1、2.3.3直線與圓的位置關(guān)系第二章2021第一頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。內(nèi)容索引0102課前篇 自主預(yù)習(xí)課堂篇 探究學(xué)習(xí)第二頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。核心素養(yǎng)思維脈絡(luò)1.能熟練地解二元二次方程組,并能運(yùn)用解方程或方程組來解決直線與圓的位置關(guān)系問題.(數(shù)學(xué)抽象)2.能根據(jù)給定的直線的方程、圓的方程用代數(shù)法和幾何法兩種方法來判斷直線與圓的位置關(guān)系.(邏輯推理)3.掌握求圓的切線方程的方法,并會(huì)求與圓有關(guān)的最值問題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算,直觀想象)第三頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。課前篇 自主預(yù)習(xí)第四頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。激趣誘思如圖是一個(gè)休閑娛樂廣場,廣場的中

2、心是一塊圓形區(qū)域的場地,旁邊被綠化植物包圍,小路貫穿其中,旁邊的馬路也與廣場相望.把圓形區(qū)域看成圓面,道路看成直線,人看成點(diǎn).第五頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。1.如果一個(gè)小孩在廣場里玩,他也恰好處在一條小路上,該小路穿越中心圓形區(qū)域,你覺得這個(gè)小孩在圓形區(qū)域內(nèi)嗎?2.如果一個(gè)小孩在圓形區(qū)域里玩,他也恰好處在一條小路上,該小路穿過圓形區(qū)域嗎?3.如果一個(gè)人在圓形區(qū)域里玩(不在圓心),假設(shè)此人的坐標(biāo)為(a,b),圓形區(qū)域?qū)?yīng)的不等式為x2+y2r2,另有一條小路對(duì)應(yīng)的直線方程為ax+by=r2,該小路與圓形區(qū)域有何位置關(guān)系?第六頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。知識(shí)點(diǎn)撥直線與圓的位置

3、關(guān)系 直線l:Ax+By+C=0(A2+B20),圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),設(shè)圓心(a,b)到直線位置關(guān)系幾何特征代數(shù)特征(方程聯(lián)立) 公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相離dr無實(shí)數(shù)解(0)0相切d=r一組實(shí)數(shù)解(=0)1相交d0)2第七頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。微練習(xí)直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系是()A.相切B.相交但直線不過圓心C.直線過圓心 D.相離答案 B 直線與圓x2+y2=1相交,又(0,0)不在y=x+1上,直線不過圓心.第八頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。微思考(1)過圓上一點(diǎn)有幾條切線?過圓外一點(diǎn)有幾條切線?若點(diǎn)(x0,y0)是圓x2+y2=r

4、2上的點(diǎn),你能得出過點(diǎn)(x0,y0)的圓的切線方程嗎?提示 過圓上一點(diǎn)一定有1條切線,過圓外一點(diǎn)一定有2條切線.過圓上一點(diǎn)(x0,y0)的切線方程為x0 x+y0y=r2.第九頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。(2)過圓C內(nèi)一點(diǎn)P(不同于圓心)的所有弦中,何時(shí)弦最長?何時(shí)弦最短?提示 過圓內(nèi)一點(diǎn)P的所有弦中,當(dāng)弦經(jīng)過圓心C時(shí)弦最長,等于直徑的長;當(dāng)弦與過點(diǎn)P的直徑垂直時(shí)弦最短.第十頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。課堂篇 探究學(xué)習(xí)第十一頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。探究一直線與圓的位置關(guān)系的判斷例1求實(shí)數(shù)m的取值范圍,使直線x-my+3=0與圓x2+y2-6x+5=0分別滿足:

5、相交;相切;相離.解 圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x-3)2+y2=4, 第十二頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。反思感悟直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法(1)幾何法:由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷.(2)代數(shù)法:根據(jù)直線方程與圓的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)來判斷.(3)直線系法:若直線恒過定點(diǎn),可通過判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系.但有一定的局限性,必須是過定點(diǎn)的直線系.第十三頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。變式訓(xùn)練1(1)(多選)已知ab0,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P(a,b)是圓x2+y2=r2外一點(diǎn),過點(diǎn)P作直線lOP,直線m的方程是ax+by=r2,則下列結(jié)論

6、正確的是()A.ml B.mlC.m與圓相離D.m與圓相交(2)已知直線l:x-2y+5=0與圓C:(x-7)2+(y-1)2=36,判斷直線l與圓C的位置關(guān)系.第十四頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。(1)答案 AD 第十五頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。(2)解 方法一(代數(shù)法) 得5x2-50 x+61=0.=(-50)2-4561=1 2800,該方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解,即直線l與圓C相交.方法二(幾何法)d1,故點(diǎn)M在圓外.當(dāng)切線斜率存在時(shí),設(shè)切線方程是y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,所以切線方程為24x-7y-20=0.又當(dāng)切線斜率不存在時(shí),直線x=2與

7、圓相切.綜上所述,所求切線方程為24x-7y-20=0或x=2.第十八頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。反思感悟求圓的切線方程的三種方法(1)幾何法:設(shè)出切線方程,利用圓心到直線的距離等于半徑,求出未知量,此種方法需要注意斜率不存在的情況,要單獨(dú)驗(yàn)證,若符合題意,則直接寫出切線方程.(2)代數(shù)法:設(shè)出切線方程后與圓的方程聯(lián)立消元,利用判別式等于零,求出未知量,若消元后的方程為一元一次方程,則說明要求的切線中,有一條切線的斜率不存在,可直接寫出切線方程.(3)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo):先利用切線的性質(zhì)解出切點(diǎn)坐標(biāo),再利用直線的兩點(diǎn)式寫出切線方程.第十九頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。延伸探究(1)本

8、例(2)中,若所給點(diǎn)M的坐標(biāo)是(1,-4),圓的方程不變,求切線方程.(2)本例(2)條件不變,試求切線長.解 (1)由于(1-1)2+(-4+3)2=1,故點(diǎn)(1,-4)在圓上,又圓心為(1,-3),所以切線斜率為0,所以切線方程為y=-4,即y+4=0.第二十頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。變式訓(xùn)練2(1)(多選)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為x2+y2-4x=0.若直線y=k(x+1)上存在一點(diǎn)P,使過P所作的圓的兩條切線相互垂直,則實(shí)數(shù)k的取值可以是()A.1B.2C.3D.4(2)過點(diǎn)P(2,3)且與圓(x-1)2+(y-2)2=1相切的直線的方程為.第二十一頁，編輯于

9、星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。答案 (1)AB(2)x=2或y=3 觀察各選項(xiàng),知實(shí)數(shù)k的取值可以是1,2. 第二十二頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。(2)P(2,3)在圓(x-1)2+(y-2)2=1外,過點(diǎn)P(2,3)與圓(x-1)2+(y-2)2=1相切的直線有兩條.當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)切線的斜率為k,則切線方程為y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,k=0,切線方程為y=3;當(dāng)斜率不存在時(shí),切線方程為x=2.第二十三頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。探究三與圓有關(guān)的最值問題第二十四頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。AC斜率存在,設(shè)直線AC的方程為y+1=kAC(x+3

10、),即kACx-y+3kAC-1=0,因?yàn)锳C與半圓x2+y2=3(y0)相切,第二十五頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。第二十六頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。反思感悟1.與圓有關(guān)的最值問題,可借助幾何特征及幾何法先確定達(dá)到最值的位置,再進(jìn)行計(jì)算.有些與圓有關(guān)的最值問題涉及是否過圓心,有時(shí)注意考慮表達(dá)式中字母的幾何意義,如兩點(diǎn)間距離公式、斜率公式、在y軸上的截距等.2.對(duì)于本題而言,解決的關(guān)鍵是理解m和b的幾何意義,同時(shí)要借助分界線探求參數(shù)的取值范圍.第二十七頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。變式訓(xùn)練3直線y=x-1上的點(diǎn)與圓x2+y2+4x-2y+4=0上的點(diǎn)的距離的最小值為

