1、滬教版初三數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（常考知識(shí)點(diǎn)）鞏固練習(xí)相似形及比例線段（基礎(chǔ)） 知識(shí)講解 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、能通過生活中的實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似，能通過觀察直觀地判斷兩個(gè)圖形是否相似；2、了解比例線段的概念及有關(guān)性質(zhì)；3、探索相似圖形的性質(zhì)，知道兩相似多邊形的主要特征，并根據(jù)相似多邊形的特征識(shí)別兩個(gè)多邊形是否相似，并會(huì)運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，提高推理能力.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似圖形在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形或相似形.要點(diǎn)詮釋： (1) 相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形； (2) “全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時(shí)，兩個(gè)圖形全等；要點(diǎn)

2、二、相似多邊形【：圖形的相似 二、圖形的相似 2】相似多邊形的概念：如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度成比例，我們就說它們是相似多邊形要點(diǎn)詮釋：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì)（2）相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比要點(diǎn)三、比例線段【：圖形的相似 預(yù)備知識(shí)】1 成比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段2比例的性質(zhì)：（1）基本性質(zhì)：若a:b=c:d ，則ad=bc；（2）合比性質(zhì)：如果 如果（3）等比性質(zhì)：如果（4）比例中項(xiàng)：若a:b=b:c ，則=ac，b稱為a、c的比例中

3、項(xiàng)要點(diǎn)詮釋：通常四條線段a,b,c,d的單位應(yīng)該一致，但有時(shí)為了計(jì)算方便，a,b的單位一致，c,d的單位一致也可以。要點(diǎn)四、黃金分割 如果點(diǎn)P把線段AB分割成AP和PB,(APPB)兩段，其中AP是AB和PB的比例中項(xiàng)，那么就稱這種分割為黃金分割，點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn).0.618AB(叫做黃金分割值).要點(diǎn)詮釋：線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).【典型例題】類型一、相似圖形1. 下面給出了一些關(guān)于相似的命題，其中真命題有（）（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六邊形都相似A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C.【解析】解：（1）所有

4、菱形的對(duì)應(yīng)角不一定相等，故菱形不一定都相似；（2）等腰直角三角形都相似，正確；（3）正方形都相似，正確；（4）矩形對(duì)應(yīng)邊比值不一定相等，不矩形不一定都相似；（5）正六邊形都相似，正確，故符合題意的有3個(gè)故選：C【總結(jié)升華】此題主要考查了相似圖形，應(yīng)注意：相似圖形的形狀必須完全相同；相似圖形的大小不一定相同；兩個(gè)物體形狀相同、大小相同時(shí)它們是全等的，全等是相似的一種特殊情況舉一反三：【變式】如圖，左邊是一個(gè)橫放的長(zhǎng)方形，右邊的圖形是把左邊的長(zhǎng)方形各邊放大兩倍，并豎立起來以后得到的，這兩個(gè)圖形是相似的嗎？【答案】這兩個(gè)圖形是相似的，這兩個(gè)圖形形狀是一樣，對(duì)應(yīng)線段的比都是1:2，雖然它們的擺放方法、

5、位置不一樣，但這并不會(huì)影響到它們的相似性.類型二、相似多邊形2. 如圖，已知四邊形相似于四邊形，求四邊形的周長(zhǎng).【答案與解析】四邊形相似于四邊形 ，即 四邊形的周長(zhǎng).【總結(jié)升華】先根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，求出四邊形的未知邊的長(zhǎng)，然后即可求出該四邊形的周長(zhǎng)舉一反三：【變式】如圖所示的相似四邊形中，求未知邊x、y的長(zhǎng)度和角的大小.【答案】根據(jù)題意，兩個(gè)四邊形是相似形，得，解得.3. 如圖，在矩形ABCD中，AB=2AD，線段EF=10，在EF上取一點(diǎn)M，分別以EM、MF為一邊作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN與矩形ABCD相似.令MN=x，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EMNH的面積S有最大值？

6、最大值是多少？【答案與解析】解：矩形MFGN與矩形ABCD相似，當(dāng)時(shí)，S有最大值，為.【總結(jié)升華】借助相似，把最值問題轉(zhuǎn)移到函數(shù)問題上，是解決這類題型最好方法之一.類型三、比例線段4.（2016蘭州模擬）若a：b=2：3，則下列各式中正確的式子是（）A2a=3bB3a=2bCD【思路點(diǎn)撥】根據(jù)比例的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)一一分析，選擇正確答案【答案】B【解析】A、2a=3ba：b=3：2，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、3a=2ba：b=2：3，故選項(xiàng)正確；C、=b：a=2：3，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、=a：b=3：2，故選項(xiàng)錯(cuò)誤故選B【總結(jié)升華】考查了比例的性質(zhì)在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的乘積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的乘積舉一反三：【變式】判斷

