所表示的區(qū)域教學(xué)方法：啟發(fā)式教學(xué)法教材分析：本節(jié)課是安排在一元二次不等式之后，二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題的第一節(jié)課，從實(shí)例問題情景出發(fā)，結(jié)合圖形讓學(xué)生感受二元一次不等式的幾何意義，然后提升到“選點(diǎn)法”判斷二元一次不等

2、式表示的平面區(qū)域，并上升到“口訣”的層面上，整個(gè)過程旨在加強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想.學(xué)生分析：江蘇省太湖高級中學(xué)是江蘇省四星級重點(diǎn)高中，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，思維、運(yùn)算能力比較強(qiáng)，有助于本課教學(xué)的開展教學(xué)過程：1.1創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情教師：首艘國產(chǎn)航母于4月26日正式下水后,受到了海內(nèi)外媒體的巨大關(guān)注，這是自美國、俄羅斯、英國、法國、意大利和西班牙之后，第七個(gè)能自制航母的國家，這是令我們中國人感到驕傲的一件大事，這是國力強(qiáng)大的象征，這是新中國崛起的標(biāo)志！我們今天的學(xué)生承擔(dān)著民族復(fù)興的重任，要為早日實(shí)現(xiàn)中國夢在而努力學(xué)習(xí)現(xiàn)在請大家思考下面問題:在建造國產(chǎn)航母“001”時(shí)需要許多巨大的鋼架，為了按

3、期完工，每天至少需要40根高質(zhì)量的鋼柱，國內(nèi)只有甲乙兩個(gè)廠有能力生產(chǎn)這樣的鋼柱，甲鋼廠和乙鋼廠每間車間的日生產(chǎn)量分別是5根和8根，但是兩個(gè)廠每天總共能投入生產(chǎn)的車間至多6間，那么兩個(gè)鋼廠各提供多少車間才能滿足每天的需求呢？如果設(shè)甲乙兩個(gè)鋼廠各提供個(gè)車間才能滿足每天的需求，應(yīng)該滿足什么條件？哪位同學(xué)來回答一下？學(xué)生： 應(yīng)該滿足教師：為了解決這個(gè)問題我們首先來研究數(shù)對的范圍問題，今天我們一起學(xué)習(xí)：二元一次不等式表示的平面區(qū)域設(shè)計(jì)意圖 通過生活實(shí)例，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地看待問題習(xí)慣.同時(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，要樹立為國家富強(qiáng)，民族振興而努力讀書. 1.2聯(lián)想直線方程，類比區(qū)域表示教師：不等是以等為界限的，

4、首先我們來研究二元一次等式表示的平面區(qū)域，而二元一次等式的幾何意義是表示一條直線一條直線把它所在平面分成幾部分？學(xué)生：直線把它所在平面分成三部分：直線、直線的上方、直線的下方教師：分得很細(xì)，在直線方程的五種形式中比較常用的兩種形式是：斜截式和一般式首先我們來研究斜截式，如直線，哪位同學(xué)能結(jié)合直線與方程之間的關(guān)系談?wù)勀銓Ρ匦?中直線的方程與方程的直線的理解？ 學(xué)生：直線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；反過來，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上，所以我們稱直線是方程的直線，方程是直線的方程教師：我們已經(jīng)能用方程表示直線，那么對于直線上方的平面區(qū)域如何表示呢？學(xué)生：用不等式教師：能給出理由嗎？學(xué)生： 1.在

5、的上方任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作平行軸的直線交直線于點(diǎn)，則因?yàn)?，所?所以直線上方任取一的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合不等式；2.反之，適合不等式的任意一對有序?qū)崝?shù)構(gòu)成的點(diǎn)，令，則是在直線上，線段平行軸，且點(diǎn)是在點(diǎn)的上方，所以點(diǎn)是在直線上方的平面區(qū)域內(nèi) 所以直線上方的平面區(qū)域?yàn)椴坏仁奖硎镜钠矫鎱^(qū)域，不等式是直線上方的平面區(qū)域的不等式教師：與直線與方程的關(guān)系類似，直線的方程與方程的直線，同樣也有平面區(qū)域的不等式與不等式的平面區(qū)域如何表示直線下方的平面區(qū)域？學(xué)生：用不等式表示直線下方的平面區(qū)域，即直線下方的平面區(qū)域?qū)?yīng)不等式 教師：能給出理由嗎？學(xué)生： 1.在的下方任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作平行軸的直線交直線于點(diǎn)，則因?yàn)?，所?所

