1、7.4.2超幾何分布課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.通過具體實例，了解超幾何分布及其均值.2.能用超幾何分布解決簡單的實際問題.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).新知探究2020年春節(jié)前一場新型冠狀病毒肺炎像場風(fēng)一樣，席卷了全國，中國湖北成為重災(zāi)區(qū)，為了更好地支援湖北抗擊疫情，某醫(yī)院派出16名護(hù)士，4名內(nèi)科醫(yī)生組成支援隊伍，現(xiàn)在需要從這20人中任意選取3人去黃岡支援，設(shè)X表示其中內(nèi)科醫(yī)生的人數(shù)問題X的可能取值有哪些，你能求出當(dāng)X2時對應(yīng)的概率嗎？這里的X的概率分布有怎樣的規(guī)律？提示X的可能取值為0，1，2，3，其中P(X2) eq f(Ceq oal(2,4)Ceq oal(1,16),Ceq

2、 oal(3,20)，X的概率分布符合超幾何分布，這就是這節(jié)課我們要重點研究的問題1超幾何分布超幾何分布模型是一種不放回抽樣一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為 P(Xk)eq f(Ceq oal(k,M)Ceq oal(nk,NM),Ceq oal(n,N)，km，m1，m2，r.其中n，N，MN* ，MN，nN，mmax0，nNM，rminn，M如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布2超幾何分布的期望E(X)eq f(nM,N)np(p為N件產(chǎn)品的次品率)拓展深化 微

3、判斷1超幾何分布的總體里只有兩類物品()2超幾何分布的模型是不放回抽樣()3超幾何分布與二項分布的期望值都為np.()微訓(xùn)練1設(shè)袋中有80個紅球、20個白球，若從袋中任取10個球，則其中恰有6個紅球的概率為()A.eq f(Ceq oal(4,80)Ceq oal(6,10),Ceq oal(10,100) B.eq f(Ceq oal(6,80)Ceq oal(4,10),Ceq oal(10,100)C.eq f(Ceq oal(4,80)Ceq oal(6,20),Ceq oal(10,100) D.eq f(Ceq oal(6,80)Ceq oal(4,20),Ceq oal(10,1

4、00)解析取出的紅球個數(shù)服從參數(shù)為N100，M80，n10的超幾何分布由超幾何分布的概率公式，知從中取出的10個球中恰有6個紅球的概率為eq f(Ceq oal(6,80)Ceq oal(4,20),Ceq oal(10,100).答案D2在含有5名男生的100名學(xué)生中，任選3人，求恰有2名男生的概率表達(dá)式為_解析由超幾何分布的概率公式得所求概率表達(dá)式為eq f(Ceq oal(2,5)Ceq oal(1,95),Ceq oal(3,100).答案eq f(Ceq oal(2,5)Ceq oal(1,95),Ceq oal(3,100)微思考超幾何分布模型在形式上有怎樣的特點？提示在形式上適合

5、超幾何分布的模型常由較明顯的兩部分組成，如“男生、女生”，“正品、次品”等題型一利用超幾何分布的公式求概率【例1】在元旦晚會上，數(shù)學(xué)老師設(shè)計了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有10個紅球和20個白球，這些球除顏色外完全相同，從中任意摸出5個球，至少摸到3個紅球就中獎，求中獎的概率(結(jié)果保留兩位小數(shù))解設(shè)摸出紅球的個數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其中N30，M10，n5，于是中獎的概率為P(X3)P(X3)P(X4)P(X5)eq f(Ceq oal(3,10)Ceq oal(53,20),Ceq oal(5,1020)eq f(Ceq oal(4,10)Ceq oal(54,20),Ceq oal(

6、5,1020)eq f(Ceq oal(5,10)Ceq oal(55,20),Ceq oal(5,1020)eq f(12019021020252,Ceq oal(5,30)eq f(27 252,142 506)0.19.規(guī)律方法超幾何分布是一種常見的隨機(jī)變量的分布，所求概率分布問題由明顯的兩部分組成，或可轉(zhuǎn)化為明顯的兩部分.【訓(xùn)練1】某小組共有10名學(xué)生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2名代表，至少有1名女生當(dāng)選的概率為()A.eq f(8,15) B.eq f(7,15) C.eq f(4,15) D.eq f(1,15)解析由題意可得所求概率為eq f(Ceq oal(1,7)Ceq oal(