7、下列線段a、b、c、d是否是成比例線段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=【答案】(1) ， ，線段a、b、c、d不是成比例線段(2) ， ，線段a、b、c、d是成比例線段5. 主持人站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)處最自然得體，如果舞臺(tái)AB長(zhǎng)為20米，一個(gè)主持人現(xiàn)站在舞臺(tái)AB的黃金分割點(diǎn)點(diǎn)C處，則下列結(jié)論一定正確的是（）AB：AC=AC：BC；AC6.18米；A. B. C. D. 【答案】D.【解析】解：AB的黃金分割點(diǎn)為點(diǎn)C處，若ACBC，則AB：AC=AC：BC，所以不一定正確；AC0.618AB12.36或AC2012.36=7.64，所以錯(cuò)誤；若AC為較長(zhǎng)線

8、段時(shí)，AC=AB=10（1），BC=10（3）；若BC為較長(zhǎng)線段時(shí)，BC=AB=10（1），AC=10（3），所以不一定正確，正確故選D【總結(jié)升華】黃金分割知識(shí)的理解和運(yùn)用要結(jié)合生活實(shí)踐.滬教版初三數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（常考知識(shí)點(diǎn)）鞏固練習(xí)相似形及比例線段（基礎(chǔ)） 鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】一選擇題1. 在比例尺為11 000 000的地圖上，相距3cm的兩地，它們的實(shí)際距離為 （）A.3kmB.30kmC.300kmD.3 000km2. （2016濱江區(qū)模擬）由5a=6b（a0），可得比例式（）ABCD3.如圖，用放大鏡將圖形放大，這種圖形的改變是（）A相似 B平移 C軸對(duì)稱 D旋轉(zhuǎn)4.

9、某學(xué)習(xí)小組在討論“變化的魚”時(shí)，知道大魚與小魚是相似圖形，如圖所示，則小魚上的點(diǎn)(a，b)對(duì)應(yīng)大魚上的點(diǎn)()A(-2a，-2b) B(-a，-2b) C(-2b，-2a) D(-2a，-b)5. 一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)分別為3，5，7，另一個(gè)與它相似的三角形的最長(zhǎng)邊是21，則此三角形其它兩邊的和是（）A19 B17 C24 D21 6. .ABC與A1B1C1相似且相似比為，A1B1C1與A2B2C2相似且相似比為，則ABC與A2B2C2的相似比為 ()ABC或D二. 填空題7. 兩地實(shí)際距離為1 500 m，圖上距離為5 cm，這張圖的比例尺為_.8. （2016浦東新區(qū)一模）已知，那么= 9判

10、定兩個(gè)多邊形相似的方法是：當(dāng)兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)邊_,對(duì)應(yīng)角_時(shí)，兩個(gè)多邊形相似.10.已知?jiǎng)t11.兩個(gè)三角形相似，其中一個(gè)三角形兩個(gè)內(nèi)角分別是40，60，則另一個(gè)三角形的最大角為_,最小角為_.12. （2015春慶陽(yáng)校級(jí)月考）要制作兩個(gè)形狀相同的三角形框架，其中一個(gè)三角形框架的三邊長(zhǎng)分別為4、5、6，另一個(gè)三角形框架的一條最短邊長(zhǎng)為2，則另外一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為 .三 綜合題13. 已知，求的值.14. （1）已知a、b、c、d是成比例線段，其中a=3dcm,b=2cm,c=6cm,求線段d的長(zhǎng)；（2）已知線段a、b、c，a=4cm，b=9cm，線段c是線段a和b的比例中項(xiàng)，求線段c的長(zhǎng)15.

