1、2009年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試卷考生注意：.答卷前，考生務(wù)必在答題紙上將姓名、高考準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，并在規(guī)定的區(qū)域內(nèi)貼上 條形碼.本試卷共有20道試題，滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.一.填空題(本大題滿分 60分)本大題共有11題，只要求在答題紙相應(yīng)題序的空格內(nèi)直 接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得零分.函數(shù)y 10g 2 (x 1)的定義域是.計(jì)算：(1 i)2 (i為虛數(shù)單位).x.函數(shù)y cos的最小正周期T.2.若集合 A x|x|1,集合 B x0 x2,則 AB .拋物線y2 x的準(zhǔn)線方程是.已知 a 3, b 2.若a b 3,則a與b夾角的大小為 .

2、22.過點(diǎn)A(4, 1)和雙曲線 匕 1右焦點(diǎn)的直線方程為 . 916.在 ABC 中，若 AB 3, ABC 75 , ACB 60 ,貝U BC 等于.已知對(duì)于任意實(shí)數(shù) x,函數(shù)f(x)滿足f( x) f (x).若方程f (x) 0有2009個(gè)實(shí)數(shù)解, 則這2009個(gè)實(shí)數(shù)解之和為. 一只猴子隨機(jī)敲擊只有 26個(gè)小寫英文字母的練習(xí)鍵盤.若每敲1次在屏幕上出現(xiàn)一個(gè) 字母，它連續(xù)敲擊10次，屏幕上的10個(gè)字母依次排成一行，則出現(xiàn)單詞“ monkey” 的概率為 (結(jié)果用數(shù)值表示). TOC o 1-5 h z .以下是面點(diǎn)師一個(gè)工作環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型：如圖，在數(shù)?01軸上截取與閉區(qū)間0, 1對(duì)應(yīng)的

3、線段，對(duì)折后(坐標(biāo) 12所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)重合）再均勻地拉成1個(gè)單位長度的線段，這一過程稱為一次操作原來的坐標(biāo)變成1,等等）.2（例如在第一次操作完成后， 原來的坐標(biāo) L、巨變成1,那么原閉區(qū)間0, 1上（除兩個(gè)端點(diǎn)外）的點(diǎn)，在第二次操作完成后，恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是;原閉區(qū)間0, 1上（除兩個(gè)端點(diǎn)外）的點(diǎn),其中有且只有4分，否則12.在空間中，“兩條直線沒有公共點(diǎn)”是“這兩條直線平行”的答(（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件.（C）充要條件.（D）既不充分也不必要條件213.過點(diǎn)P(0, 1)與圓x2x 30相交的所有直線中，被圓截得的弦最長時(shí)的直線在第n次操作完成后（n

4、1）,恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為二.選擇題（本大題滿分16分）本大題共有 4題，每題都給出四個(gè)結(jié)論, 一個(gè)結(jié)論是正確的，必須把答題紙上相應(yīng)題序內(nèi)的正確結(jié)論代號(hào)涂黑，選對(duì)得 一律得零分.答(方程是(A) x 0.(B)(C) x y 1 0.(D) xy 1 0.14.已知函數(shù)f(x)3X1,x10g 2 X,0, 什,若fx 0.X03 ,則X0的取值范圍是答(A) X08.(B) X0?；?Xo8.(C)0 Xo8.(D)x?；?0 X08.15.函數(shù)y1.1x 0）的反函數(shù)圖像是答(（D）三.解答題（本大題滿分 74分）本大題共有 5題，解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對(duì)應(yīng)的

5、題號(hào)）內(nèi)寫出必要的步驟.16.（本題滿分12分）如圖，在斜三棱柱 ABC A1B1cl中，A1ACACBAAiC ,側(cè)棱BBi與底面所成的26角為一，AAi 4J3, BC 4.求斜三棱柱 ABC 3的體積V .（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.已知數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn, a1 1 ,且3an 1 2Sn 3 （ n為正整數(shù)）.（1）求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；（2）記S a1 a?an.若對(duì)任意正整數(shù)n , kS Sn恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值.（本題滿分14分）我國計(jì)劃發(fā)射火星探測(cè)器，該探測(cè)器的運(yùn)行軌道是以火星（其半徑R 34百公里）的b分別為橢圓的長