7、1,3),Ceq oal(2,10)eq f(Ceq oal(0,7)Ceq oal(2,3),Ceq oal(2,10)eq f(8,15).答案A題型二超幾何分布的分布列【例2】某市A，B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)由于集訓(xùn)后隊員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率；(2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分布列解(1)由題意知，參加集訓(xùn)的男生、女生各有6人代表隊中的學(xué)生全從

8、B中學(xué)抽取(等價于A中學(xué)沒有學(xué)生入選代表隊)的概率為eq f(Ceq oal(3,3)Ceq oal(3,4),Ceq oal(3,6)Ceq oal(3,6)eq f(1,100).因此，A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率為1eq f(1,100)eq f(99,100).(2)根據(jù)題意，知X的所有可能取值為1，2，3.P(X1)eq f(Ceq oal(1,3)Ceq oal(3,3),Ceq oal(4,6)eq f(1,5)，P(X2)eq f(Ceq oal(2,3)Ceq oal(2,3),Ceq oal(4,6)eq f(3,5)，P(X3)eq f(Ceq oal(3,3)C

9、eq oal(1,3),Ceq oal(4,6)eq f(1,5).所以X的分布列為X123Peq f(1,5)eq f(3,5)eq f(1,5)規(guī)律方法解決超幾何分布問題的兩個關(guān)鍵點(1)超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意義，解決問題時可以直接利用公式求解，但不能機(jī)械地記憶(2)超幾何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(Xk)，從而求出X的分布列【訓(xùn)練2】從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參加一項公益活動(1)求所選3人中恰有一名男生的概率；(2)求所選3人中男生人數(shù)X的分布列解(1)所選3人中恰有一名男生的概率Peq f(C

10、eq oal(2,5)Ceq oal(1,4),Ceq oal(3,9)eq f(10,21).(2)X的可能取值為0，1，2，3.P(X0)eq f(Ceq oal(3,5),Ceq oal(3,9)eq f(5,42)，P(X1)eq f(Ceq oal(2,5)Ceq oal(1,4),Ceq oal(3,9)eq f(10,21)，P(X2)eq f(Ceq oal(1,5)Ceq oal(2,4),Ceq oal(3,9)eq f(5,14)，P(X3)eq f(Ceq oal(3,4),Ceq oal(3,9)eq f(1,21).X的分布列為X0123Peq f(5,42)eq

11、f(10,21)eq f(5,14)eq f(1,21)題型三超幾何分布的綜合應(yīng)用【例3】某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同)(1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及期望解(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件A，則P(A)eq f(Ceq oal(1,3)Ceq oal(2,7)Ceq oal(0,3)Ceq oal(3,7),

12、Ceq oal(3,10)eq f(49,60).所以選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院的概率為eq f(49,60).(2)依據(jù)條件，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，其中N10，M4，n3，且隨機(jī)變量X的可能值為0，1，2，3.P(Xk)eq f(Ceq oal(k,4)Ceq oal(3k,6),Ceq oal(3,10)(k0，1，2，3)所以隨機(jī)變量X的分布列是X0123Peq f(1,6)eq f(1,2)eq f(3,10)eq f(1,30)所以隨機(jī)變量X的期望值為E(X)0eq f(1,6)1eq f(1,2)2eq f(3,10)3eq f(1,30)1.2(或E(X)eq f(3

13、4,10)1.2)規(guī)律方法超幾何分布均值的計算公式若一個隨機(jī)變量X的分布列服從超幾何分布，則E(X)eq f(nM,N).【訓(xùn)練3】一個口袋內(nèi)有n(n3)個大小相同的球，其中有3個紅球和(n3)個白球已知從口袋中隨機(jī)取出一個球是紅球的概率是eq f(3,5).不放回地從口袋中隨機(jī)取出3個球，求取到白球的個數(shù)X的期望E(X)解從口袋中隨機(jī)取出一個球是紅球的概率是eq f(3,5)，eq f(3,n)eq f(3,5)，n5，5個球中有2個白球白球的個數(shù)X可取0，1，2.P(X0)eq f(Ceq oal(3,3),Ceq oal(3,5)eq f(1,10)，P(X1)eq f(Ceq oal(

