1、數學模型概論 廣州中醫(yī)藥大學數學模型課程教師簡介:田振明(講師)經濟與管理學院數學教研室(經管樓210室)33194795(H) ; 39358502(O學模型課程簡介我們的目的:1 開拓學生的視野，增進對世界的認識,了解專業(yè)以外的世界與經濟社會;2 準備選一部分同學參加每年一次的全國大學生數學建模競賽;數學模型教學大鋼課程內容提綱及學時安排（總課時：36學時） 第一章 數學模型概論 9學時 第二章 初等數學模型的理論與方法 6學時 第三章 優(yōu)化數學的應用模型 6學時 第四章 代數模型的理論與方法 6學時 第五章 離散數學模型 6學時 第六章 微分方程的數學模型 3學

2、時數學模型對學生的要求1 不限專業(yè)，不限年級。2 想學, 好學, 敢學, 能學。3 考試方式: 考勤+開卷考試 緒論1 現狀： 數學模型是一門新興的學科，20世紀70年代初誕生于英、美等現代工業(yè)國家。在短短幾十年的歷史瞬間輻射至全球大部分國家和地區(qū)。80年代初，我國高等院校也陸續(xù)開設了數學建模課程，隨著數學建模教學活動（包括數學建模課程、數學建模競賽和數學（建模）試驗課程等）的開展，這門課越來越得到重視。原因：一是由于新技術特別是計算機技術的飛速發(fā)展，大量的實際問題需要用計算機來解決，而計算機與實際問題之間需要數學模型來溝通。二是社會對大學生的要求越來越高 ，大學生畢業(yè)后要適應社會的需求，一到

3、工作崗位就能創(chuàng)造價值。2 課程特點很強的實用性：教材的內容來自于實際。知識的廣泛性：依賴于各方面的基礎知識。內容的趣味性：有些問題就象是做游戲，引人入勝。教學方式的多樣性：教師講授方式，小組討論方式， 學生報告方式，課堂教學方式，課外教學方式等。3 教學目的培養(yǎng)學生解決實際問題的綜合能力。1）“雙向翻譯”能力 2）運用數學思想進行綜合分析能力3）結合其他專業(yè)特別是應用計算機解決問題的能力4）觀察力和想象力 5）提高撰寫科研論文的能力6）團結協作的精神4 教學用書與參考書1田振明,數學模型,廣州中醫(yī)藥大學數學教研室,2006年1月參考書:2 姜啟源,謝金星,葉俊.數學模型(第三版).高等教育出版

4、社. 數學模型（Mathematical Model） 是用數學符號、數學式子、程序、圖形等對實際課題 本質屬性的抽象而又簡潔的刻劃，它或能解釋某些客觀現象，或能預測未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某一現象的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略或較好策略。 數學建模（Mathematical Modeling） 應用知識從實際課題中抽象、提煉出數學模型的過程。1.1 數學模型與數學建模 數學模型：1）近藤次郎（日）的定義：數學模型是將現象的特征或本質給以數學表述的數學關系式。它是模型的一種。2）本德（美）的定義：數學模型是關于部分現實世界和為一種特殊目的而作的一個抽象的簡化的數學結構。3）姜啟源（中）的定義

5、：是指對于現實世界的某一特定對象，為了某個特定的目的，做出一些必要的簡化和假設，運用 適當的數學工具得到一個數學結構。數學結構：是指數學符號、數學關系式、數學命題、圖形圖表等，這些基于數學思想與方法的數學問題?？傊瑪祵W模型是對實際問題的一種抽象，基于數學理論和方法，用數學符號、數學關系式、數學命題、圖形圖表等來刻畫客觀事物的本質屬性與其內在聯系。古希臘時期：“數理是宇宙的基本原理”文藝復興時期：應用數學來闡明現象“進行嘗試”微積分法的產生，使得數學與世界密切聯系起來，用公式、圖表、符號反映客觀世界越來越廣泛，越來越精確。費馬（P.Fermal 1601-1665）用變分法表示“光沿著所需時間

