1、關于電磁場與電磁波教案第一張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月主要內容邊值問題的分類邊值問題的唯一性定理鏡像法分離變量法有限差分法第二張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月4.1 邊值問題的分類邊界條件：所討論區(qū)域邊界上電位的指定值（邊值）來確定積分常數(shù)。邊值問題：通過微分方程組和相關邊界條件描述的問題。靜態(tài)場問題通常分為兩大類：1.分布型問題由已知場源（電荷、電流）分布，直接從場的積分公式求空間各點的場分布2.邊值型問題已知場量在場域邊界上的值，求場域內的場分布靜態(tài)場邊值問題的解法可分為：1.解析法給出的結果是場量的解析表示式，如鏡像法、分離變量法2.數(shù)值法通過數(shù)值計算，給出場量的

2、一組離散數(shù)據(jù)，如有限差分法、有限元法第三張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月邊界條件的類型：實際邊值問題的邊界條件分為三類：1.已知整個邊界上的電位函數(shù)，稱為“狄利克萊”邊界條件2.已知整個邊界上的電位法向導數(shù)，稱為“諾伊曼”邊界條件3.已知一部分邊界上的電位函數(shù)和另一部分邊界上的電位法向導數(shù)，稱為混合邊界條件第四張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月格林公式兩式相減，得格林第二恒等式第五張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月4.2 唯一性定理邊值問題的求解是偏微分方程的求解，同時要考慮解得存在性、唯一性和穩(wěn)定性。已知整個邊界上的電位函數(shù)（第一類邊界條件），則場域的解答是唯一的。

3、已知整個邊界上的電位法向導數(shù)（第二類邊界條件），則場域的解答是唯一的。已知一部分邊界上的電位函數(shù)和另一部分邊界上的電位法向導數(shù)（第三類邊界條件），則場域的解答是唯一的。第六張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月唯一性定理證明（用格林公式，反證法）第七張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月用于求解分布在導體附近的電荷產生的場。4.3 鏡像法第八張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 幾個實例：qq非均勻感應電荷等效電荷非均勻感應電荷產生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代 求解位于接地導體板附近的點電荷產生的電位 接地導體球附近有一個點電荷，如圖。q非均勻感應電荷q等效電荷非均勻

4、感應電荷產生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代第九張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 鏡像法 (method of images) 實質：是以一個或幾個等效電荷代替邊界的影響，將原來具有邊界的非均勻空間變成無限大的均勻自由空間，從而使計算過程大為簡化。 依據(jù)：惟一性定理。因此，等效電荷的引入必須維持原來的邊界條件不變，從而保證原來區(qū)域中靜電場沒有改變，這是確定等效電荷的大小及其位置的依據(jù)。這些等效電荷通常處于鏡像位置，因此稱為鏡像電荷（the image charge），而這種方法稱為鏡像法。 關鍵：確定鏡像電荷的大小及其位置。鏡像電荷位置選擇原則：1. 鏡像電荷必須位于求解區(qū)域

5、以外2. 鏡像電荷的引入不能改變原問題的邊界條件 局限性：僅僅對于某些特殊的邊界以及特殊分布的電荷才有可能確定其鏡像電荷。 第十張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月1. 點電荷對無限大接地的導體平面的鏡像 介質 導體 q r P 介質 q r P hh 介質 以一個處于鏡像位置的點電荷代替邊界的影響，使整個空間變成均勻的介電常數(shù)為 的空間，則空間任一點 P 的電位由 q 及 q 共同產生，即 因為無限大接地導體平面的電位為零，求得4.3.1 接地導體平面的鏡像第十一張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 電荷守恒：當點電荷q 位于無限大的導體平面附近時，導體表面將產生異性的感應電荷，

6、因此，上半空間的電場取決于原先的點電荷及導體表面上的感應電荷?？梢?，上述鏡像法的實質是以一個異性的鏡像點電荷代替導體表面上異性的感應電荷的作用。根據(jù)電荷守恒原理，鏡像點電荷的電量應該等于這些感應電荷的總電量，讀者可以根據(jù)導體表面電荷密度與電場強度或電位的關系證明這個結論。 半空間等效：上述等效性僅對于導體平面的上半空間成立，因為在上半空間中，源及邊界條件未變。第十二張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 線電荷對無限大接地導體平面的鏡像鏡像電荷的密度和位置分別為 介質 導體 r P 介質 r P hh 介質 第十三張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 3. 點電荷對相交半無限大接

7、地導體平面的鏡像 如圖，兩半無限大接地導體平面垂直相交。 要滿足在導體平面上電位為零，則必須引入3個鏡像電荷。如圖所示。 對于非垂直相交的兩導體平面構成的邊界，若夾角為 ，則所有鏡像電荷數(shù)目為2n-1個。第十四張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月q 對于半無限大導體平面形成的劈形邊界應用鏡像法時，僅當這種導體劈的夾角等于 的整數(shù)分之一時，才可求出其鏡像電荷。為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入幾個鏡像電荷。例如，夾角為 的導電劈需引入 5 個鏡像電荷。/3/3q第十五張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例：真空中，電量為1C的點電荷位于點P(0,0,1)處，xOy平面是一個無限

