1、概率隨機變量概念和分布規(guī)律完全猜測回答兩道是非題，問：答對一題的機會有多大？隨機放回地從盒子 中抽取兩次，1、有多少種結果？2、抽取兩次之和等于6的機會是多少？1.2.3.4.5.一盒裝有三張紅白黑票子的盒子，隨機不返回地抽取兩張票，問：先抽出紅色票，隨后抽出白色票的機會是多少？如果是隨機返回的呢？一顆骰子擲兩次，得到兩個幺點的機會是多少？一枚硬幣拋三次，兩次正面，隨后一次反面的機會是多少？一顆骰子擲六次，下列情況你選哪個？（1）至少出現(xiàn)一個幺點，贏一元（2）出現(xiàn)六個幺點，贏六元（3）出現(xiàn)六個幺點，贏三十六元一、將數(shù)值答案與文字描述相匹配。（1）50 （2）0（3）10（4）50（5）90（6

2、）100（7）200（a）發(fā)生和不發(fā)生的可能一樣（b）這十分可能發(fā)生，但不是一定發(fā)生（c）這不發(fā)生（d）這能夠發(fā)生，但不大可能（e）這無疑會發(fā)生（f）這程序有毛病二、擲一顆骰子6000次，可期望大約多少次幺點？三、一盒裝有4張票的盒子，一張上有星號，其余三張空白，隨機有返回地抽取兩次，問：1.第一次抽取得到一張空白的機會是多少？2.第二次抽取得到一張空白的機會是多少？3.第一次空白，第二次也空白的機會是多少？4.兩次都沒有得到星號的機會是多少？5.兩次抽取中至少一次得到星號的機會是多少？四、1.一顆骰子擲3次，至少得到一個幺點的機會是多少？2.同上，但是擲6次。3.同上，但是擲12次。五、二戰(zhàn)

3、中，飛行員每次執(zhí)行任務有2機會被擊中，因此，50次任務被擊中的機會是100，這是個充分的論據嗎？三、3/4,3/4,9/16,9/16,7/16四、1、（5/6 ） 58，有一個幺點為： 15842 2、67 3、893 頻率分布直方圖 二項式（pq） 的展開1.展開式共有n1項按降冪排列，指數(shù)從n逐項減1到0，q按升冪排列，指數(shù)從0逐項增1到n3.各項次數(shù)和等于二項式的次數(shù)4. 從第一項起，各項系數(shù)依次為： C C C Cnn01nnn1nn5.兩端等距項的系數(shù)相等6.項數(shù)奇數(shù)時（二項式指數(shù)n為偶數(shù)),中間一項系數(shù)最大；項數(shù)偶數(shù)時（二項式指數(shù)n為奇數(shù)），中間兩項系數(shù)相等并且最大。楊輝三角 1

4、 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1有10題是非題，有一考生全憑猜測回答，問：能答對5題、6題、7題、8題、9題、10題的概率各為多少？至少答對5題的概率為多少？我們可以把回答一題作為一次實驗，這是10次獨立的實驗，每次有兩個結果，答對概率p等于答錯概率q等于1/2。用隨機變量x表示10次實驗中答對的題數(shù)，

5、則：猜中10題的概率為：P（X10）C p q （1/2） （1/2） P（X9）C10p q （1/2）（1/2）101010010！10！0！10099110！9！1！91P（X8）C p q （1/2）（1/2）P（X7）C p q P（X6）C p q （1/2）（1/2）P（X5）？8108210！8！2！82107731066410！6！4！64P一盒裝有一個紅球，五個綠球的盒子，隨機放回地從盒子里抽取4次，求下列結果的機會：1.紅球一次也沒有2.只有一次紅球3.有兩次抽到紅球4.抽到三次紅球5.每次都抽到紅球6.紅球至少出現(xiàn)兩次某種藥物對某種疾病治愈率為，如5人患病用該藥物治療，

6、問：治愈人數(shù)的概率分布是什么？至少有2人治愈的概率是多少？（5/6）625/1296=0.4823=48.2%4(1/6)(5/6)=500/1296=0.3858=38.6%6(1/6) (5/6) =150/1296=0.1157=11.6%4(1/6) (5/6)=20/1296=0.0154=1.5%(150+20+1)/1296=0.1319=13.2%42234兩種常用的概率分布第一節(jié) 概率第二節(jié) 二項分布第三節(jié) 正態(tài)分布第一節(jié) 概率一、事件及其概率（一）隨機事件 概率論：是從量的方面研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律的科學。 隨機現(xiàn)象：是指在相同條件下反復進行觀察或實驗，其結果無法事先預定的