6、最短的路徑前進”牛頓（Newton 1642-1727）將力學法則用單純的數學式表達，如，牛頓第二 定律：結合開普勒三定律得出萬有引力定律 方法論: “推測(prediction)”在數學模型研究中的地位-基本形式：“若A則B”（If-A-then-B） (不同的前提條件,得到的結論(結果)是不同的.) -規(guī)格（凡事皆有規(guī)律） 來自一套理論 可檢驗： （1）可錯；（2）可觀察 -檢驗 -再提升、一般化數學建模的分析方法 數學建模的分析方法 約束條件是重點：簡化真實最蠢的是解釋不存在的現象數學模型解釋：觀察、問題、提出前提是真實的并可操作的假說、檢驗、一般化汽車與它的安全設施.快餐店現象(麥當勞

7、、肯德基、火鍋店)與其自助餐；金幣掉在大街上，將會發(fā)生什么？切蛋糕：技術、人、規(guī)則食堂的規(guī)則。舉例 1、兩個男孩各騎一輛自行車，從相距2O英里（1英里合1.6093千米）的兩個地方，開始沿直線相向騎行。在他們起步的那一瞬間，一輛自行車車把上的一只蒼蠅，開始向另一輛自行車徑直飛去。它一到達另一輛自行車車把，就立即轉向往回飛行。這只蒼蠅如此往返，在兩輛自行車的車把之間來回飛行，直到兩輛自行車相遇為止。如果每輛自行車都以每小時1O英里的等速前進，蒼蠅以每小時15英里的等速飛行，那么，蒼蠅總共飛行了多少英里？例 1答案:每輛自行車運動的速度是每小時10英里，兩者將在1小時后相遇于2O英里距離的中點。蒼

8、蠅飛行的速度是每小時15英里，因此在1小時中，它總共飛行了15英里。許多人試圖用復雜的方法求解這道題目。他們計算蒼蠅在兩輛自行車車把之間的第一次路程，然后是返回的路程，依此類推，算出那些越來越短的路程。但這將涉及所謂無窮級數求和，這是非常復雜的高等數學。據說，在一次雞尾酒會上，有人向約翰.馮.諾伊曼（John von Neumann, 19031957,20世紀最偉大的數學家之一。）提出這個問題，他思索片刻便給出正確答案。提問者顯得有點沮喪，他解釋說，絕大多數數學家總是忽略能解決這個問題的簡單方法，而去采用無窮級數求和的復雜方法。例 2 有一列長為100米的隊伍正在行進中, 位于隊尾的通信員要

9、去隊頭送信, 當他從隊尾到達隊頭再返回隊尾時,整個隊伍恰好前進了100米,問這位通信員實際共走了多少米?(假設隊伍與通信員的速度都是恒速的)答案: 100 (1+ ) 例（萬有引力定律的發(fā)現 ） 十五世紀中期 ，哥白尼 提出了震驚世界的 日心說。丹麥著名的實驗天文學 家第谷花了二十多年時間 觀察紀錄下了當 時已發(fā)現的五大 行星的運動情況 。第谷的學生和助手 開普勒對這些資料進行了九年時間的分 析計算后 得出著名的Kepler三定律。牛頓根據開普勒三定律和牛頓第二定律，利用微積分方法推導出牛頓第三定律即 萬有引力定律。1.行星軌道是一 個橢圓， 太陽位于此橢圓的一個焦 點上。 2.行星在單位時間

10、內 掃過的 面積不變。3.行星運行周期的平方正比 于橢圓長半軸的三次方 ， 比例系數不隨行星而 改變 （絕對常數）開普勒三大定律 這其中必 定是某一 力學規(guī)律 的反映，哼哼，我 要找出它。 如圖，有橢圓方程 :矢徑所掃過的面 積A的微分為:由開普勒第二定 律:常數立即得出:即:橢圓面積由此得出常數簡單推導如下：行星r太陽我們還需算出行星的加速度，為此需要建立 兩種 不同的坐標架。第一個是固定的，以太陽為坐標原點，沿長軸方向的單位向量記 為i,沿短軸方向的單位向量記 為j，于是：進而有 加速度以行星為坐標原點建立活動架標，其兩個正交的單位向量分別是因此得出由于也就是說行星的加速度為由開普勒第三定