6、以直線下方任取一的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合不等式；2.反之，適合不等式的任意一對有序?qū)崝?shù)構(gòu)成的點(diǎn)，令，則是在直線上，線段平行軸，且點(diǎn)是在點(diǎn)的下方，所以點(diǎn)是在直線下方的平面區(qū)域內(nèi) 所以直線下方的平面區(qū)域?yàn)椴坏仁奖硎镜钠矫鎱^(qū)域設(shè)計(jì)意圖 不等是以等為界限的，通過類比，由二元一次等式的幾何意義是表示一條直線，極其自然地類比到由二元一次不等式的幾何意義表示平面區(qū)域1.3運(yùn)用定義作圖，激發(fā)學(xué)生靈感教師：哪位同學(xué)能畫出不等式表示的平面區(qū)域？學(xué)生：因?yàn)槭切∮谔枺氏葘⒅本€畫為虛線，再用斜線標(biāo)出下方區(qū)域教師：你是怎么想到的？學(xué)生：由上可知，不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合不等式，所以只要取一點(diǎn)即可判定直線哪一側(cè)是

7、不等式表示的平面區(qū)域，不妨取原點(diǎn)，因?yàn)樵c(diǎn)的坐標(biāo)適合不等式，而原點(diǎn)在直線的下方，所以直線下方的平面區(qū)域即為不等式表示的平面區(qū)域 教師：這個(gè)方法好，選點(diǎn)定側(cè)！任選一個(gè)不在直線上的點(diǎn)，檢驗(yàn)它的坐標(biāo)是否滿足不等式若適合，則該點(diǎn)所在的一側(cè)即為不等式表示的平面區(qū)域；否則，直線的另一側(cè)即為不等式所表示的平面區(qū)域，這種方法稱為“選點(diǎn)法”若原點(diǎn)不在直線上，我們常常通過原點(diǎn)坐標(biāo)來判斷，實(shí)現(xiàn)以點(diǎn)代面（半平面）的效果！現(xiàn)在誰能畫出不等式表示的平面區(qū)域？ 學(xué)生：首先將直線畫為實(shí)線利用選點(diǎn)法，不妨取原點(diǎn)，因?yàn)樵c(diǎn)的坐標(biāo)不適合不等式，所以不等式表示的區(qū)域在直線上方的平面區(qū)域,含邊界直線 設(shè)計(jì)意圖 由二元一次不等式與平面區(qū)

8、域的相互關(guān)系，提升到“選點(diǎn)法”，通過選點(diǎn)定側(cè)，實(shí)現(xiàn)以點(diǎn)代面（半平面）的效果1.4探究一般情形，發(fā)現(xiàn)分布規(guī)律教師：通過上述探究，我們知道不等式表示直線上方的平面區(qū)域；不等式表示直線下方的平面區(qū)域不等式表示直線上方的平面區(qū)域,含邊界直線；不等式表示直線下方的平面區(qū)域那么對于直線上方的平面區(qū)域?qū)?yīng)的不等式是什么呢？直線下方的平面區(qū)域?qū)?yīng)的不等式又是什么呢？學(xué)生：直線上方的平面區(qū)域?qū)?yīng)的不等式是；直線下方的平面區(qū)域?qū)?yīng)的不等式是教師：不等式與斜率正負(fù)有關(guān)嗎？能否總結(jié)出規(guī)律呢？學(xué)生：與斜率正負(fù)無關(guān)，可簡記為口訣“大上小下”教師：口訣必須順口，不如改為“上大下小”，這樣也好記！我們已經(jīng)解決用不等式表示上方

9、或下方的平面區(qū)域問題設(shè)計(jì)意圖 由“選點(diǎn)法”乘勢而上，從用一點(diǎn)上升到無點(diǎn)“口訣”的高度上1.5轉(zhuǎn)化問題形式，完善分布規(guī)律教師：那么對于直線方程的一般式上方或下方的平面區(qū)域所對應(yīng)的不等式又是怎樣的呢？請大家探討一下，各學(xué)習(xí)小組成員之間可以互相研究，然后推薦組內(nèi)發(fā)言人學(xué)生：直線方程之間可以相互轉(zhuǎn)化，故有：當(dāng)時(shí)，不等式可化為，而不等式表示直線上方的區(qū)域，所以當(dāng)時(shí)，不等式，表示直線上方的區(qū)域；同樣可得，當(dāng)時(shí)，不等式，表示直線下方的區(qū)域當(dāng)時(shí)，若，易知不等式，表示直線右方的區(qū)域；不等式，表示直線左方的區(qū)域當(dāng)時(shí)，若，易知不等式，表示直線左方的區(qū)域；不等式，表示直線右方的區(qū)域當(dāng)時(shí)，不等式可化為，而不等式表示直線

