1、PAGE PAGE 12考點(diǎn)規(guī)范練37空間直線、平面的垂直一、基礎(chǔ)鞏固1.若平面平面,平面平面=直線l,則()A.垂直于平面的平面一定平行于平面B.垂直于直線l的直線一定垂直于平面C.垂直于平面的平面一定平行于直線lD.垂直于直線l的平面一定與平面,都垂直2.設(shè)為平面,a,b為兩條不同的直線,則下列敘述正確的是()A.若a,b,則abB.若a,ab,則bC.若a,ab,則bD.若a,ab,則b3.如圖,在四面體D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()A.平面ABC平面ABDB.平面ABD平面BDCC.平面ABC平面BDE,且平面ADC平面BDED.平面AB

2、C平面ADC,且平面ADC平面BDE4.如圖,在四面體ABCD中,AB=CD,M,N分別是BC,AD的中點(diǎn),若AB與CD所成的角的大小為30,則MN和CD所成的角的大小為()A.15B.75C.30或60D.15或755.已知l,m,n是三條不同的直線,是不同的平面,則的一個(gè)充分條件是()A.l,m,且lmB.l,m,n,且lm,lnC.m,n,mn,且lmD.l,lm,且m6.如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,BC1AC,則C1在底面ABC上的射影H必在()A.直線AB上B.直線BC上C.直線AC上D.ABC內(nèi)部7.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,且底面各

3、邊都相等,M是PC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M滿足時(shí),平面MBD平面PCD.(只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可)8.如圖,在棱長(zhǎng)為2a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AC的中點(diǎn),則平面MBC1與平面CBC1的夾角的正切值為.9.設(shè),是空間兩個(gè)不同的平面,m,n是平面及外的兩條不同直線.從“mn;n;m”中選取三個(gè)作為條件,余下一個(gè)作為結(jié)論,寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題:.(用序號(hào)表示)10.如圖,已知PA矩形ABCD所在平面,M,N分別是AB,PC的中點(diǎn).(1)求證:MNCD;(2)若PDA=45,求證:MN平面PCD.11.已知三棱錐P-ABC,PA=PB=AB=3,BC=4,AC=5,D為A

4、B的中點(diǎn).(1)若PC=3,求異面直線PD與BC所成的角的余弦值;(2)若二面角P-AB-C為30,求AC與平面PAB所成的角的正弦值.二、綜合應(yīng)用12.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,PA平面ABC,ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,若球O的體積為823,則直線PC與平面PAB所成的角的正切值為()A.31111B.21111C.31010D.101013.如圖,直線PA垂直于O所在的平面,ABC內(nèi)接于O,且AB為O的直徑,點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn).給出下列結(jié)論:BCPC;OM平面APC;點(diǎn)B到平面PAC的距離等于線段BC的長(zhǎng).其中正確的是()A.B.C.D.14.(多選)如圖所示,

5、已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA平面ABC,PA=2AB,給出下列結(jié)論正確的是()A.PBAEB.平面PAE平面PDEC.異面直線PD與BC所成角為30D.直線PD與平面PAB所成角的余弦值為10415.如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,E,F分別為線段CD,AB上的點(diǎn),且BFBA=CECD=13,現(xiàn)將ADE沿AE翻折成四棱錐P-ABCE,且二面角P-AE-B的大小為23.(1)證明:AEPF;(2)求直線PB與平面PAE所成角的正弦值.16.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,BAC=90,且異面直線A1B與B1C1所成的角等于60,設(shè)AA1=a,(1

6、)求a的值;(2)求直線B1C1到平面A1BC的距離.三、探究創(chuàng)新17.如圖,在ABC中,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),O為DE的中點(diǎn),AB=AC=25,BC=4.將ADE沿DE折起到A1DE的位置,使得平面A1DE平面BCED,F為A1C的中點(diǎn),如圖.圖圖(1)求證:EF平面A1BD;(2)求證:平面A1OB平面A1OC;(3)在線段OC上是否存在點(diǎn)G,使得OC平面EFG?說(shuō)明理由.考點(diǎn)規(guī)范練37空間直線、平面的垂直1.D對(duì)于A,垂直于平面的平面與平面平行或相交,故A錯(cuò);對(duì)于B,垂直于直線l的直線與平面垂直、斜交、平行或在平面內(nèi),故B錯(cuò);對(duì)于C,垂直于平面的平面與直線l平行或相交,故C錯(cuò);易

