1、子力學考研2021 子力學導論考研真題解析解析】0粒子在勢場態(tài)能量。中國科學院2006研解題思路】利用不確定關系求解哈密頓量的最小值I問題。根據不確定原理有因為所以只需要求解出IAx = (-所以基態(tài)能量為【知識儲備】 若F,G = 0,則算符F和G有共同的本征函數系；其逆定理也成立。對易算符的性質：在F和G的共同本征函數系中測量F和G,都有確定值。若F，G/0，則有不確定關系或(向s&E快？經常使用的關系式21設粒子所處的夕卜場均勻但與時間有關，即 W ,與坐標r無關，試將體系 的含時薛定諤方程分離變量，求方程解 ,一的一般形式，并取=皿* , 以一維情況為例說明V(t )的影響是什么。中國

2、科學院2006研【解題思路】理解記憶含時薛定諤方程和定態(tài)薛定諤方程，以及分離變量法在求解薛定諤方程 時的應用?！窘馕觥扛鶕瑫r薛定諤方程帶入可得上式左邊是關于時間t的函數，右邊是關于坐標r的函數，因此令它們等于常數s，得所以因此|*+ |ihWE C =峋）段）=exp（1 ） exp W 一般情況下，若所求解能量的本征值是不連續(xù)的，則最后的波函數寫成各個能量 定態(tài)波函數的求和形式；如果能量是連續(xù)值，則相應的寫成積分形式?！就卣拱l(fā)散】當粒子所處的夕卜場與時間和位置坐標都有關，即一，可以利用題解相 同的方式去探索波函數的具體形式，并且和定態(tài)以及只與時間有關的兩種情形相 比較，得出在這些不同情況下

3、相應的勢場函數的具體形式變化對波函數的影響。 22設U為幺正算符，若存在兩個厄米算符A和B,使U=A + iB，試證： (1)A2 + B2 = 1，且一二二二：；(2 )進一步再證明U可以表示成M , H為厄米算符。中國科學院2006研 【解題思路】理解厄米算符和幺正算符的定義和物理含義，并注意辨析它們之間的區(qū)別，不要 混淆。【解析】因為U為幺正算符，所以I =1和- =1 ,由一一一 =1可得(應 + 沼(A + iB) = (X +沼)=T i 4 = 1由二：可得B=(+ 謁+ 話)=(+ 沼乂應謁)=甘 + # T 43 = 1因此A2+32 =1因為 =1 所以算符A和算符B有共同

4、的本征函數，即.：,，三.二因為才1+B J所以(泌+在渺=(必+礦垣=即/十臚=1所以U.= (A-弟)# = (a ib) - 一、1 稅i -活)砂=(右=(cos 0 isind)=泠=舟敢其中，三：=二【知識儲備】幺正算符S+=S-i厄米算符A =A23粒子在一維無限深方勢阱中運動，受到微擾“=切缶心曲的作用，求第n個能級的一級近似，并分析所得結果的適用條件。中國科學院2006研【解題思路】對于在一維無限深方勢阱中運動的粒子，可以通過定態(tài)薛定諤方程求解本征值和 本征波函數，而在受到微擾后，可以直接利用定態(tài)非簡并微擾理論求解修正的能 量和波函數?！窘馕觥吭谝痪S無限深方勢阱中運動的粒子受

5、到的勢能函數為所以利用定態(tài)薛定諤方程可得對應的本征波函數和本征值分別為當粒子受到微擾二二二一時，利用定態(tài)非簡并微擾理可得一級修正為=j以驢三愆必&+ 件娘號s - &材法相應的適用條件所以【知識儲備】一維無限深方勢阱在阱內（|x| a)，體系所滿足的定態(tài)薛定諤方程是，定態(tài)薛定諤方程是體系的能量本征值本征函數定態(tài)非簡并微擾理論微擾作用下的哈密頓量第n個能級的近似表示波函數的近似表示【拓展發(fā)散】在同樣的物理模型和情形下，改變微擾的具體形式，可以用同樣方式求解修正的能量和波函數，如果微擾是含時微擾，則可以用含時微擾理論求解躍遷幾率。V24粒子以能量E入射一維方勢壘，0 X ?:土，設能量三二，求透射