10、下方的區(qū)域，所以當(dāng)時(shí)，不等式，表示直線下方的區(qū)域；同樣當(dāng)時(shí)，不等式，表示直線上方的區(qū)域教師：化生為熟，通過轉(zhuǎn)化使問題得到解決若，不等式表示區(qū)域很直觀；若，因?yàn)榘训南禂?shù)化為1，所以要除以，必須考慮值的正負(fù)若，不等式就表示直線的上方的區(qū)域；不等式就表示直線的下方的區(qū)域，口訣“上大下小”仍然成立若 ，恰好相反的口訣變?yōu)椤吧闲∠麓蟆保≡O(shè)計(jì)意圖 因?yàn)橹本€的形式之間可以相互轉(zhuǎn)化，通過轉(zhuǎn)化，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，在運(yùn)用推廣“口訣”的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)對“口訣”的完善1.6加強(qiáng)口訣運(yùn)用，提高解題效率教師：現(xiàn)在你能快速將下列各圖中的平面區(qū)域（陰影部分）用不等式表示出來？xyox=-3xyox=6圖1圖2xy

11、o6x+5y =22圖3xy = x o圖4y哪位同學(xué)來回答一下？學(xué)生：1.；2.；3.；4.教師：由平面區(qū)域能給出相應(yīng)的不等式，反過來，也要求我們能根據(jù)所給的不等式，指出它在相應(yīng)直線的哪一側(cè)？現(xiàn)在請大家思考下列問題，哪位同學(xué)來回答一下？1不等式表示直線的 平面區(qū)域2不等式表示直線的 平面區(qū)域3不等式表示直線的 平面區(qū)域4不等式表示直線的 平面區(qū)域?qū)W生：利用口訣，顯然有：1.上方；2.下方；3. 下方；4. 上方.教師：當(dāng)然，我們也可以采用“選點(diǎn)法”來定側(cè)！如在1中取點(diǎn)，也能得到是表示直線的上方平面區(qū)域請大家思考：若點(diǎn)在直線的上方，求的取值范圍.哪位同學(xué)能到黑板上給出解答？學(xué)生：因?yàn)辄c(diǎn)在直線的

12、上方，所以，解得.教師：若點(diǎn)和點(diǎn)在直線的兩側(cè)，求的取值范圍.哪位同學(xué)能到黑板上給出解答？學(xué)生：因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)在直線的兩側(cè)，所以，解得或.教師：若變?yōu)椋阂阎?，若直線與線段有公共點(diǎn)，求的取值范圍. 哪位同學(xué)能給出解答？學(xué)生：直線與線段有公共點(diǎn)，可分為兩種情況：1.點(diǎn)和點(diǎn)在直線的兩側(cè)；2. 直線經(jīng)過點(diǎn)或.所以，解得或.設(shè)計(jì)意圖 通過練習(xí)，使用相關(guān)知識解決簡單問題，達(dá)到強(qiáng)化所學(xué)新知的目的，提高教學(xué)效率課堂小結(jié)：教師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域?qū)W生：1.首選口訣：上大下?。惶貏e B0時(shí)，上小下大；2.常用“選點(diǎn)法” ，通過選點(diǎn)定側(cè)，實(shí)現(xiàn)以點(diǎn)代面（半平面）。特別地，當(dāng)邊

13、界不過原點(diǎn)時(shí)，常選原點(diǎn)；3.畫直線區(qū)域時(shí)要分清直線是用虛線還是實(shí)線.設(shè)計(jì)意圖 培養(yǎng)學(xué)生語言表達(dá)能力，加深學(xué)生對所學(xué)知識的認(rèn)識，達(dá)到鞏固所學(xué)新知的目的1.教學(xué)實(shí)錄1.1創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情教師：首艘國產(chǎn)航母于4月26日正式下水后,受到了海內(nèi)外媒體的巨大關(guān)注，這是自美國、俄羅斯、英國、法國、意大利和西班牙之后，第七個(gè)能自制航母的國家，這是令我們中國人感到驕傲的一件大事，這是國力強(qiáng)大的象征，這是新中國崛起的標(biāo)志！我們今天的學(xué)生承擔(dān)著民族復(fù)興的重任，要為早日實(shí)現(xiàn)中國夢在而努力學(xué)習(xí)現(xiàn)在請大家思考下面問題:在建造國產(chǎn)航母“001”時(shí)需要許多巨大的鋼架，為了按期完工，每天至少需要40根高質(zhì)量的鋼柱，國

