1、71平面向量的概念及線性運算(教師獨具內(nèi)容)1通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實際背景，理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義理解平面向量的幾何表示和基本要素2借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義通過實例分析，掌握平面向量數(shù)乘運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義，理解兩個平面向量共線的含義3了解平面向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義4重點提升數(shù)學(xué)運算、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)(教師獨具內(nèi)容)1本考點是歷年高考考頻不高的部分，主要以選擇題或者填空題的形式呈現(xiàn)，命題的重點是平面向量的線性運算問題2考查方向主要是平面圖形中向量的線性運算，同時向量的線性運算也

2、可能出現(xiàn)在三角函數(shù)或解析幾何等試題中(教師獨具內(nèi)容)(教師獨具內(nèi)容)1向量的有關(guān)概念(1)向量的定義及表示：既有eq o(,sup3(01)大小又有eq o(,sup3(02)方向的量叫做向量以A為起點、B為終點的向量記作eq o(AB,sup6()，也可用黑體的單個小寫字母a，b，c，來表示向量(2)向量的長度(模)：向量eq o(AB,sup6()的大小即向量eq o(AB,sup6()的長度(模)，記為|eq o(AB,sup6()|.任意向量a的模都是非負實數(shù)，即|a|0.2幾種特殊向量名稱定義備注零向量長度為0的向量零向量記作0，其方向是任意的單位向量長度等于1個單位長度的向量與非零

3、向量a平行的單位向量為eq o(,sup3(01)eq f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的eq o(,sup3(02)非零向量(也叫共線向量)0與任意向量共線相等向量長度相等且方向eq o(,sup3(03)相同的向量相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量相反向量長度相等且方向eq o(,sup3(04)相反的兩個向量若a，b為相反向量，則ab3向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：abeq o(,sup3(01)ba；(2)結(jié)合律：(ab)ceq o(,sup3(02)a(bc)減法求兩個向量差的運算三角

4、形法則aba(b)數(shù)乘規(guī)定實數(shù)與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘(1)|a|a|；(2)當(dāng)0時，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時，a0(a)eq o(,sup3(03)()a；()aeq o(,sup3(04)aa；(ab)eq o(,sup3(05)ab4.共線向量定理向量a(a0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)，使eq o(,sup3(01)ba.5常用結(jié)論(1)設(shè)P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則eq o(OP,sup6()eq f(1,2)(eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()(2)eq o(OA,sup6()

5、eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()(，為實數(shù))，O不在直線AB上，若點A，B，C共線，則1.(3)一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量的和為零向量(4)解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件要特別注意零向量的特殊性1思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反()(2)若向量eq o(AB,sup6()與向量eq o(CD,sup6()是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上

6、()(3)若ab，bc，則ac.()(4)當(dāng)兩個非零向量a，b共線時，一定有ba，反之成立()答案(1)(2)(3)(4)2(2021廣東佛山質(zhì)量檢測(一)平行四邊形ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC的一個三等分點(靠近點B)，則eq o(EF,sup6()()A.eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AD,sup6()Beq f(1,4)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()C.eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()Deq f(1,2)eq o(AB,sup6(

7、)eq f(2,3)eq o(AD,sup6()答案D解析點E是DC的中點，點F是BC的一個三等分點，eq o(EF,sup6()eq o(EC,sup6()eq o(CF,sup6()eq f(1,2)eq o(DC,sup6()eq f(2,3)eq o(CB,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AD,sup6().故選D.3對于非零向量a，b，“a2b0”是“ab”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析若a2b0，則a2b，所以ab.若ab，則a2b0不一定成立，故“a2b0”是“ab”的充分不必