7、知D正確.2.B如圖(1),知A錯(cuò);如圖(2)知C錯(cuò);如圖(3),aa,a,ba,知D錯(cuò);由線面垂直的性質(zhì)定理知B正確.(1)(2)(3)3.C因?yàn)锳B=CB,且E是AC的中點(diǎn),所以BEAC.同理有DEAC,于是AC平面BDE.因?yàn)锳C在平面ABC內(nèi),所以平面ABC平面BDE.又因?yàn)锳C平面ACD,所以平面ACD平面BDE,故選C.4.D如圖,取BD中點(diǎn)E,連接ME,NE.M,N,E分別為BC,AD,BD的中點(diǎn),MECD,NEAB.異面直線AB與CD所成的角為30,MEN=30或150.AB=CD,ME=NE,NME=75或15.MECD,MN和CD所成的角為NME,MN和CD所成的角的大小為

8、15或75.5.Dm,lm,l.又l,故選D.6.A由BC1AC,又BAAC,得AC平面ABC1,所以平面ABC平面ABC1,所以C1在底面ABC上的射影H在直線AB上.7.DMPC(或BMPC)連接AC.PC在底面ABCD上的射影為AC,且ACBD,BDPC.當(dāng)DMPC(或BMPC)時(shí),即有PC平面MBD,而PC平面PCD,平面MBD平面PCD.8.2連接MD,則M是BD的中點(diǎn),連接DC1,取BC1的中點(diǎn)E,連接CE,DE,如圖.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2a,則BD=DC1=BC1=22a,CC1=BC=2a,又E是BC1的中點(diǎn),DEBC1,CEBC1.DEC或其補(bǔ)角就是

9、平面DBC1與平面CBC1的夾角,即平面MBC1與平面CBC1的夾角.又DC平面CBC1,DCCE.在RtDCE中,DC=2a,CE=2a,tanDEC=2.故平面MBC1與平面CBC1的夾角的正切值為2.9.(或)逐一判斷.若成立,則m與的位置關(guān)系不確定,故錯(cuò)誤;同理也錯(cuò)誤;與均正確.10.證明(1)如圖,連接AC,AN,BN,PA平面ABCD,AC平面ABCD,PAAC.在RtPAC中,N為PC的中點(diǎn),AN=12PC.PA平面ABCD,BC平面ABCD,PABC.又BCAB,PAAB=A,BC平面PAB.PB平面PAB,BCPB.在RtPBC中,BN為斜邊PC上的中線,BN=12PC.AN

10、=BN.ABN為等腰三角形.又M為AB的中點(diǎn),MNAB.ABCD,MNCD.(2)如圖,連接PM,MC,PDA=45,PAAD,AP=AD.四邊形ABCD為矩形,AD=BC,AP=BC.又M為AB的中點(diǎn),AM=BM.PAM=CBM=90,PAMCBM.PM=CM.又N為PC的中點(diǎn),MNPC.由(1)知,MNCD,又PCCD=C,MN平面PCD.11.解(1)如圖,取AC的中點(diǎn)E,連接DE,PE.D為AB的中點(diǎn),DE為ABC的中位線,DEBC.PDE或其補(bǔ)角為PD與BC所成的角.由已知可得PE=112,DE=2,PD=332,cosPDE=PD2+DE2-PE22PDDE=274+4-11423

11、322=439.PD與BC所成角的余弦值為439.(2)如圖,在PDE中,過(guò)點(diǎn)E作EHPD于點(diǎn)H,PA=PB,D為AB的中點(diǎn),PDAB.AB=3,BC=4,AC=5,ABC=90.又DEBC,ABDE,PDE為二面角P-AB-C的平面角,即PDE=30.AB平面PDE,EH平面PDE,EHAB.又EHPD,PDAB=D,EH平面PAB.HAE為AC與平面PAB所成的角.在RtAHE中,EH=1,AE=52,sinHAE=25.AC與平面PAB所成角的正弦值為25.12.A如圖,設(shè)ABC的中心為E,M為AB的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O作ODPA,則D為PA的中點(diǎn).由題意可得CM平面PAB,CPM是直線PC與平