11、律知為常數。若記那么就導出著名的 萬有引力定律：再將橢圓方程 兩邊微分兩次，得將前面得到的結果和焦參數代入，即得 1.了解問題的實際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數據資料。 2.在明確建模目的，掌握必要資料的基礎上，通過對資料的分析計 算， 找出起主要作用的因素，經必要的精煉、簡化，提出若干符合客觀實際的假設。 3.在所作假設的基礎上，利用適當的數學工具去刻劃各變量之間的關系，建立相應的數學結構 即建立數學模型。 4.模型求解。 5.模型的分析與檢驗。 在難以得出解析解時，也應當借助 計算機 求出數值解。 1.2 數學建模的一般步驟實體信息(數據)假設建模求解驗證應用1.3 數學模型的分

12、類分類標準具體類別對某個實際問題了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中變量的特征連續(xù)型模型、離散型模型或確定性模型、隨機型模型等建模中所用的數學方法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、優(yōu)化模型等研究課題的實際范疇人口模型、生 態(tài)系統模型 、交通流模型、經 濟模型、 基因模型等數學建模實踐的 每一步中都 蘊含著能力上的 鍛煉，在調查研究階段，需 要用到觀察能力、分析能力和數據處理能力等。在提出假設 時，又需要用到 想象力和歸納 簡化能力。 在真正開始自己的研究之前，還應當盡可能先了解一下前人或別人的工作，使自己的工 作成為別人研究工作 的繼續(xù)而不是別人工作的重復，你可以把某些已知的研

13、究結果用作你的假設，去探索新的奧秘。因此我們還應當學會在盡可能短的時間 內查到并學會我想應用的知識的本領。 還需要你多少要有點 創(chuàng)新的能力。這種能力不是生來就有的，建模實踐就為你提供了一個培養(yǎng)創(chuàng)新能力的機會。 1.4 數學建模與能力的培養(yǎng) 開設數學建模課的主要目的為了提高學 生的綜合素質，增強 應用數學知識 解決實際問 題的本領。 在最近幾年里，我校學生都在只參加了半年左右的學習和實踐后，就在全國大學生數學建模競賽中交出了非常出色的參賽論文，奪得了二等獎5項（2006年國家級二等獎與省級一等獎各一項,省級二等獎與三等獎各三項）、三等獎十幾項的好成績。例1 某人平時下班總是按預定時間到達某處，然

14、然后他妻子開車接他回家。有一天，他比平時提早了三十分鐘到達該處，于是此人就沿著妻子來接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他比平時提前了十分鐘到家，問此人共步行了多長時間？ 1.5 一些簡單實例 似乎條件不夠哦 。 換一種想法，問題就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍載著他開往會合地點，那么這一天他就不會提前回家了。提前的十分鐘時間從何而來？ 顯然是由于節(jié)省了從相遇點到會合點，又從會合點返回相遇點這一段路的緣故，故由相遇點到會合點需開5分鐘。而此人提前了三十分鐘到達會合點，故相遇時他已步行了二十五分鐘。 請思考一下，本題解答中隱含了哪些假設 ？附例: 某人家住T市在他鄉(xiāng)工作，每天下班后

15、乘火車于6時抵達T市車站，它的妻子駕車準時到車站接他回家。一日他提前下班搭早一班火車于5時半抵達T市車站，隨即步行回家，它的妻子像往常一樣駕車前來，在半路上遇到他接回家時，發(fā)現比往常提前了10分鐘。問他步行了多長時間？車站家5：30相遇早10鐘5分鐘5分鐘6：005：55共走了25分鐘。例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。問：在什么條件下，可以保證途中至少存在一地，此人在兩天中的同一時間到達該地。分析 本題多少 有點象 數學中 解的存在 性條件 及證明，當 然 ，這里的情況要簡單得多。 假如我們換一種想法，把第二天的返回改變成另一人在同一天由B去A，問題就化為在什

16、么條件下，兩人至少在途中相遇一次，這樣結論就很容易得出了：只要任何一人的到達時間晚于另一人的出發(fā)時間，兩人必會在途中相遇。 （請自己據此給出嚴格證明） 練習1 某甲早8時從山下旅店出發(fā)沿一條路徑上山，下午5時到達山頂并留宿；次日早8時沿同一條路徑下山，下午5時回到旅店。某乙說，甲必在兩天中的同一時刻經過路徑中的同一地點。為什么？AB甲乙37支球隊進行冠軍爭奪賽，每輪比賽中出場的每兩支 球隊中的勝者及輪空者進入下一輪，直至比賽結束。問共需進行多少場比賽？一般思維：逆向思維：每場比賽淘汰一名失敗球隊，只有一名冠軍，即就是淘汰了36名球隊，因此比賽進行了36場。3甲乙兩站有電車相通，每隔10分鐘甲乙