7、現(xiàn)象。 如：擲硬幣，其結果有兩個，正面或反面。在隨機現(xiàn)象中出現(xiàn)的各種可能結果，稱為隨機事件，簡稱事件。 在每次試驗中一定發(fā)生的事件，稱為必然事件；而一定不會發(fā)生的事件，稱為不可能事件。如純水在標準大氣壓下零度結冰等。（二）事件的概率 1、頻率：對于隨機事件A，如果在N次試驗中出現(xiàn)a次，則A發(fā)生的頻率記作 （）頻率滿足不等式0P（A）1。若A是必然事件，則P（A）=1，若A是不可能事件，則P（A）=0。 2、經驗概率 計數(shù)某事件在一系列試驗中發(fā)生的次數(shù)，然后計算發(fā)生次數(shù)與試驗總次數(shù)的比值得到頻率。試驗次數(shù)越多，某事件發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)上下波動。當試驗次數(shù)無窮時該事件發(fā)生的頻率會與一常數(shù)相等，

8、把這一常數(shù)稱為某事件的概率。（統(tǒng)計定義） 3、先驗概率 試驗滿足：試驗中各種可能結果（基本事件）是有限的，并且每種結果發(fā)生的可能性是不變時，則某事件發(fā)生的概率等于該事件包含的基本事件數(shù)（K）除以試驗中可能發(fā)生的基本事件總件數(shù)（N）之商。 經驗概率是由計算事件發(fā)生的頻率而得，先驗概率是在實踐之前利用有關事實確定的。前者給出了概率的操作性定義，后者提供了概率的理論上的基本定義。 4、概率的性質（1）對任一事件A，有0P（A）1。（2）不可能事件的概率等于零。（3）必然事件的概率等于1。 5、小概率事件 在統(tǒng)計推斷中，將一次試驗中發(fā)生的概率小于的事件，稱為小概率事件。認為它是一次試驗中同乎不可能發(fā)生

9、的事件。二、概率的兩個基本法則（一）概率的加法法則兩個互不相容（或互斥）事件A、B之和的概率等于兩個事件分別發(fā)生的概率，即P（A+B）=P（A）+P（B）在一次試驗中不可能同時出現(xiàn)的事件稱為互不相容事件。例1 在9道題中，有6道選擇題，2道是非題，1道填空題，隨機抽出一題，求抽出的為是非或選擇題的概率是多少？解：抽出是非題為事件A，抽出選擇題為事件B，隨機抽一題，只能是抽取三類題中的一題，所以A，B為互不相容事件?！俺槌龅臑槭欠腔蜻x擇題”意思是無論抽得兩種題中的哪一種都表示該事件發(fā)生了，因此是求兩個事件之和的概率P（A+B）。 P（A）=2/9, P(B)=6/9所以P（A+B）=P（A）+P

10、（B）=8/9（二）概率的乘法法則兩個相互獨立事件A、B之積的概率等于兩個事件分別發(fā)生的概率的積，即P（AB）=P（A） P（B）兩個相互獨立事件就是指一個事件發(fā)生的概率與另一個事件的發(fā)生無關，兩個事件的積就是指兩個事件同時發(fā)生的事件。例2 兩道四選一題，憑猜測做對一題的概率是多少？解：設第一題做對為事件A，做錯為事件 ，第二題做對為事件B，做錯為事件 ，做對第一題的概率為P（A ），做對第二題的概率為P（ B ），所以做對任意一題的概率為P（A ）+P（ B ）=P（A）P（ ）+P（ ）P（B）=1/4*3/4+3/4*1/4=3/8一盒裝有一個紅球，五個綠球的盒子，隨機放回地從盒子里抽取

11、4次，求下列結果的機會：1.紅球一次也沒有2.只有一次紅球3.有兩次抽到紅球4.抽到三次紅球5.每次都抽到紅球6.紅球至少出現(xiàn)兩次例：投擲一粒均勻的六面體骰子，出現(xiàn)的點數(shù)有可能是1、2、3、4、5、6共六種。這六種結果是基本結果，不可以再分解成更簡單的結果了，所以=1，2，3，4，5，6為該試驗的樣本空間?！俺霈F(xiàn)點數(shù)是奇數(shù)”這一事件就不是簡單事件，它是由基本事件1，3和5組合而成的。我們通常用大寫字母A，B，C，來表示隨機事件，例如，設A表示“出現(xiàn)點數(shù)是奇數(shù)”，則A=1，3，5；設B表示“出現(xiàn)點數(shù)是偶數(shù)”，則B=2，4，6。一盒裝有三張紅白黑票子的盒子，隨機不返回地抽取兩張票，問：先抽出紅色票

