1、動點問題 題型方法歸納時按已知線段身份不同分類-OP為邊、 OQ為邊, OP為邊、 OQ為對角線, OP 為對角線、 OQ為邊；然后畫出各類的圖形,依據(jù)圖形性質(zhì)動態(tài)幾何特點- 問題背景是特殊圖形,考 求頂點坐標(biāo)；查問題也是特殊圖形,所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過程中,特殊要關(guān)注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置；）動點問題始終是中考熱點,近幾年考查探究運(yùn)動中的特殊性： 等腰三角形、 直角三角形、相像三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值；下面就此問題的常見題型作簡潔介紹,解題方法、關(guān)鍵給以點撥；一、三角形邊上動點1、（20XX 年齊齊哈爾市） 直線

2、 y 3x 64與坐標(biāo)軸分別交于 A、B 兩點,動點 P、Q同時從 O 點動身,同時到達(dá) A 點,運(yùn)動停止點 Q 沿線段 OA 運(yùn)動,速度為每秒 1個單位長度, 點 P 沿路線 O B A 運(yùn)動（1）直接寫出 A、B 兩點的坐標(biāo)；（2）設(shè)點 Q 的運(yùn)動時間為 t 秒,OPQ 的面積為 S ,求出 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng) S 48時,求出點 P 的坐標(biāo), 并直5接寫出以點 O、 、Q 為頂點的平行四邊形的第四個頂點 M的坐標(biāo)y B P O Q A x 提示：第（ 2）問按點 P 到拐點 B 全部時間分段分類；第（ 3）問是分類爭論： 已知三定點 O、P、Q ,探究第四點構(gòu)成平行四

3、邊形2、（ 20XX年衡陽市）C B A C B C A O B D A E F F O E O 圖（ 1）圖（ 2）圖（ 3）如圖, AB 是 O 的直徑,弦BC=2cm ,ABC=60 o（1）求 O 的直徑；（2）如 D 是 AB 延長線上一點,連結(jié) CD,當(dāng) BD 長為多少時, CD 與 O 相切；（3）如動點 E 以 2cm/s 的速度從 A 點動身 沿著 AB 方向運(yùn)動,同時動點 F 以 1cm/s 的 速度從 B 點動身沿 BC 方向運(yùn)動, 設(shè)運(yùn)動時間為ts 0t2,連結(jié) EF,當(dāng) t 為何值時,BEF 為直角三角形留意：第（ 3）問按直角位置分類爭論3 、（ 2022 重慶綦江

4、）如圖,已知拋物線y a x 12 3 3 a 0 經(jīng) 過 點A 2,0 ,拋物線的頂點為 D,過 O 作射線 OMAD過頂點 D 平行于 x 軸的直線交射線 OM 于點 C ,B 在 x 軸正半軸上,連結(jié) BC （1）求該拋物線的解析式；（2）如動點 P 從點 O 動身,以每秒 1 個長度單位的速度沿射線 OM 運(yùn)動,設(shè)點 P 運(yùn)動的時間為 t s 問當(dāng) t 為何值時,四邊形DAOP 分別為平行四邊形？直角梯形？等腰梯形？（ 3）如 OC OB ,動點 P 和動點 Q 分別從點 O 和點 B 同時動身,分別以每秒 1 個長度單位和 2 個長度單位的速度沿 OC 和 BO運(yùn)動,當(dāng)其中一個點停止

5、運(yùn)動時另一個點也隨之停止運(yùn)動設(shè)它們的運(yùn)動的時間為t s ,連接 PQ ,當(dāng) t 為何值時,四邊形BCPQ 的面積最?。坎⑶蟪鲎钚≈导按藭rPQ 的長y D M C P A O Q B x 留意：發(fā)覺并充分運(yùn)用特殊角DAB=60當(dāng) OPQ面積最大時,四邊形 BCPQ的面積最??；二、特殊四邊形邊上動點4、（20XX 年吉林?。?如下列圖, 菱形 ABCD的邊長為6 厘米,B60 從初始時刻開頭,點 P 、 Q 同時從 A 點動身,點 P 以1 厘米 /秒的速度沿 A C B 的方向運(yùn)動 , 點 Q 以 2 厘 米 / 秒 的 速 度 沿A B C D 的方向運(yùn)動,當(dāng)點 Q 運(yùn)動到 D 點時, P 、