6、系數T。中國科學院2006研 【解題思路】 對于已知勢場具體表達式的情況，明顯利用薛定諤方程求解本征波函數和本征 值，在勢壘存在時，根據透射系數和反射系數的定義式求解相應的結果?！窘馕觥繉τ谌肷湟痪S方勢壘的粒子，由定態(tài)薛定諤方程可得當乂 0 時，-=：令得當：忸.-.土 二時，二;，=j令當乂3 時，-=：由波函數在x = 0處的連續(xù)性可得由波函數在x = 0處的導數連續(xù)性可得由波函數在x = a處的連續(xù)性可得由波函數在x = a處的導數連續(xù)性可得整理可得n _M庭A小透射系數為丁 =生=折=口7；（尸+ /）七（做矽+ Akrcr【知識儲備】 定態(tài)薛定諤方程孑頃3）=頃）方形勢壘0. Qr

7、心）在量子力學中，與經典物理顯著不同的是，能量E大于U0的粒子有可能越過勢 壘，但也有可能被反射回來；而能量E小于U。的粒子有可能被勢壘反射回來， 但也有可能貫穿勢壘而運動到勢壘右邊x a的區(qū)域中去。當EU0,透射系數D表示貫穿到x a區(qū)域的粒子在單位時間內流過垂直于x 方向的單位面積的數目，與入射粒子（在xa區(qū)域，另一部分被勢壘反射回去?！就卣拱l(fā)散】對于粒子入射方勢壘的物理模型，分別假設EV和E0時，再加上弱磁場三二三.3 ：，求t0時的波函數，以及測到自旋反轉的概率。中國科 學院2006研 【解題思路】在原置于磁場中的零電荷的粒子上，加載一個恒定的弱磁場，可以利用含時微擾理論，求解粒子自旋

8、狀態(tài)的反轉概率?！窘馕觥吭趖 = 0時，粒子在磁場中的哈密頓量為H = 逐=-四;吼粒子的處在本征態(tài)上，則相應的能量為E或版=帆在t 0時，粒子受到弱磁場=三上,J ：的微擾，其相應的微擾哈密頓量為H =岫=-蹌扒 1、粒子的初態(tài)為，粒子狀態(tài)反轉，其末態(tài)為。根據含時微擾理論可得相應的躍遷概率為其中山=機電_慫）其中體系在微擾作用下由初態(tài)fk躍遷到終態(tài)fm態(tài)的概率幅為5成）站打相應的矩陣元為I.r饑勺ig時心=（州砰 = *片（1。）吼 =-3心0% =_皿=-阿并且膈諦=ha -因此14=甘碼(壽心&二隊m升=皿 浦%g誘%所以自旋反轉的概率為吟 =MM :點京(1-攻。【知識儲備】自旋為1/

9、2粒子在磁場中的作用勢為I- = * ,其中5?為磁矩。含時微擾理論含時微擾體系哈密頓量AA AH(t)=H + H(t)體系波函數W所滿足的薛定諤方程為，. A . , . .一將W按H0的本征函數七展開得w 二 gg&M則在t時刻發(fā)現體系處于fm態(tài)的概率是|am (t)|2。. A .若體系在t = 0時處于H0的本征態(tài)fk，則口 g = %體系在微擾作用下由初態(tài)fk躍遷到終態(tài)fm態(tài)的概率幅為2 = 土氐(”帝相應的躍遷概率為吒5=1%（就株q描瞄w ,其中編=*玨碎）【拓展發(fā)散】粒子帶上電荷，改變微擾的形式，在原有磁場的基礎上加一個周期性脈沖的磁場， 形成類似拉比震蕩的模式。28粒子在勢場V中運動并處于束縛定態(tài)-中，試證明粒子所受勢場作用力的平均值為零。中國科學院2006研【解題思路】直接利用勢場中作用力的表達式，求解其平均值，然后利用與哈密頓量的對