14、內(nèi)只有甲乙兩個(gè)廠有能力生產(chǎn)這樣的鋼柱，甲鋼廠和乙鋼廠每間車間的日生產(chǎn)量分別是5根和8根，但是兩個(gè)廠每天總共能投入生產(chǎn)的車間至多6間，那么兩個(gè)鋼廠各提供多少車間才能滿足每天的需求呢？如果設(shè)甲乙兩個(gè)鋼廠各提供個(gè)車間才能滿足每天的需求，應(yīng)該滿足什么條件？哪位同學(xué)來回答一下？學(xué)生： 應(yīng)該滿足教師：為了解決這個(gè)問題我們首先來研究數(shù)對的范圍問題，今天我們一起學(xué)習(xí)：二元一次不等式表示的平面區(qū)域設(shè)計(jì)意圖 通過生活實(shí)例，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地看待問題習(xí)慣.同時(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，要樹立為國家富強(qiáng)，民族振興而努力讀書. 1.2聯(lián)想直線方程，類比區(qū)域表示教師：不等是以等為界限的，首先我們來研究二元一次等式表示的平面區(qū)域，

15、而二元一次等式的幾何意義是表示一條直線一條直線把它所在平面分成幾部分？學(xué)生：直線把它所在平面分成三部分：直線、直線的上方、直線的下方教師：分得很細(xì)，在直線方程的五種形式中比較常用的兩種形式是：斜截式和一般式首先我們來研究斜截式，如直線，哪位同學(xué)能結(jié)合直線與方程之間的關(guān)系談?wù)勀銓Ρ匦?中直線的方程與方程的直線的理解？ 學(xué)生：直線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；反過來，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上，所以我們稱直線是方程的直線，方程是直線的方程教師：我們已經(jīng)能用方程表示直線，那么對于直線上方的平面區(qū)域如何表示呢？學(xué)生：用不等式教師：能給出理由嗎？學(xué)生： 1.在的上方任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作平行軸的直線交直線于

16、點(diǎn)，則因?yàn)?，所?所以直線上方任取一的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合不等式；2.反之，適合不等式的任意一對有序?qū)崝?shù)構(gòu)成的點(diǎn)，令，則是在直線上，線段平行軸，且點(diǎn)是在點(diǎn)的上方，所以點(diǎn)是在直線上方的平面區(qū)域內(nèi) 所以直線上方的平面區(qū)域?yàn)椴坏仁奖硎镜钠矫鎱^(qū)域，不等式是直線上方的平面區(qū)域的不等式教師：與直線與方程的關(guān)系類似，直線的方程與方程的直線，同樣也有平面區(qū)域的不等式與不等式的平面區(qū)域如何表示直線下方的平面區(qū)域？學(xué)生：用不等式表示直線下方的平面區(qū)域，即直線下方的平面區(qū)域?qū)?yīng)不等式 教師：能給出理由嗎？學(xué)生： 1.在的下方任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作平行軸的直線交直線于點(diǎn)，則因?yàn)?，所?所以直線下方任取一的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合不等式；2

17、.反之，適合不等式的任意一對有序?qū)崝?shù)構(gòu)成的點(diǎn)，令，則是在直線上，線段平行軸，且點(diǎn)是在點(diǎn)的下方，所以點(diǎn)是在直線下方的平面區(qū)域內(nèi) 所以直線下方的平面區(qū)域?yàn)椴坏仁奖硎镜钠矫鎱^(qū)域設(shè)計(jì)意圖 不等是以等為界限的，通過類比，由二元一次等式的幾何意義是表示一條直線，極其自然地類比到由二元一次不等式的幾何意義表示平面區(qū)域1.3運(yùn)用定義作圖，激發(fā)學(xué)生靈感教師：哪位同學(xué)能畫出不等式表示的平面區(qū)域？學(xué)生：因?yàn)槭切∮谔?，故先將直線畫為虛線，再用斜線標(biāo)出下方區(qū)域教師：你是怎么想到的？學(xué)生：由上可知，不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合不等式，所以只要取一點(diǎn)即可判定直線哪一側(cè)是不等式表示的平面區(qū)域，不妨取原點(diǎn)，因?yàn)樵c(diǎn)