6、 Q 兩點同時停止運(yùn)動,設(shè) P 、Q 運(yùn)動的時間為 x 秒時,APQ 與ABC的面積為 y 平方厘米（這里規(guī)定：點和線段是面積為 O 的三角形） ,解答以下問題：（ 1）點 P 、 Q 從動身到相遇所用時間是秒；（2）點 P 、Q 從開頭運(yùn)動到停止的過程中,當(dāng)APQ是 等 邊 三 角 形 時 x 的 值 是秒；（3）求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式D C P A Q B 提示：第 3 問按點 Q到拐點時間 B、C全部時間分段分類；提示 - 高相等的兩個三角形面積比等于底邊的比；5、（ 20XX 年哈爾濱）如圖 1,在平面直角坐標(biāo)系中, 點 O 是坐標(biāo)原點, 四邊形 ABCO是菱形,點 A 的坐

7、標(biāo)為（3 ,4）,點 C 在x 軸的正半軸上,直線 AC 交 y 軸于點 M,AB 邊交 y 軸于點 H（1）求直線 AC 的解析式；（2）連接 BM,如圖 2,動點 P 從點 A 動身,沿折線 ABC 方向以 2 個單位秒的速度向終點 C 勻速運(yùn)動,設(shè) PMB 的面積為 S（S 0）,點 P 的運(yùn)動時間為 t 秒,求 S 與t 之間的函數(shù)關(guān)系式（要求寫出自變量 t 的取值范疇）；（3）在（2）的條件下,當(dāng) t 為何值時,MPB與 BCO 互為余角, 并求此時直線 OP 與直線 AC 所夾銳角的正切值y y x A H B A H B M M O C x O C 圖（1）圖（ 2）留意：第（

8、2）問按點P 到拐點 B 所用時間分段分類；第（ 3）問發(fā)覺 MBC=90 , BCO與ABM互余,畫出點 P運(yùn)動過程中,MPB=ABM的兩種情形,求出 t 值；利用 OBAC,再求 OP與 AC夾角正切值 . 6、20XX 年溫州 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點 A 3 ,0 ,B3 3 ,2 ,C（0,2 動點 D以每秒 1 個單位的速度從點 0 動身沿 OC 向終點 C運(yùn)動,同時動點 E 以每秒 2 個單位的速度從點 A 動身沿 AB 向終點 B 運(yùn)動過 點 E作 EF上 AB,交 BC于點 F,連結(jié) DA、DF設(shè) 運(yùn)動時間為 t 秒1 求 ABC的度數(shù)；2 當(dāng) t 為何值時, AB DF

9、；3 設(shè)四邊形 AEFD的面積為 S求 S 關(guān)于 t 的函數(shù)關(guān)系式；如一拋物線 y=x 2+mx 經(jīng)過動點 E,當(dāng)S2 3 時,求 m 的取值范疇 寫出答案即可 留意：發(fā)覺特殊性, DE OA 7、（ 07 黃岡）已知：如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCO 是菱形,且C P y B Q A x AOC=60 ,點 B 的坐標(biāo)是 0,8 3 ,點P 從點 C 開頭以每秒1 個單位長度的速度在O D 線段 CB 上向點 B 移動,同時, 點 Q 從點 O開頭以每秒a（1a3）個單位長度的速度沿射線 OA 方向移動,設(shè)t0t8秒后,直線 PQ 交 OB 于點 D. （1）求 AOB 的度數(shù)及線段

10、OA 的長；（2）求經(jīng)過 A,B,C 三點的拋物線的解析式；（3）當(dāng)a3,OD43時,求t 的值及3此時直線 PQ 的解析式；（4）當(dāng) a 為何值時,以O(shè) ,P,Q ,D 為頂點的三角形與OAB 相像？當(dāng)a 為何值時,以 O ,P,Q ,D 為頂點的三角形與OAB不相像？請給出你的結(jié)論,并加以證明. 8、（08 黃岡）已知：如圖,在直角梯形 COAB中, OCAB,以 O 為原點建立平面直角坐 標(biāo) 系 , A, ,C 三 點 的 坐 標(biāo) 分 別 為A 8 0 B 8 1 0 C, , 點 D 為 線 段BC 的中點,動點 P 從點O動身,以每秒 1個單位的速度, 沿折線 OABD 的路線移動,

11、移動的時間為 t 秒（1）求直線 BC 的解析式；（2）如動點 P 在線段 OA 上移動, 當(dāng) t 為何值時,四邊形 OPDC 的面積是梯形 COAB面積的2？7（3）動點 P 從點 O 動身,沿折線 OABD 的路線移動過程中,設(shè)OPD 的面積為 S ,請直接寫出 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式,并指出自變量 t 的取值范疇；（4）當(dāng)動點 P 在線段 AB 上移動時,能否在 線 段 OA 上 找 到 一 點 Q , 使 四 邊 形CQPD 為矩形？懇求出此時動點 P 的坐標(biāo)；如不能,請說明理由y D B x y D B x C P A C A O O （此題備用）9 、09 年黃岡市 如圖 ,在平

