1、（1）排列組合公式 從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。 從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。（2）加法和乘法原理加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來(lái)完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來(lái)完成，則這件事可由m+n 種方法來(lái)完成。乘法原理（兩個(gè)步驟分別不能完成這件事）：mn某件事由兩個(gè)步驟來(lái)完成，第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由n 種方法來(lái)完成，則這件事可由mn 種方法來(lái)完成。（3）一些常見(jiàn)排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）對(duì)立事件（至少有一個(gè)）順序問(wèn)題（4）隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)

2、，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱(chēng)這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱(chēng)為隨機(jī)事件。（5）基本事件、樣本空間和事件在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱(chēng)為基本事件，用來(lái)表示?；臼录娜w，稱(chēng)為試驗(yàn)的樣本空間，用表示。一個(gè)事件就是由中的部分點(diǎn)（基本事件）組成的集合。通常用大寫(xiě)字母A，B，C，表示事件，它們是的子集。為必然事件，為不可能事件。不可能事件（）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（

3、）的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的關(guān)系與運(yùn)算關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：如果同時(shí)有，則稱(chēng)事件A與事件B等價(jià)，或稱(chēng)A等于B：A=B。A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：AB，或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱(chēng)為A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者，它表示A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生的事件。A、B同時(shí)發(fā)生：AB，或者AB。AB=，則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生，稱(chēng)事件A與事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A稱(chēng)為事件A的逆事件，或稱(chēng)A的對(duì)立事件，記為。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙?duì)立。運(yùn)算： 結(jié)合率：A(B

4、C)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率： ，（7）概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，為事件，對(duì)每一個(gè)事件都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，若滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：1 0P(A)1， 2 P() =13 對(duì)于兩兩互不相容的事件，有常稱(chēng)為可列（完全）可加性。則稱(chēng)P(A)為事件的概率。（8）古典概型1 ，2 。設(shè)任一事件，它是由組成的，則有P(A)= =（9）幾何概型若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無(wú)限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時(shí)樣本空間中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來(lái)描述，則稱(chēng)此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對(duì)任一事件A，。其中L為幾何度量（

5、長(zhǎng)度、面積、體積）。（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)0時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng)BA時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng)A=時(shí)，P()=1- P(B)（12）條件概率定義 設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)0，則稱(chēng)為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為。條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式：更一般地，對(duì)事件A1，A2，An，若P(A1A2An-1)0，則有。（14）獨(dú)立性?xún)蓚€(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件、滿(mǎn)足，

6、則稱(chēng)事件、是相互獨(dú)立的。若事件、相互獨(dú)立，且，則有若事件、相互獨(dú)立，則可得到與、與、與也都相互獨(dú)立。必然事件和不可能事件與任何事件都相互獨(dú)立。與任何事件都互斥。多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿(mǎn)足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿(mǎn)足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨(dú)立。對(duì)于n個(gè)事件類(lèi)似。（15）全概公式設(shè)事件滿(mǎn)足1兩兩互不相容，2，則有。（16）貝葉斯公式設(shè)事件，及滿(mǎn)足1 ，兩兩互不相容，0，1，2，2 ，則，i=1，2，n。此公式即為貝葉斯公式。，（，），通常叫先驗(yàn)概率。，（，），

7、通常稱(chēng)為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。（17）伯努利概型我們作了次試驗(yàn)，且滿(mǎn)足每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，發(fā)生或不發(fā)生；次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗(yàn)稱(chēng)為伯努利概型，或稱(chēng)為重伯努利試驗(yàn)。用表示每次試驗(yàn)發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率為，用表示重伯努利試驗(yàn)中出現(xiàn)次的概率，。知識(shí)點(diǎn)第一章 隨機(jī)事件與概率一、教學(xué)要求 1理解隨機(jī)事件的概念，了解隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間的概念，掌握事件之間的關(guān)系與運(yùn)算 2了解概率的各種定義，掌握概率的基本性質(zhì)并能運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行概率計(jì)算 3理解條件概