14、2,3)Ceq oal(1,2),Ceq oal(3,5)eq f(3,5)，P(X2)eq f(Ceq oal(1,3)Ceq oal(2,2),Ceq oal(3,5)eq f(3,10)，E(X)eq f(1,10)0eq f(3,5)1eq f(3,10)2eq f(6,5).一、素養(yǎng)落地1通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)2超幾何分布：超幾何分布在實際生產(chǎn)中常用來檢驗產(chǎn)品的次品數(shù)，只要知道N，M和n就可以根據(jù)公式：P(Xk)eq f(Ceq oal(k,M)Ceq oal(nk,NM),Ceq oal(n,N)求出X取不同k值時的概率3超幾何分布模型是一種不放回抽樣二、素養(yǎng)

15、訓(xùn)練1今有電子元件50個，其中一級品45個，二級品5個，從中任取3個，則出現(xiàn)二級品的概率為()A.eq f(Ceq oal(3,5),Ceq oal(3,50) B.eq f(Ceq oal(1,5)Ceq oal(2,5)Ceq oal(3,5),Ceq oal(3,50)C1eq f(Ceq oal(3,45),Ceq oal(3,50) D.eq f(Ceq oal(1,5)Ceq oal(2,5)Ceq oal(2,5)Ceq oal(1,45),Ceq oal(3,50)解析出現(xiàn)二級品的情況較多，可以考慮不出現(xiàn)二級品概率為eq f(Ceq oal(3,45),Ceq oal(3,50

16、)，故答案為1eq f(Ceq oal(3,45),Ceq oal(3,50).答案C2已知在15個村莊中有7個村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用X表示10個村莊中交通不方便的村莊數(shù)，則下列概率中等于eq f(Ceq oal(4,7)Ceq oal(6,8),Ceq oal(10,15)的是()AP(X2)BP(X2)CP(X4) DP(X4)解析X服從超幾何分布，P(X4)eq f(Ceq oal(4,7)Ceq oal(6,8),Ceq oal(10,15).答案C3從4名男生和2名女生中任選3人參加數(shù)學(xué)競賽，則所選3人中，女生的人數(shù)不超過1人的概率為_解析設(shè)所選女生數(shù)為隨機(jī)變量X

17、，X服從超幾何分布，P(X1)P(X0)P(X1)eq f(Ceq oal(0,2)Ceq oal(3,4),Ceq oal(3,6)eq f(Ceq oal(1,2)Ceq oal(2,4),Ceq oal(3,6)eq f(4,5).答案eq f(4,5)4從含有5個紅球和3個白球的袋中任取3球，則所取出的3個球中恰有1個紅球的概率為_解析設(shè)所取出的3個球中紅球的個數(shù)為X，則X服從超幾何分布，所以P(X1)eq f(Ceq oal(1,5)Ceq oal(2,3),Ceq oal(3,8)eq f(15,56).答案eq f(15,56)5交5元錢，可以參加一次摸獎，一袋中有同樣大小的球1

18、0個，其中8個標(biāo)有1元錢，2個標(biāo)有5元錢，若摸獎?wù)咧荒軓闹腥稳?個球，他所得獎勵是所抽2球的錢數(shù)之和，求抽獎人所得錢數(shù)的分布列解設(shè)抽獎人所得錢數(shù)為隨機(jī)變量X，則X2，6，10.P(X2)eq f(Ceq oal(2,8),Ceq oal(2,10)eq f(28,45)，P(X6)eq f(Ceq oal(1,8)Ceq oal(1,2),Ceq oal(2,10)eq f(16,45)，P(X10)eq f(Ceq oal(2,2),Ceq oal(2,10)eq f(1,45).故X的分布列為X2610Peq f(28,45)eq f(16,45)eq f(1,45)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1從