12、面直角坐標(biāo)系1 2 4 xoy 中,拋物線 y x x 10 與 x 軸 18 9 的交點為點 A,與 y 軸的交點為點 B. 過點 B 作 x 軸的平行線 BC,交拋物線于點 C,連結(jié) AC現(xiàn)有兩動點 P,Q 分別從 O ,C 兩點同時 動身 ,點 P 以每秒 4 個單位的速度沿 OA 向 終點 A 移動 ,點 Q 以每秒 1 個單位的速度沿 CB 向點 B 移動 ,點 P 停止運(yùn)動時 ,點 Q 也同 時停止運(yùn)動 ,線段 OC,PQ 相交于點 D,過點 D 作 DE OA ,交 CA 于點 E,射線 QE 交 x 軸于 點 F設(shè)動點 P,Q 移動的時間為 t單位 :秒 1求 A,B,C 三點

13、的坐標(biāo)和拋物線的頂點的坐標(biāo) ; 2 當(dāng) t 為何值時 ,四邊形 PQCA 為平行四邊形.請寫出運(yùn)算過程 ; 3 當(dāng) 0 t9 時, PQF的面積是否總為定 2 值.如是 ,求出此定值 , 如不是 ,請說明理由 ; 4 當(dāng) t 為何值時 , PQF為等腰三角形 .請寫 出解答過程提示：第（ 3）問用相像比的代換,得 PF=OA（定值）；第（ 4）問按哪兩邊相等分類爭論P(yáng)Q=PF,PQ=FQ,QF=PF. 三、直線上動點8、（ 20XX 年湖南長沙）如圖,二次函數(shù)2y ax bx c（a 0）的圖象與 x 軸交于 A、B 兩點,與 y 軸相交于點 C 連結(jié)AC、BC, 、C 兩 點 的 坐 標(biāo) 分

14、 別 為A 3 0 C 0,3,且當(dāng) x 4 和 x 2時二次函數(shù)的函數(shù)值 y 相等（1）求實數(shù) a, ,c 的值；（2）如點 M、N 同時從 B 點動身, 均以每秒 1 個單位長度的速度分別沿 BA、BC 邊運(yùn)動,其中一個點到達(dá)終點時,另一點也隨之停止運(yùn)動當(dāng)運(yùn)動時間為 t秒時,連結(jié)MN, 將B M N 沿 MN 翻 折 , B點恰好落在 AC 邊上的 P 處,求 t 的值及點P 的坐標(biāo)；（3）在（ 2）的條件下,二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點Q ,使得以 B,N,Q為項點的三角形與ABC相像？假如存在,懇求出點 Q 的坐標(biāo)； 假如不存在, 請說明理由A P y C N x M O B 提示

15、：第（ 2）問發(fā)覺特殊角 CAB=30 , CBA=60特殊圖形四邊形 BNPM為菱形；第 3 問留意到ABC 為直角三角形后,按直角位置對應(yīng)分類；先畫出與 ABC相像的BNQ ,再判定是否在對稱軸上；9、（2022 眉山）如圖, 已知直線 y 1x 12與 y 軸交于點 A,與 x 軸交于點 D,拋物線1 2y x bx c 與直線交于 A、E 兩點,與2x軸交于 B、C兩點, 且 B 點坐標(biāo)為 1 ,0 ；求該拋物線的解析式；動點 P 在 x 軸上移動,當(dāng)PAE是直角三角形時,求點 P 的坐標(biāo) P； 在 拋 物 線 的 對 稱 軸 上 找 一 點 M, 使| AM MC | 的值最大,求出

16、點 M的坐標(biāo)；提示：第（ 2）問按直角位置分類爭論后畫出圖形 -P 為直角頂點 AE為斜邊時, 以AE為直徑畫圓與 x 軸交點即為所求點 P,A 為直角頂點時, 過點 A 作 AE垂線交 x 軸于點 P, E為直角頂點時,作法同；第（3）問,三角形兩邊之差小于第三邊,那么等于第三邊時差值最大；10、（ 20XX 年蘭州） 如圖, 正方形 ABCD 中,點 A、B的坐標(biāo)分別為 （0,10）,（8,4）,點 C在第一象限動點P 在正方形ABCD的邊上,從點 A 動身沿 ABCD勻速運(yùn)動,同時動點Q 以相同速度在x 軸正半軸上運(yùn)動,當(dāng) P點到達(dá) D點時,兩點同時停止運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動的時間為 t 秒1 當(dāng)