12、，隨后抽出白色票的機會是多少？如果是隨機返回的呢？ 第二節(jié) 二項分布（pq） 的展開1.展開式共有n1項按降冪排列，指數(shù)從n逐項減1到0，q按升冪排列，指數(shù)從0逐項增1到n3.各項次數(shù)和等于二項式的次數(shù)4. 從第一項起，各項系數(shù)依次為： C C C Cnn01nnn1nn5.兩端等距項的系數(shù)相等6.項數(shù)奇數(shù)時（二項式指數(shù)n為偶數(shù)),中間一項系數(shù)最大；項數(shù)偶數(shù)時（二項式指數(shù)n為奇數(shù)），中間兩項系數(shù)相等并且最大。（一）二項分布的概念 所謂分布的指隨機變量的概率分布。 如果一次試驗中只會發(fā)生兩種結果，非A即B，A和B就是對立事件。發(fā)生A和B的概率分別為p和q，顯然P（A）+P（B）=p+q=1。而且

13、 重復多次試驗時，各次試驗結果之間互不影響，各次試驗結果之間是相互獨立事件，則在n次試驗中，A事件可能出現(xiàn)的次數(shù)k(k=0,1,n)是隨機的，也就是有n+1個概率值。A事件出現(xiàn)各種可能結果這一隨機變量的概率分布就叫二項分布。二項分布中A事件出現(xiàn)的k次的概率與二項展開式的各項相對應。楊輝三角 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210

14、120 45 10 1二項式定理： 二項分布中A事件出現(xiàn)k次的概率與上式中各項對應，通式為（）(6.6) 例3 憑猜測做五道是非題，答對的概率p=1/2,答錯的概率q=1/2，問五題中答對k（k=0,1,2,3,4,5)題的概率各是多少？解：根據二項式定理答對5題的概率1/32答對4題的概率5/32答對3題的概率10/32答對0題的概率1/325題中答對各種可能結果的概率之和為1。所以在二項分布中，n+1項的概率之和為1。若p=q,則概率分布呈對稱性，與兩端等距的項的概率相等。若pq,n較小時，概率分布不對稱，當n較大時（大于等于30或50），概率分布逐步對稱。（二）二項分布的平均數(shù)與標準差

15、（對隨機變量k進行計算）平均數(shù)： =np標準差： =二、二項分布的應用 例4 某個學生一次測驗回答20道是非題，每題1分，他得了18分，問（1）憑猜測得18分的概率是多少？（2）他的成績若在18分以上，是否是憑猜測得到的？ 解：（1）p=0.5,q=0.5,n=20,k=18,代入公式（）得即憑猜測得18分的可能性只有十萬分之十八。（2）依題意應首先求該學生得18分，19分、20分三種分數(shù)的概率之和是多少，然后從這個概率的大小判斷他是否是憑猜測得到這個分數(shù)。 同樣P（19） P（20） 三者之和為0.000201,即憑猜測得18分以上的概率只有萬分之二，可以斷定，他得18分以上不是憑猜測得到的

16、。有10題是非題，有一考生全憑猜測回答，問：能答對5題、6題、7題、8題、9題、10題的概率各為多少？至少答對5題的概率為多少？我們可以把回答一題作為一次實驗，這是10次獨立的實驗，每次有兩個結果，答對概率p等于答錯概率q等于1/2。用隨機變量x表示10次實驗中答對的題數(shù)，則：猜中10題的概率為：P（X10）C p q （1/2） （1/2） P（X9）C10p q （1/2）（1/2）101010010！10！0！10099110！9！1！91P（X8）C p q （1/2）（1/2）P（X7）C p q P（X6）C p q （1/2）（1/2）P（X5）？8108210！8！2！8210

17、7731066410！6！4！64第三節(jié) 正態(tài)分布一、正態(tài)分布的概念 正態(tài)分布是指在一個概率分布中，中間頻數(shù)多，兩端頻數(shù)相對稱地減少，形成一種“鐘”形對稱的理論概率分布。 圖6-1 正態(tài)分布 在二項分布中，當p=q,當均數(shù)np=5,n=10時，二項分布可看作正態(tài)分布的近似形。圖6-2 平均數(shù)、標準差相同的二項分布直條圖和正態(tài)分布圖某種藥物對某種疾病治愈率為，如5人患病用該藥物治療，問：治愈人數(shù)的概率分布是什么？至少有2人治愈的概率是多少？（二）正態(tài)分布曲線圖6-1為正態(tài)分布曲線，其方程為 其中，Y為正態(tài)分布曲線的高度，表示隨機變量的概率的大小或觀測值出現(xiàn)的相對次數(shù)，X為觀測值，即隨機變量的可能