12、面PAB所成的角.ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,OD=AE=23CM=233,43OP3=823,OP=2,PA=2PD=2OP2-OD2=263.PM=PA2+AM2=333.tanCPM=CMPM=31111.13.B對(duì)于,PA平面ABC,BC平面ABC,PABC.AB為O的直徑,BCAC.又PAAC=A,BC平面PAC.又PC平面PAC,BCPC;對(duì)于,點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn),AB為O的直徑,OMPA.PA平面PAC,OM平面PAC,OM平面PAC;對(duì)于,由知BC平面PAC,線段BC的長(zhǎng)即是點(diǎn)B到平面PAC的距離.故都正確.14.ABD連接BD,根據(jù)正六邊形性質(zhì)得ABAE,因?yàn)镻A平面AB

13、C,AE平面ABC,所以PAAE.因?yàn)镻A,AB為平面PAB內(nèi)兩相交直線,所以AE平面PAB.因?yàn)镻B平面PAB,所以PBAE,故A正確;根據(jù)正六邊形性質(zhì)得DEAE,因?yàn)镻A平面ABC,DE平面ABC,所以PADE.因?yàn)镻A,AE為平面PAE內(nèi)兩相交直線,所以DE平面PAE.因?yàn)镈E平面PDE,所以平面PAE平面PDE,故B正確;根據(jù)正六邊形性質(zhì)得ADBC,所以PDA為異面直線PD與BC所成角,因?yàn)镻A=2AB=AD,所以PDA=4,即異面直線PD與BC所成角為45,故C錯(cuò)誤;因?yàn)锳E平面PAB,BDAE,所以BD平面PAB,所以DPB為直線PD與平面PAB所成角,因?yàn)镻A=2AB,所以PD=

14、2PA,PB=52PA,所以cosDPB=PBPD=522=104,故D正確.15.(1)證明連接DF交AE于點(diǎn)M,連接EF,如圖.在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,BFBA=CECD=13,四邊形ADEF為邊長(zhǎng)為2的正方形.AEDF,且DM=MF=2.在四棱錐P-ABCE中,AEPM,AEMF,PMMF=M,AE平面PMF.又PF平面PMF,AEPF.(2)解設(shè)點(diǎn)F到平面PAE的距離為d1,點(diǎn)B到平面PAE的距離為d,由(1)知PMF是二面角P-AE-B的平面角,PMF=23.AE平面PMF,AE平面PAE,平面PMF平面PAE,過(guò)點(diǎn)F作FHPM于點(diǎn)H,平面PMF平面PAE=PM,FH平

15、面PAE.由(1)知在PMF中,PM=MF=2,FPM=6,PF=6,d1=FH=12PF=62.AFAB=23,d=32d1=364.在PAF中,有PF2=PA2+FA2-2PAFAcosPAF,在PAB中,有PB2=PA2+AB2-2PAABcosPAF,解得PB=10.sin=dPB=31520,直線PB與平面PAE所成角的正弦值為31520.16.解(1)BCB1C1,A1BC或其補(bǔ)角就是異面直線A1B與B1C1所成的角.如圖,連接A1C,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,A1BAA1CA,A1B=A1C.A1BC為銳角,即A1BC=60.A1BC為等邊三角形.AB=A

16、C=1,BAC=90,BC=2,A1B=1+a2=2,a=1.(2)易知B1C1平面A1BC,此時(shí)有直線B1C1上的任意一點(diǎn)到平面A1BC的距離等于點(diǎn)B1到平面A1BC的距離,設(shè)其為d.連接B1C,CAA1A,CAAB,AA1AB=A,CA平面A1B1B,并且AC=1.A1B1B的面積:SA1B1B=1211=12,A1BC的面積:SA1BC=1222sin60=32.VB1-A1BC=VC-A1B1B,13SA1B1BAC=13SA1BCd,d=SA1B1BACSA1BC=33,直線B1C1到平面A1BC的距離為33.17.(1)證明如圖,取線段A1B的中點(diǎn)H,連接HD,HF.因?yàn)樵贏BC中,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),所以DEBC,DE=12BC.因?yàn)镠,F分別為A1B,A1C的中點(diǎn),所以HFBC,HF=12BC,所以HFDE,HF=DE,所以四邊形DEFH為平行四邊形,所以EFHD.因?yàn)镋F平面A1BD,HD平面A1BD,所以EF平面A1BD.(2)證明在ABC中,因?yàn)镈,E分別為AB,AC的中點(diǎn),AB=AC,所以AD=AE.所以A1D=A1E.又O為DE的中點(diǎn),所以A1ODE.因?yàn)槠矫鍭1DE平面BCED,且A1O平面A1DE,平面A1DE平面BCED=DE,所以A1O平面BCE