17、兩站互發(fā)一趟車，但發(fā)車時間不一定相同。甲乙兩站有一中間站丙，某人每天在隨機的時刻到達丙站，并搭乘最先經過丙站的那趟車，結果發(fā)現100天中約有90天到達甲站，僅約有10天到達乙站。問開往甲乙兩站的電車經過丙站的時刻表是如何安排的？8:008:108:208:30甲至乙乙至甲xX-8:00=0:09 x=8:098:098:194 某人由A處到B處去，途中需到河邊取些水，如下圖。問走那條路最近？（用盡可能簡單的辦法求解。）dAB河例3 交通燈在綠燈轉換成紅燈時，有一個過渡狀態(tài)亮一段時間的黃燈。請分析黃燈應當亮多久。設想一下黃燈的作用是什么，不難看出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上要轉紅燈了，假如

18、你能停住，請立即停車。停車是需要時間的，在這段時間內，車輛仍將向前行駛一段距離 L。這就是說，在離街口距離為 L處存在著一條停車線（盡管它沒被畫在地上），見左圖。對于那些黃燈亮時已過線的車輛，則應當保證它們仍能穿過馬路。 馬路的寬度 D是容易測得 的，問題的關鍵在 于L的確定。為確定 L，還應當將 L劃分為兩段：L1和L2，其中 L1是司機在發(fā)現黃燈亮及判斷應當剎車的反應時間內駛過的路程 ，L2為剎車制動后車輛駛過的路程。L1較容易計算，交通部門對司機的平均反應時間 t1早有測算，反應時間過長將考不出駕照），而此街道的行駛速度 v 也是交管部門早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，

19、從而 L1=v*t1。剎車距離 L2既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計算出來 （ 留作習題）。黃燈究竟應當亮多久現在已經變得清楚多了。第一步，先計算出 L應多大才能使看見黃燈的司機停得住車。第二步，黃燈亮的時間應當讓已過線的車順利穿過馬路，即T 至少應當達到 （L+D）/v。 DL例4 餐館每天都要洗大量的盤子，為了方便，某餐館是這樣清洗盤子的：先用冷水粗粗洗一下，再放進熱水池洗滌，水溫不能太高，否則會燙手，但也不能太低，否則不干凈。由于想節(jié)省開支，餐館老板想了解一池熱水到底可以洗多少盤子，請你幫他建模分析一下這一問題。盤子有大小嗎 ?是什么樣的盤子？盤子是怎樣洗的 ? 不妨假設我

20、們了解到：盤子大小相同，均為瓷質菜盤，洗滌時先將一疊盤子浸泡在熱水中，然后 一清洗。 不難看出，是水 的溫度在決 定洗盤子的數量 。盤子是先用冷水洗過的，其后可能還會再用清水沖洗，更換熱水并非因為水太臟了，而是因為 水不夠熱了。 那么熱水為什么會變冷呢？假如你想建一個較精細的模型，你當然應當把水池、空氣等吸熱的因素都考慮進去，但餐館老板的原意只是想了解一下一池熱水平均大約可以洗多少盤子， 殺雞 焉用牛刀？ 不妨可以提出以下 簡化假設：（1）水池、空氣吸熱不計，只考慮 盤子吸熱，盤子的大小、材料相同（2）盤子初始溫度與氣溫相同，洗完后的溫度與水溫相同（3）水池中的水量為常數，開始溫度為T1，最終換水時的溫度為 T2（4）每個盤子的洗滌時間 T是一個常數。（這一假設甚至可以去掉 不要）根據上述簡化假設，利用熱量守衡定律，餐館老板的問題就很容易回答了，當然，你還應當調查一下一池水的質量是多少，查一下瓷盤的吸熱系數和質量等。 可見 ，假設條件 的提出不 僅和你 研的 問題 有關，還和 你準備利用哪些知 識 、準備建立什么樣的模型以及你準 備研究的深入程度有關，即在你提出假設