11、()答案 C 第二十八頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。素養(yǎng)形成思想方法用代數(shù)法和幾何法研究弦長問題案例1過點(diǎn)(3,1)作圓(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦長為.解析 設(shè)點(diǎn)A(3,1),易知圓心C(2,2),半徑r=2.當(dāng)弦過點(diǎn)A(3,1)且與CA垂直時(shí)為最短弦,第二十九頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。(1)求圓C的方程;(2)若直線3x-y+1=0與圓C相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長;(3)設(shè)過點(diǎn)(-1,0)的直線l與圓C相交于M,N兩點(diǎn),試問:是否存在直線l,使得以MN為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.第三十頁，編輯于星期五：二

12、十三點(diǎn) 四十七分。【規(guī)范答題】 圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=9.(2)圓C的圓心坐標(biāo)為(1,-2),半徑為3,第三十一頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。(3)存在直線l滿足題意.理由如下,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由題意,知OMON,且OM,ON 的斜率均存在,當(dāng)直線l 的斜率存在時(shí),可設(shè)直線l 的方程為y=k(x+1),代入(x-1)2+(y+2)2=9,得(1+k2)x2+(2k2+4k-2)x+k2+4k-4=0,第三十二頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。第三十三頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。歸納提升1.求直線與圓相交時(shí)的弦長有三種方法(1)交點(diǎn)法

13、:將直線方程與圓的方程聯(lián)立,求出交點(diǎn)A,B的坐標(biāo),根據(jù)兩點(diǎn)間的(2)弦長公式:如圖所示,將直線方程與圓的方程聯(lián)立,設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別是第三十四頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。(3)幾何法:如圖,直線與圓C交于A,B兩點(diǎn),設(shè)弦心距為d,圓的半徑為r,弦長為通常采用幾何法較為簡便.2.若涉及直線和圓相交的問題,除了借助平面幾何知識(shí)進(jìn)行分析,還經(jīng)常利用聯(lián)立方程,用解方程組的思路來討論有關(guān)弦長和垂直等問題.第三十五頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。當(dāng)堂檢測1.直線3x+4y-25=0與圓x2+y2=9的位置關(guān)系為()A.相切B.相交C.相離D.相離或相切答案 C第三十六頁，編輯于星期五：

14、二十三點(diǎn) 四十七分。2.對(duì)任意的實(shí)數(shù)k,直線y=kx+1與圓x2+y2=2的位置關(guān)系一定是()A.相離 B.相切C.相交但直線不過圓心D.相交且直線過圓心答案 C 解析 直線y=kx+1恒過定點(diǎn)(0,1),由定點(diǎn)(0,1)在圓x2+y2=2內(nèi),知直線y=kx+1與圓x2+y2=2一定相交.又直線y=kx+1不過圓心(0,0),則位置關(guān)系是相交但直線不過圓心,故選C.第三十七頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。3.若直線x-y+1=0與圓(x-a)2+y2=2有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.-3,-1B.-1,3C.-3,1 D.(-,-31,+)答案 C 第三十八頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分。4.已知直線l:mx+y-3=0與圓(x-1)2+(y-2)2=4交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別做l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn),若|AB|=4,則|CD|=.解析 圓(x-1)2+(y-2)2=4,圓心(1,2),半徑r=2,|AB|=4,直線l:mx+y-3=0過圓心(1,2),m+2-3=0,m=1,直線l:x+y-3=0,傾斜角為135,過A,B分別做l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn),第三十九頁，編輯于星期五：二十三點(diǎn) 四十七分