6、半軸、短半軸的長，求此時(shí)探測(cè)中心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.如圖，已知 探測(cè)器的近火星點(diǎn)（軌道上離火星表面 最近的點(diǎn)）A到火星表面的距離為 8百 公里，遠(yuǎn)火星點(diǎn)（軌道上離火星表面最 遠(yuǎn)的點(diǎn)）B到火星表面的距離為800百公里.假定探測(cè)器由近火星點(diǎn)A第一次逆時(shí)針運(yùn)行到與軌道中心O的距離為Jab百公里時(shí)進(jìn)行變軌，其中 a、器與火星表面的距離（精確到 1百公里）),.(本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分5分,第3小 題滿分7分.如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，有一組對(duì)角線 長為an的正方形AnBnCnDn (n 1, 2, 其對(duì)角線BnDn依次放置在x軸上(相鄰頂點(diǎn)重合).設(shè)an是首

7、項(xiàng)為a,公差為d(d 0)的等差數(shù)列，點(diǎn) B1的坐標(biāo)為(d, 0).(1)當(dāng)a 8, d 4時(shí)，證明：頂點(diǎn)A,、A2、A3不在同一條直線上；(2)在(1)的條件下，證明：所有頂點(diǎn)An均落在拋物線y2 2x上；(3)為使所有頂點(diǎn)An均落在拋物線y2 2px ( p 0)上，求a與d之間 所應(yīng)滿足的關(guān)系式.(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小 題滿分10分.設(shè)函數(shù)fn( ) sinn ( 1)n cosn , 0,其中n為正整數(shù).4(1)判斷函數(shù)f1(卜f3()的單調(diào)性，并就f1()的情形證明你的結(jié)論；(2)證明：2f6( ) f4( )cos4sin4c

8、os2 sin2;(3)對(duì)于任意給定的正整數(shù)n,求函數(shù)3()的最大值和最小值.2009年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明.本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同，可參照解答 中評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的精神進(jìn)行評(píng)分.評(píng)閱試卷，應(yīng)堅(jiān)持每題評(píng)閱到底， 不要因?yàn)榭忌慕獯鹬谐霈F(xiàn)錯(cuò)誤而中斷對(duì)該題的 評(píng)I.當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，影響了后繼部分，但該步以后的解答未改變這一 題的內(nèi)容和難度時(shí)，可視影響程度決定后面部分的給分，這時(shí)原則上不應(yīng)超過后面部分應(yīng) 給分?jǐn)?shù)之半，如果有較嚴(yán)重的概念性錯(cuò)誤，就不給分.第16題至第20題中右端所注的分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的該

9、題累加分.給分或扣分均以1分為單位答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（第1至11題）每一個(gè)空格正確的給 5分，否則一律得零分1.(1,) .2. 2i.3. 4x 11x 42 .7. y x 5.8. -. 6 .39. 0.10.526111.一43 j一；n j為1, 2中的所有奇數(shù).42n（第12至15題）每一題正確的給 4分，否則一律得零分題號(hào)12131415三.(第16至20題)16.解在 RtAAiC 中，AC AA tan AAC4、口直4.3分3作B1 H 平面ABC ,垂足為H ,則 B1BH 萬，6分在 RtB1BH 中，B1H BB1 sin B1BH、.3AA1 sin- 4.3 6.

10、TOC o 1-5 h z 132 HYPERLINK l bookmark51 o Current Document - CV S ABC B1H- 4 4 6 48.2.解(1) 3an 1 2Sn 3, HYPERLINK l bookmark95 o Current Document 當(dāng) n 2 時(shí)，3an 2Sn1 3.由-，得 3an 1 3an 2an 0.a 1q K (n 2).an3又a1 1, 3a2 2a1 3,解得 a2 -.3一， 一， ，一 1,數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公比為q -的等比數(shù)列3n 1an a1q n 1-( n為正整數(shù)).(1)知,a112分3分4分6

11、分8分3n 1nQ ai 1 q33 d 1s n1n 1 qd 123i1 一33 .3 .由題息可知，對(duì)于任息的正整數(shù) n ,恒有k - 1 HYPERLINK l bookmark93 o Current Document 2210分?jǐn)?shù)列11 乂 -單調(diào)遞增,3,2當(dāng)n 1時(shí)，數(shù)列中的取小項(xiàng)為 一，3,2 一 一 2必有k -,即實(shí)數(shù)k的最大值為2 . HYPERLINK l bookmark105 o Current Document 33 HYPERLINK l bookmark55 o Current Document 2218.解設(shè)所求軌道方程為 二 1(a b 0), c va