8、要條件故選A.4e1，e2是兩個不共線的向量，已知eq o(MP,sup6()4e12e2，eq o(PQ,sup6()2e1te2，若M，P，Q三點共線，則t()A1B2C4D1答案A解析M，P，Q三點共線，則eq o(MP,sup6()與eq o(PQ,sup6()共線，eq o(MP,sup6()eq o(PQ,sup6()，即4e12e2(2e1te2)，得eq blcrc (avs4alco1(42，,2t，)解得t1.故選A.5已知向量a，b，若|a|2，|b|4，則|ab|的取值范圍為_答案2,6解析當(dāng)a與b方向相同時，|ab|2，當(dāng)a與b方向相反時，|ab|6，當(dāng)a與b不共線時

9、，2|ab|b|，則abD兩個向量平行是這兩個向量相等的必要不充分條件答案BC解析由平行向量和共線向量可知，A正確；因為相反向量是方向相反，長度相等的兩個向量，所以B錯誤；因為向量是既有大小又有方向的量，所以任何兩個向量都不能比較大小，所以C錯誤；因為兩個向量平行不能推出兩個向量相等，而兩個向量相等可以推出這兩個向量平行，因此兩個向量平行是這兩個向量相等的必要不充分條件，所以D正確故選BC.2(多選)下列命題正確的有()A方向相反的兩個非零向量一定共線B單位向量都相等C若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同D“A，B，C，D是不共線的四點，且eq o(AB,sup6()eq o(DC,su

10、p6()”“四邊形ABCD是平行四邊形”答案AD解析方向相反的兩個非零向量必定平行，所以方向相反的兩個非零向量一定共線，故A正確；單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B錯誤；兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等，但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點，故C錯誤；A，B，C，D是不共線的四點，eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，即模相等且方向相同，即四邊形ABCD對邊平行且相等，所以四邊形ABCD是平行四邊形，反之也成立，故D正確故選AD.1解答向量概念型題目的關(guān)注點(1)準確理解向量的有關(guān)知識，應(yīng)重點把握兩個要點：大小和方向(2)向量線性運算的結(jié)果仍是向量，準

11、確運用定義和運算律仍需從大小和方向角度去理解2(1)兩個向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的?？梢员容^大小(2)大小與方向是向量的兩個要素，分別是向量的代數(shù)特征與幾何特征(3)向量可以自由平移，任意一組平行向量都可以移到同一直線上3(1)非零向量共線的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制(2)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等(3)單位向量的關(guān)鍵是長度都是一個單位長度(4)零向量的關(guān)鍵是長度是0，規(guī)定零向量與任意向量共線考點平面向量的線性運算例3(2022廣東模擬)已知A，B，C三點不共線，且點O滿足16eq o(OA,sup6()12eq o(OB,sup6()3eq o(OC,

12、sup6()0，則()A.eq o(OA,sup6()12eq o(AB,sup6()3eq o(AC,sup6()B.eq o(OA,sup6()12eq o(AB,sup6()3eq o(AC,sup6()C.eq o(OA,sup6()12eq o(AB,sup6()3eq o(AC,sup6()D.eq o(OA,sup6()12eq o(AB,sup6()3eq o(AC,sup6()答案A解析已知A，B，C三點不共線，且點O滿足16eq o(OA,sup6()12eq o(OB,sup6()3eq o(OC,sup6()0，所以16eq o(OA,sup6()12eq o(OB,s

13、up6()3eq o(OC,sup6()12(eq o(OA,sup6()eq o(AB,sup6()3(eq o(OA,sup6()eq o(AC,sup6()15eq o(OA,sup6()12eq o(AB,sup6()3eq o(AC,sup6()，即eq o(OA,sup6()12eq o(AB,sup6()3eq o(AC,sup6().故選A.例4如圖，在直角梯形ABCD中，AB2AD2DC，E為BC邊上一點，eq o(BC,sup6()3eq o(EC,sup6()，F(xiàn)為AE的中點，則eq o(BF,sup6()()A.eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq f(2

14、,3)eq o(AD,sup6()Beq f(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AD,sup6()Ceq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AD,sup6()Deq f(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AD,sup6()答案B解析根據(jù)平面向量的運算法則得eq o(BF,sup6()eq f(1,2)eq o(BA,sup6()eq f(1,2)eq o(BE,sup6()，eq o(BE,sup6()eq f(2,3)eq o(BC,sup6()，eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6

