9.4.1-2二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)_第1頁
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文檔簡介

1、9.4 線性微分方程例1 彈簧振動(dòng)問題9.4.1 二階線性微分方程(1)僅考慮彈性恢復(fù)力 設(shè)有一重物鉛直懸掛于彈簧下端,處于平衡狀態(tài).現(xiàn)將重物自平衡位置O 向下拉開一段距離后突然松開，則重物在彈性力的作用下，將圍繞平衡位置上下振動(dòng)。 設(shè)重物質(zhì)量為m，振動(dòng)過程中物體對(duì)平衡位置O 的位移為y(t)。 由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律：無阻尼自由振動(dòng)方程有阻尼自由振動(dòng)方程（2）若在運(yùn)動(dòng)過程中還受到與速度v成正比的阻力由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律：即即（1）（2）（3）若有另一周期性的外力作用于物體由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律：即有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)方程（3）(1),(2),(3)均可歸結(jié)為：(4)(4)式稱為二階線性微分方程稱為齊次線性方

2、程稱為非齊次線性方程稱為二階常系數(shù)線性方程否則， 稱為變系數(shù)線性方程定理1 （解的存在唯一性定理）對(duì)于二階線性微分方程若p(x),q(x),f(x)在a,b上連續(xù)，則對(duì)任意的初始點(diǎn)在a,b 的解存在且唯一。一般地，n 階線性微分方程：性質(zhì)1 （線性性質(zhì)）A. 二階齊次線性方程 解的結(jié)構(gòu)9.4.2 二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定義：是另一個(gè)的常數(shù)倍，線性相關(guān)；例如：定理2 （二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)）推廣：n個(gè)函數(shù)線性相關(guān)定理3 （n階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)）問題: 如何找出方程的n個(gè)線性無關(guān)的解?B. 二階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)2 非齊次方程的任意兩個(gè)特解之差是對(duì)應(yīng)的齊次方程的解。性質(zhì)3 非齊次方程的一個(gè)特解與對(duì)應(yīng)的齊次方程的解之和仍為非齊次方程的解。證明：定理4 二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)求二階線性非齊次方程解的步驟：推廣 n階非齊次線性微分方程的通解構(gòu)造小 結(jié)二階齊次線性微分方程解的構(gòu)造n 階齊次線性微分方程解的構(gòu)

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