17、 P 點在邊 AB上運(yùn)動時, 點 Q的橫坐標(biāo)x （長度單位）關(guān)于運(yùn)動時間 t （秒）的函數(shù)圖象如圖所示,請寫出點 Q開頭運(yùn)動時的坐標(biāo)及點 P 運(yùn)動速度；2 求正方形邊長及頂點 C的坐標(biāo)；3 在（ 1）中當(dāng) t 為何值時,OPQ的面積最大,并求此時 P 點的坐標(biāo)；4 假如點 P、Q保持原速度不變,當(dāng)點 P 沿 ABCD勻速運(yùn)動時, OP與 PQ能否相等,如能,寫出全部符合條件的 t 的值；如不能,請說明理由留意：第（ 4）問按點 P 分別在 AB、BC、CD邊上分類爭論；求 t 值時,敏捷運(yùn)用等腰三角形“ 三線合一”；11、（20XX 年北京市） 如圖, 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中, ABC三

18、個頂點的坐標(biāo)分別為A6,0,B6,0,C0, 4 3,延長AC 到點 D,使 CD=1 2交 BC 的延長線于點AC ,過點 D 作 DE AB E. （1）求 D 點的坐標(biāo)；（2）作 C 點關(guān)于直線 DE 的對稱點 F,分別連結(jié) DF、EF,如過 B 點的直線 y kx b 將四邊形 CDFE 分成周長相等的兩個四邊形,確定此直線的解析式；（ 3）設(shè) G 為 y 軸上一點,點 P 從直線y kx b 與 y 軸的交點動身,先沿 y 軸到達(dá) G 點,再沿 GA 到達(dá) A 點,如 P 點在 y軸上運(yùn)動的速度是它在直線 GA 上運(yùn)動速度的 2 倍,試確定 G 點的位置, 使 P 點依據(jù)上述要求到達(dá)

19、 A 點所用的時間最短； （要求：簡述確定 G 點位置的方法,但不要求證明）提示：第（）問,平分周長時,直線過菱形的中心；第（）問,轉(zhuǎn)化為點到的距離加到（）中直線的距離和最??； 發(fā)覺（）中直線與軸夾角為. 見“ 最短路線問題” 專題；12、 20XX 年上海市 A P D A P D A D P Q 圖 1 C B （Q） 圖 2 C B 圖 3 C B Q 已知 ABC=90 , AB=2,BC=3,AD BC,P 為線段 BD上的動點,點 Q在射線 AB上,且滿意 PQ AD（如圖 1 所示）PC AB（1）當(dāng) AD=2,且點 Q 與點 B 重合時（如圖2 所示）,求線段 PC 的長；（2

20、）在圖 8 中,聯(lián)結(jié) AP當(dāng) AD 3,且點 2Q 在線段 AB 上時,設(shè)點 B Q、 之間的距離為SAPQ x,y,其中 SAPQ 表示 APQ的面 SPBC積,SPBC 表示PBC 的面積,求 y 關(guān)于 x的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)定義域；（3）當(dāng) AD AB,且點 Q 在線段 AB 的延長線上時（如圖 3 所示）,求 QPC 的大小留意：第（ 2）問,求動態(tài)問題中的變量取值范疇時,先動手操作找到運(yùn)動始、末 兩個位置變量的取值,然后再依據(jù)運(yùn)動的特點確定滿意條件的變量的取值范 圍；當(dāng) PCBD時,點 Q、B重合, x 獲得 最小值；當(dāng) P 與 D重合時, x 獲得最大 值；第（ 3）問,敏捷運(yùn)

21、用 SSA判定兩三角形相像,即兩個銳角三角形或兩個鈍角三 角形可用 SSA來判定兩個三角形相像；或者用同一法；或者證BQP BCP,得 B、Q、C、 P四點共圓也可求解；13、（08 宜昌）如圖,在 Rt ABC中, ABAC,P是邊 AB（含端點）上的動點過 P作 BC的垂線 PR,R為垂足, PRB的平分線與 AB相交于點 S,在線段 RS上存在一點 T,如 以線段 PT為一邊作正方形 PTEF,其頂點 E,F 恰好分別在邊 BC,AC上（1） ABC與 SBR是否相像,說明理由；（2）請你探究線段 TS 與 PA的長度之間的關(guān)系；（3）設(shè)邊 AB1,當(dāng) P 在邊 AB（含端點）上運(yùn)動時,