11、市場(chǎng)上供應(yīng)的某種紙有如下特征：每次對(duì)折后，所得的長(zhǎng)方形均和原長(zhǎng)方形相似，則紙張(矩形)的長(zhǎng)與寬應(yīng)滿足什么條件？【答案與解析】一、選擇題1【答案】B【解析】圖上距離實(shí)際距離比例尺2.【答案】D.【解析】A、ab=30，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、ab=30，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、6a=5b，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、5（ab）=b，即5a=6b，故選項(xiàng)正確故選D3【答案】A【解析】根據(jù)相似圖形的定義知，用放大鏡將圖形放大，屬于圖形的形狀相同，大小不相同，所以屬于相似變換故選A4【答案】 A 【解析】 由圖可知，小魚和大魚的相似比為1：2，若將小魚放大1倍，則小魚和大魚關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.5【答案】C【解析】相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相

12、等6【答案】A 【解析】 相似比ABA1B1=，A1B1A2B2=，計(jì)算出ABA2B2.二、填空題7.【答案】.1：30 000 【解析】比例尺=圖上距離實(shí)際距離.8.【答案】【解析】的兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)是y、1，兩個(gè)外項(xiàng)是x、3，根據(jù)合比定理，知=4；又上式的兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)是x和4，兩個(gè)外項(xiàng)是x+y和1，9.【答案】成比例；相等.10.【答案】【解析】提示：設(shè)11.【答案】80，40.12.【答案】 7.5.【解析】設(shè)另一個(gè)三角形周長(zhǎng)是x. 一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)是4,5,6， 這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為：4+5+6=15. 與它相似的另一個(gè)三角形最短的一邊長(zhǎng)是2， ， 解得：x=7.5. 另一個(gè)三角形的周長(zhǎng)是7.5.

13、三、解答題13.【解析】設(shè)=k則=14.【解析】解：（1）a、b、c、d是成比例線段，a：b=c：d，a=3cm，b=2cm，c=6cm，d=4cm；(2)線段c是線段a和b的比例中項(xiàng)，a=4cm，b=9cm. c2=ab=36， 解得：c=6， 又線段是正數(shù)，c=6cm.15.【解析】如圖，為了方便分析可先畫出草圖，根據(jù)題意知兩個(gè)矩形的長(zhǎng)邊之比應(yīng)等于短邊之比.設(shè)矩形的長(zhǎng)為，寬為，由相似多邊形的特征得，即紙張的長(zhǎng)與寬之比為.滬教版初三數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（?？贾R(shí)點(diǎn)）鞏固練習(xí)三角形一邊的平行線 知識(shí)講解 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、掌握三角形一邊的平行線性質(zhì)定理及推論；判定定理及推論；以及平行線分線

14、段成比例定理的推導(dǎo)與應(yīng)用；2、了解三角形的重心的意義和性質(zhì)并能應(yīng)用它解題；3、經(jīng)歷運(yùn)用分類思想針對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)的不同位置分別探究的過程,初步領(lǐng)略運(yùn)用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)、化歸和分類討論等思想進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的策略.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理及推論1.性質(zhì)定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.2.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.要點(diǎn)詮釋：(1)主要的基本圖形：分A型和X型； A型 X型（2）常用的比例式：3.三角形的重心：三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.要點(diǎn)詮釋：(1)重心的性質(zhì)：三角形的重心

15、到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離的二倍.（2）重心的畫法：兩條中線的交點(diǎn).要點(diǎn)二、三角形一邊的平行線判定定理及推論1.判定定理：如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.2.推論：如果一條直線截三角形兩邊的延長(zhǎng)線（這兩邊的延長(zhǎng)線在第三邊的同側(cè)）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.要點(diǎn)詮釋：判斷平行線的條件中，只能是被截的兩條直線的對(duì)應(yīng)線段成比例(被判斷的平行線本身不能參與作比例).要點(diǎn)三、平行線分線段成比例定理1.性質(zhì)定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.2.平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的

16、直線所截，如果在一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也相等.要點(diǎn)詮釋：（1）平行線等分線段定理是平行線分線段成比例定理的特例；（2）平行線分線段成比例沒有逆定理； (3) 由于平行線分線段成比例定理中，平行線本身沒有參與作比例，因此，有關(guān)平行線段的計(jì)算問題通常轉(zhuǎn)化到“A”、“X”型中.【典型例題】類型一、三角形一邊的平行線性質(zhì)定理1. 如圖已知直線截ABC三邊所在的直線分別于E、F、D三點(diǎn)且AD=BE.求證：EF：FD=CA：CB.【答案與解析】過D作DKAB交EC于K點(diǎn). 則，即 又AD=BE， .【總結(jié)升華】運(yùn)用三角形一邊的平行線性質(zhì)定理，即只要有平行線就可推出對(duì)應(yīng)線段成