18、取值；、分別為X的平均數(shù)和標準差，e=2.71828,=3.1416。（） 從式可看出，Y的值與離差|X-|的絕對值有關，它是以X=這一點的縱線為對稱軸的軸對稱圖形。它的位置和形狀由平均數(shù)和標準差決定。在同一直角坐標系中，平均數(shù)的大小決定圖形的位置左移或右移，當較小時，圖形向左移；當較大時，圖形向右移。見圖6-3（a)=0=1=5=1圖6-3（a）標準差的大小決定圖形的陡峭平緩程度，即決定縱線高度的最大值。當標準差較大時，概率分布的離中趨勢較大，觀測值分散在較大范圍內，縱線高度的最大值較小，正態(tài)分布曲線形狀較平緩；當標準差較小時，概率分布的離中趨勢較小，觀測值分散在較小范圍內，縱線高度的最大值

19、較大，正態(tài)分布曲線形狀較陡峭。如圖6-3（b)圖6-3（b)=1 在無數(shù)條正態(tài)分布曲線中有一條曲線=0，=1，這條曲線稱為標準正態(tài)曲線，見圖6-3（a）中左側的一條曲線。其方程簡化為二、標準正態(tài)分布曲線的特點 1、曲線最高點為Z=0，曲線下的總面積即概率總和為1，對稱軸左右各。 2、曲線是以過Z=0的縱線為對稱軸呈鐘形的軸對稱圖形。 3、標準正態(tài)分布的平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)三點重合在Z=0這一點上。 4、曲線與對稱軸交點處Y值最大，即此處觀測值的相對次數(shù)最大，概率最大；曲線向兩側先快后慢地下降，在Z=1處有兩個拐點；橫軸是標準正態(tài)曲線的水平漸近線，曲線向兩側逐漸接近橫軸，但永不相交。三、正態(tài)分布表

20、（一）正態(tài)分布表的結構 它是通過公式（）計算得到的。 表中第一列給出了從0到的Z值，第二列給出了與Z對應的過點Z的縱線的高度Y值，第三列給出了曲線下面積P值是過Z=0人縱線與過表中某Z點人縱線所夾圖形的面積比率，即相應區(qū)間的隨機變量的概率。（二）正態(tài)分布表的使用 已知Z值查出對應的P值和Y值；已知P值查出對應的Z值和Y值。1、已知Z值，求P值。例5 在正態(tài)分布表中：（1）求Z=-1與Z=1之間的面積比率。解：查表，當Z=1時，P1=0.34134,由它的對稱性，當Z=-1時，所以所求的面積比率為：。（2）求 與之間的面積比率.解：查表，當時，P1=0.49506,由它的對稱性，當時，P2=0.

21、 49506，所以所求的面積比率為：。例6 利用正態(tài)分布表求：（1）正態(tài)曲線下處左側的面積。 (2) 正態(tài)曲線下處右側的面積。（3）正態(tài)曲線下處左側的面積。（4）正態(tài)曲線下處右側的面積。解：（1）查表得，P=0.40988, 由于正態(tài)曲線對稱軸左側的面積為0.5, 所以所求面積為:0.5+0.40988=0.90988. (2) z=2.16,p=0.48461,由于對稱軸右側的面積為0.5,故所求面積為: 0.5-0.48461=0.01539. (3)查表得時,P=0.44950,所以時,P=0.44950,即它與Z=0所夾面積為P=0.44950,故所求面積為:0.5-P=0.0505.