15、()eq o(AB,sup6().因為eq o(AC,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DC,sup6()，eq o(DC,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()，所以eq o(BF,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AD,sup6().故選B.3.(2022合肥檢測)在ABC中，eq o(BD,sup6()eq f(1,3)eq o(BC,sup6().若eq o(AB,sup6()a，eq o(AC,sup6()b，則eq o(AD,sup6()等于()A.eq f(2,3)aeq f(1,3)bBeq

16、 f(1,3)aeq f(2,3)bC.eq f(1,3)aeq f(2,3)bDeq f(2,3)aeq f(1,3)b答案A解析解法一：如圖，過點D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點E，F(xiàn)，則四邊形AEDF為平行四邊形，所以eq o(AD,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(AF,sup6().因為eq o(BD,sup6()eq f(1,3)eq o(BC,sup6()，所以eq o(AE,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()，eq o(AF,sup6()eq f(1,3)eq o(AC,sup6()，所以eq o(AD,sup6()eq f(2

17、,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AC,sup6()eq f(2,3)aeq f(1,3)b.故選A.解法二：eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,3)(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AC,sup6()eq f(2,3)aeq f(1,3)b.故選A.解法三：由eq o(BD,sup6()eq f(1,3)e

18、q o(BC,sup6()，得eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,3)(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()，所以eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,3)(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AC,sup6()eq f(2,3)aeq f(1,3)b.故選A.1平面向量的線性運算技巧(1)不含圖形的情況：可直接運用相應(yīng)運算法則求解(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角

19、形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解2三種運算法則的要點(1)加法的三角形法則要求“首尾連”，平行四邊形法則要求“共起點”(2)減法的三角形法則要求“共起點，連終點，指被減”(3)數(shù)乘運算的結(jié)果仍是一個向量，運算過程可類比實數(shù)運算考點由向量的線性運算求參數(shù)例5(2021河南八市聯(lián)考)在等腰梯形ABCD中，eq o(AB,sup6()2eq o(DC,sup6()，點E是線段BC的中點，若eq o(AE,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()，則_.答案eq f(5,4)解析取AB的中點F，連接CF，則由題意可得CFAD，且CFAD.因為eq o(AE

20、,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BE,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)(eq o(FC,sup6()eq o(FB,sup6()eq f(3,4)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()，所以eq f(3,4)，eq f(1,2)，則eq f(5,4).4.在ABC中，點M，N滿足eq o(AM,sup6()2eq o(MC,sup6()，eq o(BN,sup6()eq o(NC,sup6()，若eq o(MN,sup6()xeq o(AB

21、,sup6()yeq o(AC,sup6()，則x_，y_.答案eq f(1,2)eq f(1,6)解析由已知得eq o(MN,sup6()eq o(MC,sup6()eq o(CN,sup6()eq f(1,3)eq o(AC,sup6()eq f(1,2)eq o(CB,sup6()eq f(1,3)eq o(AC,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,6)eq o(AC,sup6()，所以xeq f(1,2)，yeq f(1,6).與向量的線性運算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形

22、，利用向量運算的三角形法則進行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值考點共線向量定理的應(yīng)用例6(2021南昌質(zhì)檢)已知a，b是不共線的向量，eq o(AB,sup6()ab，eq o(AC,sup6()ab(，R)，若A，B，C三點共線，則，的關(guān)系一定成立的是()A1B1C1D2答案A解析eq o(AB,sup6()與eq o(AC,sup6()有公共點A，若A，B，C三點共線，則存在一個實數(shù)t，使eq o(AB,sup6()teq o(AC,sup6()，即abtatb，則eq blcrc (avs4alco1(t，,t1，)消去參數(shù)t，得1.故選A.例7設(shè)兩個非零向量a與b