12、2 b2 .a2b2a c 800 34, a c 8 34, a 438, c 396.于是 b2a2 c2 35028.14分22所求軌道方程為1.191844 35028設(shè)變軌時(shí)，探測(cè)器位于 P(X0, y),則22x02 y2 ab 81975.1, x0 1, 191844 35028解得 X0 239.7, y0 156.7 (由題意)10分探測(cè)器在變軌時(shí)與火星表面的距離為(X0 c)2y2R 187.3.13分答：探測(cè)器在變軌時(shí)與火星表面的距離約為187百公里.14分19.證明(1)由題意可知,A1 8,4 , A218,6 , A 32,kA1A26 4 -18 8 5kA2

13、As3218kAAkA2A3 ,12an 1 二 an 2(n 1)，2頂點(diǎn)A1, A2, A3不在同一條直線上(2)由題意可知，頂點(diǎn) An的橫坐標(biāo)xn d a1 a2(3)Xn消去 1頂點(diǎn)An的縱坐標(biāo)yn -an 2(n 1).2 一對(duì)任意正整數(shù)n,點(diǎn)An Xn, yn的坐標(biāo)滿足萬程 y 2x所有頂點(diǎn)An均落在拋物線y2 2X上.解法一由題意可知，頂點(diǎn) An的橫、縱坐標(biāo)分別是112d 2 a (n 1)a - (n 1) d,yn1a (n 1)d2為使得所有頂點(diǎn)d .a 2p, d a(d a) 2d2 2zXn ynddAn均落在拋物線解之，得d0.a、d所應(yīng)滿足的關(guān)系式是:解法二點(diǎn)Ai

14、 Xi, y1的坐標(biāo)為點(diǎn)AiX1, 2 必P 2X1y1在拋物線2a.4(2d a)X2又點(diǎn)A2 X2,y2的坐標(biāo)為V2a 0,因此，pXn又ynd 0, d4，1d a2把點(diǎn)A2X2,拋物線方程為a(d a)2dy2 2pX4p, aa 2d .Xiyi12分(p 0)上,則有8P.14分16分d -a, 21 a.22Px 上,11分3a 22(a且點(diǎn)A2也在拋物線上, d).V2代入拋物線方程，解得 a 2d .2 d y a2(n 1)a (n 1) d2(n 1)2 1d,13分1尹 (n 1)dn 1 d.2所有頂點(diǎn)An Xn, yn落在拋物線dX上. 215分a、d所應(yīng)滿足的關(guān)系

15、式是：a2d .16分20.解(1) f1(卜f3()在0,- 上均為單調(diào)遞增的函數(shù)4對(duì)于函數(shù)f1()sin cos ,設(shè) 12,1、20, -，則4f1(1)fl( 2)sin 1 sin 2cos 2 cos 1 ,(2)sin 1 sinf11 f1原式左邊2,cos 2 cos函數(shù)fi(0, 4上單調(diào)遞增.62 sin6 cos4 sin4 cos2 sin22 cos_ 4 sin_ 2 sin2 cos4 cos_ 4 sin4 cos1 sin2 22 cos原式右邊2. 22cossin2 -cos 22f6( ) f4( )cos4sin42 cossin2(3)當(dāng)n 1時(shí)，

16、函數(shù)f1()在0, 上單調(diào)遞增, 4f1 ()的最大值為f1 -0 ,最小值為f1 01.4當(dāng)n 2時(shí)，f21, 函數(shù)f2()的最大、最小值均為 1.當(dāng)n 3時(shí)，函數(shù)f3()在0, 上為單調(diào)遞增.4 TOC o 1-5 h z f3()的最大值為f3 0,最小值為f3 01.4 HYPERLINK l bookmark138 o Current Document 2當(dāng)n 4時(shí)，函數(shù)f4( ) 1 -sin2 2 在 0, - 上單倜遞減，41、f4()的最大值為f4 0 1,最小值為f4 -111分下面討論正整數(shù)n 5的情形：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，對(duì)任意1、20, 一且12,4fn( 1) fn( 2)sinn 1 sinn 2 cosn 2 cosn 1 ,以及 0sin 1 sin2 1,0cos2 cos 11,sinn1 sinn 2,cosn 2cosn1,從而fn(1) fn( 2)