19、一副不含大、小王的52張撲克牌中任意抽出5張，則至少有3張是A的概率為()A.eq f(Ceq oal(3,4)Ceq oal(2,48),Ceq oal(5,52) B.eq f(Ceq oal(3,48)Ceq oal(2,4),Ceq oal(5,52)C1eq f(Ceq oal(1,48)Ceq oal(4,4),Ceq oal(5,52) D.eq f(Ceq oal(3,4)Ceq oal(2,48)Ceq oal(4,4)Ceq oal(1,48),Ceq oal(5,52)解析設(shè)X為抽出的5張撲克牌中含A的張數(shù)，則P(X3)P(X3)P(X4)eq f(Ceq oal(3,4

20、)Ceq oal(2,48),Ceq oal(5,52)eq f(Ceq oal(4,4)Ceq oal(1,48),Ceq oal(5,52).答案D2在100張獎券中，有4張能中獎，從中任取2張，則2張都能中獎的概率是()A.eq f(1,50) B.eq f(1,25) C.eq f(1,825) D.eq f(1,4 950)解析記X為抽出的2張中的中獎數(shù)，則P(X2)eq f(Ceq oal(2,4)Ceq oal(0,96),Ceq oal(2,100)eq f(1,825).答案C3設(shè)袋中有8個紅球，4個白球，若從袋中任取4個球，則其中至多3個紅球的概率為()A.eq f(Ceq

21、 oal(3,8)Ceq oal(1,4),Ceq oal(4,12) B.eq f(Ceq oal(1,8)Ceq oal(3,4)Ceq oal(2,8)Ceq oal(2,4),Ceq oal(4,12)C1eq f(Ceq oal(4,4),Ceq oal(4,12) D1eq f(Ceq oal(4,8),Ceq oal(4,12)解析從袋中任取4個球，其中紅球的個數(shù)X服從參數(shù)為N12，M8，n4的超幾何分布，故至多3個紅球的概率為P(X3)1P(X4)1eq f(Ceq oal(4,8),Ceq oal(4,12).答案D4一個盒子里裝有大小相同的10個黑球，12個紅球，4個白球，

22、從中任取2個，其中白球的個數(shù)記為X，則下列概率等于eq f(Ceq oal(1,22)Ceq oal(1,4)Ceq oal(2,22),Ceq oal(2,26)的是()AP(0X2) BP(X1)CP(X1) DP(X2)解析本題相當(dāng)于求至多取出1個白球的概率，即取到1個白球或沒有取到白球的概率答案B5盒中有10個螺絲釘，其中有3個是壞的，現(xiàn)從盒中隨機(jī)地抽取4個，則概率是eq f(3,10)的事件為()A恰有1個是壞的 B4個全是好的C恰有2個是好的 D至多有2個是壞的解析令“Xk”表示“取出的螺絲釘恰有k個是好的”，則P(Xk)eq f(Ceq oal(k,7)Ceq oal(4k,3)

23、,Ceq oal(4,10)(k1，2，3，4)所以P(X1)eq f(1,30)，P(X2)eq f(3,10)，P(X3)eq f(1,2)，P(X4)eq f(1,6)，故選C.答案C二、填空題6某手機(jī)經(jīng)銷商從已購買某品牌手機(jī)的市民中抽取20人參加宣傳活動，這20人中年齡低于30歲的有5人現(xiàn)從這20人中隨機(jī)選取2人各贈送一部手機(jī)，記X為選取的年齡低于30歲的人數(shù)，則P(X1)_解析易知P(X1)eq f(Ceq oal(1,5)Ceq oal(1,15),Ceq oal(2,20)eq f(15,38).答案eq f(15,38)7有同一型號的電視機(jī)100臺，其中一級品97臺，二級品3臺