23、不共線，(1)若eq o(AB,sup6()ab，eq o(BC,sup6()2a8b，eq o(CD,sup6()3(ab)，求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使kab和akb共線解(1)證明：eq o(AB,sup6()ab，eq o(BC,sup6()2a8b，eq o(CD,sup6()3(ab)，eq o(BD,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5eq o(AB,sup6().eq o(AB,sup6()與eq o(BD,sup6()共線，又它們有公共點B，A，B，D三點共線(2)kab和akb

24、共線，存在實數(shù)，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1)b.a，b是兩個不共線的非零向量，kk10，k210，k1.5.在ABC中，eq o(AN,sup6()eq f(1,4)eq o(NC,sup6()，P是直線BN上一點，若eq o(AP,sup6()meq o(AB,sup6()eq f(2,5)eq o(AC,sup6()，則實數(shù)m的值為()A4B1C1D4答案B解析eq o(AN,sup6()eq f(1,4)eq o(NC,sup6()，eq o(AC,sup6()5eq o(AN,sup6().又eq o(AP,sup6()meq o(AB,sup6()eq f(2

25、,5)eq o(AC,sup6()，eq o(AP,sup6()meq o(AB,sup6()2eq o(AN,sup6()，由B，P，N三點共線可知，m21，m1.6(2022鄭州模擬)設(shè)e1與e2是兩個不共線向量，eq o(AB,sup6()3e12e2，eq o(CB,sup6()ke1e2，eq o(CD,sup6()3e12ke2，若A，B，D三點共線，則k的值為_答案eq f(9,4)解析由題意知，A，B，D三點共線，故存在一個實數(shù)，使得eq o(AB,sup6()eq o(BD,sup6().又eq o(AB,sup6()3e12e2，eq o(CB,sup6()ke1e2，eq

26、 o(CD,sup6()3e12ke2，eq o(BD,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(CB,sup6()3e12ke2(ke1e2)(3k)e1(2k1)e2，3e12e2(3k)e1(2k1)e2，eq blcrc (avs4alco1(33k，,22k1，)解得keq f(9,4).利用共線向量定理解題的策略(1)abab(b0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù)注意待定系數(shù)法和方程思想的運用(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A，B，C三點共線eq o(AB,sup6()與eq o(AC,sup6()共線(3)若a與b不共線且ab，則0.(4)eq o(OA

27、,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()(，為實數(shù))，若A，B，C三點共線，則1.二、核心素養(yǎng)提升例1(多選)如圖所示，點A，B，C是圓O上的三點，線段OC與線段AB交于圓內(nèi)一點P，若eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()，eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()3eq o(OB,sup6()，則()AP為線段OC的中點時，eq f(1,2)BP為線段OC的中點時，eq f(1,3)C無論取何值，恒有eq f(3,4)D存在R，eq f(1,2)答案AC解析eq o(OP,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(AP,s

28、up6()eq o(OA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(OA,sup6()(eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()(1)eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，因為eq o(OP,sup6()與eq o(OC,sup6()共線，所以eq f(1,)eq f(,3)，解得eq f(3,4)，故C正確，D錯誤；當(dāng)P為OC中點時，則eq o(OP,sup6()eq f(1,2)eq o(OC,sup6()，則1eq f(1,2)，eq f(1,2)3，解得eq f(1,2)，故A正確，B錯誤故選AC.例2已知O，A，B三點不共線，P為該平面內(nèi)一

29、點，且eq o(OP,sup6()eq o(OA,sup6()eq f(o(AB,sup6(),|o(AB,sup6()|)，則()A點P在線段AB上B點P在線段AB的延長線上C點P在線段AB的反向延長線上D點P在射線AB上答案D解析由eq o(OP,sup6()eq o(OA,sup6()eq f(o(AB,sup6(),|o(AB,sup6()|)得eq o(OP,sup6()eq o(OA,sup6()eq f(o(AB,sup6(),|o(AB,sup6()|)，所以eq o(AP,sup6()eq f(1,|o(AB,sup6()|)eq o(AB,sup6()，所以點P在射線AB上