22、請你探究正方形 PTEF的面積 y的最小值和最大值CERTBERTBSSFPFPACA第 13 題 第 13 題 提示：第（ 3）問,關(guān)鍵是找到并畫出滿意 條件時最大、 最小圖形； 當(dāng) p 運(yùn)動到使 T 與R 重合時, PA=TS 為最大；當(dāng) P 與 A 重合 時, PA 最??；此問與上題中求取值范疇類似；14、 20XX 年河北 如圖,在 Rt ABC 中,C=90 ,AC = 3 ,AB = 5 點 P 從點 C 出發(fā)沿 CA 以每秒 1 個單位長的速度向點 A 勻速運(yùn)動,到達(dá)點 A 后馬上以原先的速度沿AC 返回；點 Q 從點 A 動身沿 AB 以每秒 1個單位長的速度向點 B 勻速運(yùn)動

23、相伴著 P、Q 的運(yùn)動, DE 保持垂直平分 PQ,且交 PQ于點 D,交折線 QB-BC-CP 于點 E點 P、Q 同時動身,當(dāng)點 Q 到達(dá)點 B 時停止運(yùn)動,點 P 也隨之停止設(shè)點 P、Q 運(yùn)動的時間是t 秒（ t0）（1）當(dāng) t = 2 時, AP = ,點 Q 到 AC的距離是；（2）在點 P 從 C 向 A 運(yùn)動的過程中,求 APQ 的面積 S 與 t 的函數(shù)關(guān)系式； （不必寫出 t 的取值范疇）（3）在點 E 從 B 向 C 運(yùn)動的過程中,四邊形 QBED 能否成為直角梯形？如能,求 t 的值如不能,請說明理由；（4）當(dāng) DE 經(jīng)過點 C 時,請直接寫出 t 的值B Q E D A

24、 P C 提示：（）按哪兩邊平行分類,按要求畫出圖形,再結(jié)合圖形性質(zhì)求出 t 值；有二種成立的情形, , ；（）按點 P 運(yùn)動方向分類,按要求畫出圖形再結(jié)合圖形性質(zhì)求出 t 值；有二種情形,t 時,時15 、（ 20XX 年 包 頭 ） 已 知 二 次 函 數(shù)y ax 2 bx c （a 0）的圖象經(jīng)過點A , ,B 2 0, ,C 0,2,直線 x m（m 2）與 x 軸交于點 D （1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在直線 x m（m 2）上有一點 E（點E在第四象限） ,使得 E、D、B 為頂點的三角形與以 A、O、C 為頂點的三角形相似,求 E 點坐標(biāo)（用含 m 的代數(shù)式表示） ；（3）在

25、（ 2）成立的條件下,拋物線上是否存在一點 F ,使得四邊形 邊形？如存在,懇求出ABEF 為平行四 m 的值及四邊形ABEF 的面積；如不存在,請說明理由提示：第（ 2）問,按對應(yīng)銳角不同分類爭論,有兩種情形；第（3）問,四邊形 ABEF 為平行四邊形時,E、F 兩點縱坐標(biāo)相等, 且 AB=EF ,對第（2）問中兩種情形分別爭論；四、拋物線上動點16、（20XX 年湖北十堰市）如圖,已知拋物線 y ax 2bx 3（ a 0）與 x 軸交于點 A1,0和點 B 3,0,與 y 軸交于點 C1 求拋物線的解析式；2 設(shè)拋物線的對稱軸與 x 軸交于點 M ,問在對稱軸上是否存在點 P,使 CMP

26、 為等腰三角形？如存在, 請直接寫出全部符合條件的點 P 的坐標(biāo)；如不存在,請說明理由3 如圖,如點 E 為其次象限拋物線上一動點,連接 BE、CE,求四邊形 BOCE 面積的最大值,并求此時 E 點的坐標(biāo)留意：第（ 2）問按等腰三角形頂點位置分類爭論畫圖再由圖形性質(zhì)求點P坐標(biāo) -C為頂點時, 以 C為圓心 CM為半徑畫弧, 與對稱軸交點即為所求點 P, M 為頂點時,以 M為圓心 MC為半徑畫弧,與對稱軸交點即為所求點 P,P 為頂點時,線段 MC的垂直平分線與對稱軸交點即為所求點 P；第（ 3）問方法一,先寫出面積函數(shù)關(guān)系式,再求最大值（涉及二次函數(shù)最值）；方法二,先求與 BC平行且與拋物線相切點的坐標(biāo)（涉及簡潔二元二次方程組）,再求面積；17、（20XX 年黃石市）正方形 ABCD 在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,A在 x軸正半軸上, D 在 y 軸的負(fù)半軸上,AB 交 y 軸正半軸于 E,BC 交 x 軸負(fù)半軸于 F ,OE 1,拋物線 y ax 2 bx 4 過A、D、F