24、，從中任取4臺，則二級品不多于1臺的概率為_(用式子表示)解析二級品不多于1臺，即一級品有3臺或4臺，故所求概率為eq f(Ceq oal(1,3)Ceq oal(3,97)Ceq oal(4,97),Ceq oal(4,100).答案eq f(Ceq oal(1,3)Ceq oal(3,97)Ceq oal(4,97),Ceq oal(4,100)8袋中裝有5個紅球和4個黑球，從袋中任取4個球，取到1個紅球得3分，取到1個黑球得1分，設(shè)得分為隨機(jī)變量X，則X8的概率P(X8)_解析由題意知P(X8)1P(X6)P(X4)1eq f(Ceq oal(1,5)Ceq oal(3,4),Ceq o

25、al(4,9)eq f(Ceq oal(4,4),Ceq oal(4,9)eq f(5,6).答案eq f(5,6)三、解答題9老師要從10篇課文中隨機(jī)抽3篇讓學(xué)生背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格某同學(xué)只能背誦其中的6篇，試求：(1)抽到他能背誦的課文的數(shù)量X的分布列；(2)他能及格的概率解(1)X的所有可能取值為0，1，2，3.P(X0)eq f(Ceq oal(0,6)Ceq oal(3,4),Ceq oal(3,10)eq f(1,30)，P(X1)eq f(Ceq oal(1,6)Ceq oal(2,4),Ceq oal(3,10)eq f(3,10)，P(X2)eq f(Ceq

26、oal(2,6)Ceq oal(1,4),Ceq oal(3,10)eq f(1,2)，P(X3)eq f(Ceq oal(3,6)Ceq oal(0,4),Ceq oal(3,10)eq f(1,6).所以X的分布列為X0123Peq f(1,30)eq f(3,10)eq f(1,2)eq f(1,6)(2)他能及格的概率為P(X2)P(X2)P(X3)eq f(1,2)eq f(1,6)eq f(2,3).10某高級中學(xué)為更好地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活情況，以便給學(xué)生提供必要的幫助，在高一、高二、高三這三個年級分別邀請了10，15，25名學(xué)生代表進(jìn)行調(diào)研(1)從參加調(diào)研的學(xué)生代表中，隨機(jī)抽取

27、2名，求這2名學(xué)生代表來自不同年級的概率；(2)從參加調(diào)研的高一、高二年級學(xué)生代表中隨機(jī)抽取2名，且X表示抽到的高一年級學(xué)生代表人數(shù)，求X的期望值解(1)共50名學(xué)生代表，抽取2名的樣本點總數(shù)為Ceq oal(2,50)1 225.記“2名學(xué)生代表來自不同年級”為事件M，則事件M包含的樣本點個數(shù)為Ceq oal(1,10)Ceq oal(1,15)Ceq oal(1,10)Ceq oal(1,25)Ceq oal(1,15)Ceq oal(1,25)775.根據(jù)古典概型的概率計算公式，得P(M)eq f(775,1 225)eq f(31,49).(2)高一、高二年級分別有10，15名學(xué)生代表

28、參加調(diào)研，從中抽取2名，抽到的高一年級的學(xué)生代表人數(shù)X的所有可能取值為0，1，2.P(X0)eq f(Ceq oal(0,10)Ceq oal(2,15),Ceq oal(2,25)eq f(7,20)，P(X1)eq f(Ceq oal(1,10)Ceq oal(1,15),Ceq oal(2,25)eq f(1,2)，P(X2)eq f(Ceq oal(2,10)Ceq oal(0,15),Ceq oal(2,25)eq f(3,20).所以X的分布列為X012Peq f(7,20)eq f(1,2)eq f(3,20)所以X的期望值E(X)0eq f(7,20)1eq f(1,2)2eq f(3,20)0.8.能力提升11一袋中裝有10個大小相同的黑球和白球已知從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是eq f(7,9).從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為X，則P(X2)_解析設(shè)10個球中有白球m個，則eq f(Ceq oal(2,10m),Ceq oal(2,10)1eq f(7,9)，解得m5或m14(舍去)所以P(X2)eq f(Ceq oal(2,5)Ceq oal(1,5),Ceq oal(3,10)eq f(5,12).答案eq f(5,12)12在一次購物抽獎活動中，假設(shè)某10張券中有一等獎券