30、故選D.課時作業(yè)一、單項選擇題1給出下列命題：兩個具有公共終點的向量一定是共線向量；兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大??；若a0(為實數(shù))，則必為零；已知，為實數(shù)，若ab，則a與b共線其中正確命題的個數(shù)為()A1B2C3D4答案A解析錯誤，兩向量共線要看其方向而不是起點與終點；正確，因為向量既有大小，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實數(shù)，可以比較大??；錯誤，當(dāng)a0時，無論為何值，a0；錯誤，當(dāng)0時，ab，此時，a與b可以是任意向量故選A.2設(shè)a，b是非零向量，則“存在實數(shù)，使得ab”是“|ab|a|b|”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答

31、案B解析當(dāng)0時，|ab|a|b|；當(dāng)0時，|ab|a|b|.故選B.3設(shè)D，E，F(xiàn)分別為ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則eq o(EB,sup6()eq o(FC,sup6()()A.eq o(AD,sup6()Beq f(1,2)eq o(AD,sup6()Ceq f(1,2)eq o(BC,sup6()Deq o(BC,sup6()答案A解析由題意得eq o(EB,sup6()eq o(FC,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(CB,sup6()eq f(1,2)(eq o(AC,sup6()eq o(BC,sup6()eq f(1,2)(eq o(

32、AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AD,sup6().故選A.4在四邊形ABCD中，若eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()，則四邊形ABCD一定是()A正方形B菱形C矩形D平行四邊形答案D解析因為eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()，根據(jù)向量的三角形法則，有eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()，則可知eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，故四邊形ABCD為平行四邊形故選D.5. (2022南昌模擬)如圖，在AB

33、C中，點D在BC邊上，且CD2DB，點E在AD邊上，且AD3AE，則用向量eq o(AB,sup6()，eq o(AC,sup6()表示eq o(CE,sup6()為()A.eq f(2,9)eq o(AB,sup6()eq f(8,9)eq o(AC,sup6()Beq f(2,9)eq o(AB,sup6()eq f(8,9)eq o(AC,sup6()C.eq f(2,9)eq o(AB,sup6()eq f(7,9)eq o(AC,sup6()Deq f(2,9)eq o(AB,sup6()eq f(7,9)eq o(AC,sup6()答案B解析由平面向量的三角形法則及向量共線的性質(zhì)可

34、得eq o(CE,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,3)eq o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(o(AB,sup6()f(1,3)o(BC,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,3)eq blcrc(avs4alco1(o(AB,sup6()f(1,3)o(AC,sup6()o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(2,9)eq o(AB,sup6()eq f(8,9)eq o(AC,sup6().故選B.6. 如圖所示，平面內(nèi)有三個向量

35、eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()，eq o(OC,sup6()，其中eq o(OA,sup6()與eq o(OB,sup6()的夾角為120，eq o(OA,sup6()與eq o(OC,sup6()的夾角為30，且|eq o(OA,sup6()|eq o(OB,sup6()|1，|eq o(OC,sup6()|eq r(3)，若eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，則()A1B2C3D4答案C解析eq o(OA,sup6()與eq o(OB,sup6()的夾角為120，eq o(OA,sup6()與eq o(OC,su

36、p6()的夾角為30，且|eq o(OA,sup6()|eq o(OB,sup6()|1，|eq o(OC,sup6()|eq r(3)，由eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，兩邊平方得322，由eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，得eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()(eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，即eq f(3,2)eq f(,2)，兩邊平方得eq f(9,4)2eq f(2,4)，由，得eq f(32,4)eq f

37、(3,4).根據(jù)題圖知0，1.代入eq f(3,2)eq f(,2)得2，3.故選C.7O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足：eq o(OP,sup6()eq o(OA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(o(AB,sup6(),|o(AB,sup6()|)f(o(AC,sup6(),|o(AC,sup6()|)，0，)，則動點P的軌跡一定通過ABC的()A外心B內(nèi)心C重心D垂心答案B解析作BAC的平分線AD.因為eq o(OP,sup6()eq o(OA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(o(AB,sup6(),|o(A