8、大的接地導體板。求z軸上電位為10000V的點的坐標。解：根據(jù)鏡像法，可知上半空間的電位是xzOP第十六張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月fqo1. 點電荷對接地導體球面的鏡像 若導體球接地，導體球的電位為零。為了等效導體球邊界的影響，令鏡像點電荷q 位于球心與點電荷 q 的連線上。那么，球面上任一點電位為 可見，為了保證球面上任一點電位為零，必須選擇鏡像電荷為 4.3.2 導體球面的鏡像Padrqr第十七張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 為了使鏡像電荷具有一個確定的值，必須要求比值 對于球面上任一點均具有同一數(shù)值。由上圖可見，若要求三角形 OPq 與 OqP 相似，則 常數(shù)

9、。由此獲知鏡像電荷應為鏡像電荷離球心的距離d 應為 這樣，根據(jù) q 及 q 即可計算球外空間任一點的電場強度。 fqoPadrqr第十八張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 若導體球不接地，則位于點電荷一側的導體球表面上的感應電荷為負值，而另一側表面上的感應電荷為正值。導體球表面上總的感應電荷應為零值。因此，對于不接地的導體球，若引入上述的鏡像電荷 q 后，為了滿足電荷守恒原理，必須再引入一個鏡像電荷q，且必須令 顯然，為了保證球面邊界是一個等位面，鏡像電荷 q” 必須位于球心。事實上，由于導體球不接地，因此，其電位不等零。由q 及q在球面邊界上形成的電位為零，因此必須引入第二個鏡像電荷

10、q” 以提供一定的電位。qfOPadrq2. 點電荷對不接地導體球面的鏡像 第十九張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 真空中一點電荷Q位于導體球附近。導體球半徑為a，點電荷距離球心距離為d（da）。求： 導體球接地時空間電位分布。 解:當導體球接地時，由鏡像法，原問題可等效為空間只存在Q和鏡像電荷q。易知： 例 則球外空間任意點 處電位為：導體球接地，因此球內空間電位為0，即：第二十張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月1. 點電荷對電介質分界平面的鏡像問題：點電荷位于兩種電介質分界面上方h，求空間電位分布。分析：在介質分界面上將存在極化面電荷，空間電位由極化面電荷和電荷q共同產生

11、。解決問題方法：鏡像法，即用鏡像電荷等效極化電荷作用。qhO1 2 zqhO1 zhqPR1 R1 區(qū)域1的電位由q和位于區(qū)域2中的鏡像電荷q共同產生hO2 PR2 z 區(qū)域2的電位由q和位于區(qū)域1中的鏡像電荷 共同產生4.3.3 介質平面的鏡像第二十一張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月qhO1 zhqPR1 R1hO2 zPR2 第二十二張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月在z=0面上應用電位邊界條件第二十三張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2. 線電流對磁介質分界平面的鏡像hzx 2 1IO問題：線電流位于兩種磁介質分界面上方h，求空間磁場分布。分析：在介質分界面上將

12、存在磁化電流，空間中的磁場由磁化電流和直線電流I共同產生。解決問題方法：鏡像法，即用鏡像線電流等效磁化電流作用。 區(qū)域1的磁場由I和位于區(qū)域2中的鏡像線電流I共同產生 區(qū)域2的的磁場由I和位于區(qū)域1中的鏡像線電流I”共同產生第二十四張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月rhhPzx 1IH1H2OrI 1hzx 2 1IOhPzx 2I+IOr 2為了維持邊界條件不變，求出的上半空間及下半空間的場在邊界上應滿足恒定磁場的邊界條件，即 。由此求得第二十五張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月hPzx 2I+IOr” 2x 1 1rhhPzIH1H2H1H2HOrI第二十六張，PPT共三十

13、五頁，創(chuàng)作于2022年6月例 設一根載有恒定電流 I 的無限長導線與無限大的理想導磁平面平行放置，如圖示。導線與平面間的距離為 h ，試求上半空間任一點磁場強度。 Xhyx = 0IO第二十七張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月Xhyx = 0IOH1rhhPyx 0IH2OrI 0解 采用鏡像法。設在鏡像位置放置一根無限長的恒定電流 I ，那么上半空間任一點合成磁場強度為 I= I 根據(jù)則第二十八張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月因此合成磁場為 rhhPyx 0IH1H2OrI 0直角坐標與圓柱坐標系第二十九張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月使用鏡像法時必須注意：邊界必須是無限大，或者是具有球或圓柱對稱性。為了保證待求場區(qū)域內原方程成立，鏡像電荷不能出現(xiàn)在待求場區(qū)域內。鏡像電荷的確定必須保證原有的邊界條件全部滿足。第三十張，PPT共三十五頁，創(chuàng)作于2022年6月分離變量法是數(shù)學物理方法中的一種。它要求：1.給定的邊界與一個適當?shù)淖鴺讼档淖鴺嗣嫦嘀睾?，或分段重合?.其次在此坐標系中，待求偏微分方程的