8、率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式，并能運(yùn)用這些公式進(jìn)行概率計(jì)算 4理解事件的獨(dú)立性概念，掌握運(yùn)用事件獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算 5掌握貝努里概型及其計(jì)算，能夠?qū)?shí)際問(wèn)題歸結(jié)為貝努里概型，然后用二項(xiàng)概率計(jì)算有關(guān)事件的概率 本章重點(diǎn)：隨機(jī)事件的概率計(jì)算二、知識(shí)要點(diǎn) 1隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間 具有下列三個(gè)特性的試驗(yàn)稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)： (1) 試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行； (2) 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但事先知道每次試驗(yàn)所有可能的結(jié)果； (3) 每次試驗(yàn)前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn) 試驗(yàn)的所有可能結(jié)果所組成的集合為樣本空間，用表示，其中的每一個(gè)結(jié)果用表示，稱(chēng)為樣本空間中的樣本點(diǎn)，記作 2

9、隨機(jī)事件 在隨機(jī)試驗(yàn)中，把一次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生、而在大量重復(fù)試驗(yàn)中卻呈現(xiàn)某 種規(guī)律性的事情稱(chēng)為隨機(jī)事件(簡(jiǎn)稱(chēng)事件)通常把必然事件(記作)與不可能事件(記作)看作特殊的隨機(jī)事件 3*事件的關(guān)系及運(yùn)算 (1) 包含：若事件發(fā)生，一定導(dǎo)致事件發(fā)生，那么，稱(chēng)事件包含事件，記作(或) (2) 相等：若兩事件與相互包含，即且，那么，稱(chēng)事件與相等，記作 (3) 和事件：“事件A與事件B中至少有一個(gè)發(fā)生”這一事件稱(chēng)為A與B的和事件，記作；“n個(gè)事件中至少有一事件發(fā)生”這一事件稱(chēng)為的和，記作（簡(jiǎn)記為） (4) 積事件：“事件A與事件B同時(shí)發(fā)生”這一事件稱(chēng)為A與B的積事件，記作(簡(jiǎn)記為)；“n個(gè)事件同時(shí)

10、發(fā)生”這一事件稱(chēng)為的積事件，記作（簡(jiǎn)記為或) (5) 互不相容：若事件A和B不能同時(shí)發(fā)生，即，那么稱(chēng)事件A與B互不相容(或互斥)，若n個(gè)事件中任意兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，即(1ij幾)，那么，稱(chēng)事件 互不相容 (6) 對(duì)立事件：若事件A和B互不相容、且它們中必有一事件發(fā)生，即且，那么，稱(chēng)A與B是對(duì)立的事件A的對(duì)立事件(或逆事件)記作 (7) 差事件：若事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生，那么，稱(chēng)這個(gè)事件為事件A與B的差事件，記作(或) (8) 交換律：對(duì)任意兩個(gè)事件和B有，(9) 結(jié)合律：對(duì)任意事件A，B，C有， (10) 分配律：對(duì)任意事件A，B，C有， (11) 德摩根（De Morgan）法則：對(duì)任

11、意事件A和B有, . 4頻率與概率的定義 (1) 頻率的定義 設(shè)隨機(jī)事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生了次，則比值n稱(chēng)為隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率，記作，即 . (2) 概率的統(tǒng)計(jì)定義 在進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，頻率在一個(gè)穩(wěn)定的值(0m0 構(gòu)造水平檢驗(yàn)的拒絕域單側(cè)分位數(shù)H0：m=m0；H1：mm0 構(gòu)造水平檢驗(yàn)的拒絕域單側(cè)分位數(shù)H0：m=m0；H1：mm0 構(gòu)造水平檢驗(yàn)的拒絕域單側(cè)分位數(shù)c2檢驗(yàn)。當(dāng)m未知時(shí)，單正態(tài)總體方差的檢驗(yàn) (1) 列出問(wèn)題，即明確原假設(shè)和備選假設(shè)。先設(shè)m未知，檢驗(yàn)其中m未知。(2) 基于的估計(jì)，提出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量(3) 對(duì)給定水平，構(gòu)造水平檢驗(yàn)的拒絕域其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)分位點(diǎn)。(4) 基于數(shù)據(jù)，算出的觀察值，如則拒絕，否則只能接受.因此檢驗(yàn)使用統(tǒng)計(jì)量c2，稱(chēng)之為c2-檢驗(yàn)。學(xué)習(xí)要點(diǎn)本章內(nèi)容涉及概念及方法兩大部分，要求理解和掌握假設(shè)檢驗(yàn)的一些基本概念，如兩類(lèi)錯(cuò)誤概率，否定論證原理，顯著水平。弄清顯著水平檢驗(yàn)的確切含義，掌握單正態(tài)總體檢驗(yàn)的基本