22、 (4) 當時,P=0.43319,所以當時,P=0.43319,故所求面積為: 0.5+P=0.93319.2、已知P值，求Z值。例7 利用正態(tài)分布表，求：（1）求中央50%的面積操作的下限Z值和上限Z值。（2）求正態(tài)曲線下右尾20%的面積的下限Z值。（3）求正態(tài)曲線下左側30%的面積的上限Z值。解：（1）由于正態(tài)曲線的對稱性，中央50%的面積為對稱軸左右兩側各25%的面積的和。所以，查附表，表中沒有恰等于的P值，可以用誤差最小的近似值作為P的近似值，對應的，故Z的下限為，Z的上限為。 (2)所要求的Z值是表中處對應的Z值，取最近似的值，其對應的Z值為，故所求的下限Z值為。 （3）對稱軸與過

23、Z值點縱線所夾面積為，表中最近的P值為，其對應的，它的對稱點為，為所求。四、正態(tài)曲線下面積的應用（一）推求考試成績中特定區(qū)間的人數(shù)例8 已知某年級200名學生考試成績呈正態(tài)分布，平均分為85分，標準差為10分，學生甲的成績?yōu)?0分，問全年級成績比學生甲低的學生人數(shù)是多少？解：屬于已知Z值求P值問題。一般分3步完成：a)計算甲生成績的標準分數(shù)；b)根據Z值查表求得對稱軸與過Z值縱線所夾的面積；再計算出Z值左側的曲線面積；c)將面積比率乘以總人數(shù)，即可得比甲生分數(shù)低的學生的實際人數(shù)。 甲的標準分數(shù)： =（70-85） 查表，時，P=0.43319,故左側的面積為：。 200*0.06681=13（

24、人），所以全年級成績比學生甲低的學生人數(shù)是13人。例：某大學英語考試成績服從正態(tài)分布，已知平均成績?yōu)?0分，標準差為10分。求該大學英語成績在6075分的概率。 例9 某次升學考試，學生成績符合正態(tài)分布，1000名考生英語平均60分，標準差15分，試求：（1）70-80分之間有多少人？（2）90分以上有多少人？解：已知學生的分數(shù)，求某分數(shù)區(qū)間的實際人數(shù)。屬于Z-P問題。（1）Z1= =（70-60） 根據Z1，Z2查表，得，即分數(shù)在70-80之間的人數(shù)占總人數(shù)的15.967%，即1000*0.15967=160人。(2)Z3= =(90-60)/15=2 查表得，90分以上人數(shù)比率為：。即10

25、00*0.02275=23(人）。（二）推求考試成績中某一特定人數(shù)比率的分數(shù)界限 例10 某次招生考試，學生成績符號正態(tài)分布，學生成績的平均分為80分，標準差為10分，要擇優(yōu)錄取25%學生進入高一級學校學習，問最低分數(shù)線是多少分？ 解：它屬于P-Z問題。根據錄取率可算出曲線下對應的面積，查正態(tài)分布表，可得錄取分數(shù)線對應的Z值，再根據平均分，標準差，算出錄取分數(shù)線的原始分數(shù)X值。 由于錄取率為25%，則正態(tài)曲線下對稱軸與過最低錄取線分數(shù)的縱線所夾面積為，查表，最近的，對應的。因為得，因此這次考試的最低錄取分數(shù)線為分。 例11 某次數(shù)學競賽，學生成績呈正態(tài)分布，參賽學生200分，平均分分，標準差為

26、分，（1）若表揚前20名競賽優(yōu)勝者，其最低分應是多少？（2）某生得80分，他在參賽中排第幾名？ 解：（1）已知優(yōu)勝者人數(shù)為20人，總人數(shù)為200人，可求出優(yōu)勝者人數(shù)比率：，下面屬于P-Z問題。 正態(tài)曲線下右側面積比率為0.10,表中P值應為0.5-0.1=0.4,查表，最近的P值為，對應的Z值為，所以，所以優(yōu)勝者最低分數(shù)應是78.54 分。 （2）求某生在參賽中排列的名次，就是求成績等于和高于他的人數(shù)占總人數(shù)的比率，進而求實際人數(shù)。屬于Z-P問題。先求該生成績的標準分數(shù)查正態(tài)分布表得，成績等于和高于該生的人數(shù)比率即曲線下右側面積，。即 200*0.07493=15（人）所以該生在參賽者中應排在第15名。（三）確定按能力或成績等級分組的各組人數(shù) 假設學生成績呈正態(tài)分布，學生能力也呈正態(tài)分布，按成績等級或能力進行分組，各組的人數(shù)不應是均等的，而應是中等能力、中等等級的人數(shù)多高能力與低能力組，高成績與低成績等級組的人數(shù)少?？梢岳谜龖B(tài)分布理論解決此類問題。 例12 某年級進行數(shù)學能力測驗后，擬按數(shù)學能力將學生分成五個組。該次測驗參加人數(shù)為300人，平均分為60分，標準差為分，問各組人數(shù)及原始分數(shù)區(qū)間都是怎樣的？ 解：在正態(tài)分布下，99.73%的數(shù)據在3之間，全距為6。若分成五個等級組，