38、B,sup6()|)f(o(AC,sup6(),|o(AC,sup6()|)，所以eq o(AP,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(o(AB,sup6(),|o(AB,sup6()|)f(o(AC,sup6(),|o(AC,sup6()|)eq f(o(AD,sup6(),|o(AD,sup6()|)(0，)，所以eq o(AP,sup6()eq f(,|o(AD,sup6()|)eq o(AD,sup6()，所以eq o(AP,sup6()eq o(AD,sup6()，所以動點P的軌跡一定通過ABC的內(nèi)心故選B.8設(shè)D，E，F(xiàn)分別為ABC三邊BC，CA，AB的中點，則

39、eq o(DA,sup6()2eq o(EB,sup6()3eq o(FC,sup6()()A.eq f(1,2)eq o(AD,sup6()Beq f(3,2)eq o(AD,sup6()Ceq f(1,2)eq o(AC,sup6()Deq f(3,2)eq o(AC,sup6()答案D解析因為D，E，F(xiàn)分別為ABC三邊BC，CA，AB的中點，所以eq o(DA,sup6()2eq o(EB,sup6()3eq o(FC,sup6()eq f(1,2)(eq o(BA,sup6()eq o(CA,sup6()2eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(CB,sup6()3e

40、q f(1,2)(eq o(AC,sup6()eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq o(BA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(CB,sup6()eq f(3,2)eq o(BC,sup6()eq f(3,2)eq o(AC,sup6()eq f(1,2)eq o(CA,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(3,2)eq o(AC,sup6().故選D.二、多項選擇題9已知向量a，b是兩個

41、非零向量，在下列四個條件中，一定能使a，b共線的是()A2a3b4e且a2b2eB存在相異實數(shù)，使ab0Cxayb0(其中實數(shù)x，y滿足xy0)D已知梯形ABCD，其中eq o(AB,sup6()a，eq o(CD,sup6()b答案AB解析對于A，因為向量a，b是兩個非零向量，2a3b4e且a2b2e，所以aeq f(2,7)e，beq f(8,7)e，此時能使a，b共線，故A正確；對于B，由平面向量共線定理知，存在相異實數(shù)，使ab0，則非零向量a，b是共線向量，故B正確；對于C，xayb0(其中實數(shù)x，y滿足xy0)，如果xy0，則不能保證a，b共線，故C錯誤；對于D，已知在梯形ABCD中

42、，eq o(AB,sup6()a，eq o(CD,sup6()b，AB，CD不一定是梯形的上、下底，故D錯誤故選AB.10如圖，四邊形ABCD為直角梯形，D90，ABCD，AB2CD，M，N分別為AB，CD的中點，則下列結(jié)論正確的是()A.eq o(AC,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()B.eq o(MC,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()eq f(1,2)eq o(BC,sup6()C.eq o(BC,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()D.eq o(MN,sup6

43、()eq o(AD,sup6()eq f(1,4)eq o(AB,sup6()答案ABC解析由eq o(AC,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()，知A正確；由eq o(CM,sup6()eq f(1,2)(eq o(CA,sup6()eq o(CB,sup6()，得eq o(MC,sup6()eq f(1,2)(eq o(AC,sup6()eq o(BC,sup6()，知B正確；由eq o(BC,sup6()eq o(MD,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AM,sup6

44、()eq o(AD,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()，知C正確；由N為線段DC的中點，知eq o(MN,sup6()eq f(1,2)eq o(MA,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,4)eq o(AB,sup6()，知D錯誤故選ABC.三、填空題11已知向量a，b不共線，且cab，da(21)b，若c與d共線反向，則實數(shù)的值為_答案eq f(1,2)解析由于c與d共線反向，則存在實數(shù)k使ckd(k0)，于是abka(21)b整理得abka(2kk)b.由于a，b不共線，所以有eq blcrc (avs4alco1(k，