18、的坐標(biāo)適合不等式，而原點(diǎn)在直線的下方，所以直線下方的平面區(qū)域即為不等式表示的平面區(qū)域 教師：這個(gè)方法好，選點(diǎn)定側(cè)！任選一個(gè)不在直線上的點(diǎn)，檢驗(yàn)它的坐標(biāo)是否滿足不等式若適合，則該點(diǎn)所在的一側(cè)即為不等式表示的平面區(qū)域；否則，直線的另一側(cè)即為不等式所表示的平面區(qū)域，這種方法稱為“選點(diǎn)法”若原點(diǎn)不在直線上，我們常常通過原點(diǎn)坐標(biāo)來判斷，實(shí)現(xiàn)以點(diǎn)代面（半平面）的效果！現(xiàn)在誰能畫出不等式表示的平面區(qū)域？ 學(xué)生：首先將直線畫為實(shí)線利用選點(diǎn)法，不妨取原點(diǎn)，因?yàn)樵c(diǎn)的坐標(biāo)不適合不等式，所以不等式表示的區(qū)域在直線上方的平面區(qū)域,含邊界直線 設(shè)計(jì)意圖 由二元一次不等式與平面區(qū)域的相互關(guān)系，提升到“選點(diǎn)法”，通過選點(diǎn)定

19、側(cè)，實(shí)現(xiàn)以點(diǎn)代面（半平面）的效果1.4探究一般情形，發(fā)現(xiàn)分布規(guī)律教師：通過上述探究，我們知道不等式表示直線上方的平面區(qū)域；不等式表示直線下方的平面區(qū)域不等式表示直線上方的平面區(qū)域,含邊界直線；不等式表示直線下方的平面區(qū)域那么對于直線上方的平面區(qū)域?qū)?yīng)的不等式是什么呢？直線下方的平面區(qū)域?qū)?yīng)的不等式又是什么呢？學(xué)生：直線上方的平面區(qū)域?qū)?yīng)的不等式是；直線下方的平面區(qū)域?qū)?yīng)的不等式是教師：不等式與斜率正負(fù)有關(guān)嗎？能否總結(jié)出規(guī)律呢？學(xué)生：與斜率正負(fù)無關(guān)，可簡記為口訣“大上小下”教師：口訣必須順口，不如改為“上大下小”，這樣也好記！我們已經(jīng)解決用不等式表示上方或下方的平面區(qū)域問題設(shè)計(jì)意圖 由“選點(diǎn)法”

20、乘勢而上，從用一點(diǎn)上升到無點(diǎn)“口訣”的高度上1.5轉(zhuǎn)化問題形式，完善分布規(guī)律教師：那么對于直線方程的一般式上方或下方的平面區(qū)域所對應(yīng)的不等式又是怎樣的呢？請大家探討一下，各學(xué)習(xí)小組成員之間可以互相研究，然后推薦組內(nèi)發(fā)言人學(xué)生：直線方程之間可以相互轉(zhuǎn)化，故有：當(dāng)時(shí)，不等式可化為，而不等式表示直線上方的區(qū)域，所以當(dāng)時(shí)，不等式，表示直線上方的區(qū)域；同樣可得，當(dāng)時(shí)，不等式，表示直線下方的區(qū)域當(dāng)時(shí)，若，易知不等式，表示直線右方的區(qū)域；不等式，表示直線左方的區(qū)域當(dāng)時(shí)，若，易知不等式，表示直線左方的區(qū)域；不等式，表示直線右方的區(qū)域當(dāng)時(shí)，不等式可化為，而不等式表示直線下方的區(qū)域，所以當(dāng)時(shí)，不等式，表示直線下方的區(qū)域；同樣當(dāng)時(shí)，不等式，表示直線上方的區(qū)域教師：化生為熟，通過轉(zhuǎn)化使問題得到解決若，不等式表示區(qū)域很直觀；若，因?yàn)榘训南禂?shù)化為1，所以要除以，必須考慮值的正負(fù)若，不等式就表示直線的上方的區(qū)域；不等式就表示直線的下方的區(qū)域，口訣“上大下小”仍然成立若 ，恰好相反的口訣變?yōu)椤吧闲∠麓蟆?！設(shè)計(jì)意圖 因?yàn)橹本€的形式之間可以相互轉(zhuǎn)化，通過轉(zhuǎn)化，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，在運(yùn)用推廣“口訣”的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)對“口訣”的完善1.6加強(qiáng)口訣運(yùn)用，提高解題效率教師：現(xiàn)在你能快速將下列各圖中的平面區(qū)域（陰影部分）用不等式表示出