45、,2kk1，)整理得2210，解得1或eq f(1,2).又因為k0，所以0，故eq f(1,2).12在AOB中，eq o(AC,sup6()eq f(1,5)eq o(AB,sup6()，D為OB的中點，若eq o(DC,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，則的值為_答案eq f(6,25)解析因為eq o(AC,sup6()eq f(1,5)eq o(AB,sup6()，所以eq o(AC,sup6()eq f(1,5)(eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()，因為D為OB的中點，所以eq o(OD,sup6()eq f(1,2)eq

46、o(OB,sup6()，所以eq o(DC,sup6()eq o(DO,sup6()eq o(OC,sup6()eq f(1,2)eq o(OB,sup6()(eq o(OA,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,2)eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()eq f(1,5)(eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()eq f(4,5)eq o(OA,sup6()eq f(3,10)eq o(OB,sup6()，所以eq f(4,5)，eq f(3,10)，則的值為eq f(6,25).13已知ABC和點M滿足eq o(MA,sup6()eq o(

47、MB,sup6()eq o(MC,sup6()0，若存在實數(shù)m使得eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()meq o(AM,sup6()成立，則m_.答案3解析如圖，由已知條件得eq o(MB,sup6()eq o(MC,sup6()eq o(MA,sup6()，M為ABC的重心，eq o(AM,sup6()eq f(1,3)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，即eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()3eq o(AM,sup6()，則m3.14. (2022珠江模擬)如圖，在直角梯形ABCD中，ABCD，DAB90，ADAB4，CD1，

48、動點P在邊BC上，且滿足eq o(AP,sup6()meq o(AB,sup6()neq o(AD,sup6()(m，n均為正實數(shù))，則eq f(1,m)eq f(1,n)的最小值為_答案eq f(74r(3),4)解析eq o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(CD,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,4)eq o(AB,sup6()，eq o(AP,sup6()meq o(AB,sup6()neq blc(rc)(avs4alco1(o(AC,sup6()f(1,4)o(AB,sup6()meq o(AB,sup6()neq o(AC,sup6()e

49、q f(1,4)neq o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(mf(1,4)n)eq o(AB,sup6()neq o(AC,sup6()，C，P，B三點共線，meq f(1,4)nn1，即meq f(3,4)n1，eq f(1,m)eq f(1,n)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,m)f(1,n)eq blc(rc)(avs4alco1(mf(3,4)n)eq f(3n,4m)eq f(m,n)eq f(7,4)2eq r(f(3n,4m)f(m,n)eq f(7,4)eq f(74r(3),4)，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(3n,4m)eq f(m,n)e

50、q f(r(3),2)，即m42eq r(3)，neq f(8r(3)12,3)時取等號四、解答題15已知a，b不共線，eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，eq o(OC,sup6()c，eq o(OD,sup6()d，eq o(OE,sup6()e，設(shè)tR，如果3ac,2bd，et(ab)，是否存在實數(shù)t使C，D，E三點在一條直線上？若存在，求出實數(shù)t的值；若不存在，請說明理由解由題設(shè)知，eq o(CD,sup6()dc2b3a，eq o(CE,sup6()ec(t3)atb，C，D，E三點在一條直線上的充要條件是存在實數(shù)k，使得eq o(CE,sup6()keq

51、 o(CD,sup6()，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.因為a，b不共線，所以有eq blcrc (avs4alco1(t33k0，,2kt0，)解得teq f(6,5).故存在實數(shù)teq f(6,5)使C，D，E三點在一條直線上16. 如圖，在ABC中，D為BC的四等分點，且靠近B點，E，F(xiàn)分別為AC，AD的三等分點，且分別靠近A，D兩點，設(shè)eq o(AB,sup6()a，eq o(AC,sup6()b.(1)試用a，b表示eq o(BC,sup6()，eq o(AD,sup6()，eq o(BE,sup6()；(2)證明：B，E，F(xiàn)三點共線解(1)在ABC中，因為eq o(AB,sup6()a，eq o(AC,sup6()b，所以eq