17、比例.舉一反三【變式】如圖,在ABC, DGEC, EGBC,求證:【答案】DGEC, EGBC, ,即.2.已知，ABC中，G是三角形的重心， AGGC，AG=3，GC=4，求BG的長(zhǎng). 【答案與解析】延長(zhǎng)BG交AC于點(diǎn)D,G是三角形的重心，點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，又AGGC，AG=3，GC=4，AC=5，即DG=2.5， BG:GD=2:1.BG=5.【總結(jié)升華】三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到這個(gè)頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離的二倍.類型二、三角形一邊的平行線判定定理3. 如圖，AM是ABC的中線，P是AM上任意一點(diǎn)，BP、CP的延長(zhǎng)線分別交AC、AB于E、D兩點(diǎn).求證：DEBC.【答案與解析】

18、延長(zhǎng)AM到H，使HM=MP，連接BH、CH BM=MC 四邊形BPCH是平行四邊形 BHCD，CHBE 在ABH和ACH中， 有，DEBC【總結(jié)升華】平行線所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例，而兩條平行線中的線段與所截得的線段不成比例.舉一反三【變式】如圖，在ABC（ABAC）的邊AB上取一點(diǎn)D，在邊AC上取一點(diǎn)E,使AD=AE,直線DE和BC 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,求證：.【答案】過點(diǎn)C作CFAB交DP于點(diǎn)F,CFAB，ADE=EFCAD=AE,ADE=AED=FEC EFC=FECCF=CECFAB,即.類型三、平行線分線段成比例定理4. （2016蘭州）如圖，在ABC中，DEBC，若=，則=（）ABCD

19、【思路點(diǎn)撥】直接利用平行線分線段成比例定理寫出答案即可【答案】C【解析】解：DEBC，=，故選C【總結(jié)升華】本題考查了平行線分線段成比例定理，了解定理的內(nèi)容是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)定義或定理，難度不大舉一反三【變式】（2015舟山）如圖，直線l1l2l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點(diǎn)A，B，C，直線DF分別交l1，l2，l3于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，AC與DF相交于點(diǎn)G，且AG=2，GB=1，BC=5，則的值為（） B. 2 C. D. 【答案】D提示：AG=2，GB=1，AB=AG+BG=3，直線l1l2l3，=，滬教版初三數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（?？贾R(shí)點(diǎn)）鞏固練習(xí)三角形一邊的平行線 【

20、鞏固練習(xí)】一選擇題1.（2016杭州）如圖，已知直線abc，直線m交直線a，b，c于點(diǎn)A，B，C，直線n交直線a，b，c于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若=，則=（）ABCD12. 如圖，在ABC中，DEBC，則下列比例式成立的是( )AB CD3. 在ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，且DEBC，則等于( )ABC D4. 如圖，ABC中，DEAC交AB、BC于D、E，如果AB=7cm，AC=5cm，AD=3cm，則DE=( )AB CD5. 如圖，在ABC中，如果DEBC，DFAC，則下列比例式中不正確的是( )ABC D 6. 如圖，ABC中，G是BC中點(diǎn)，E是AG中點(diǎn)，CE的延長(zhǎng)線交AB于D，則E

21、C：DE的值為( ) A2 B3 CD二. 填空題7. （2016無錫一模）如圖，直線ADBECF，BC=AC，DE=4，那么EF的值是8. 如圖，DEBC,BF:EF=4:3，則AC:AE=_.9已知點(diǎn)G是ABC的重心，AD是BC邊上的中線，如果GD=2cm，那么AD=_.10. 如圖，PMN,點(diǎn)A,B分別在MP,NP的延長(zhǎng)線上，,則_.11. 如圖，四邊形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)P,若AP=8，CP=12，BC=15.則AD=_.12.（2015香坊區(qū)三模）如圖，ABC中，D、F在AB邊上，E、G在AC邊上，DEFGBC，且AD：DF：FB=3：2：1，若AG=15，則EC的長(zhǎng)為 .

22、三.綜合題13. 如圖，已知，ABCDEF，OA=14，AC=16，CE=8，BD=12，求OB、DF的長(zhǎng).14.已知：如圖，在ABC中，AB=AC，且，EGCD證明：AE=AF15. 如圖，ABC中，AD是中線，點(diǎn)F在AD上，且AF：FD=1：2，BF的延長(zhǎng)線交AC于E，求AE：EC=？【答案與解析】一、選擇題1.【答案】B【解析】abc，=故選B2【答案】 D.3【答案】 C.【解析】DEBC，,又，,即=.4【答案】D.【解析】DEAC，又AB=7cm，AC=5cm，AD=3cm，BD=4，即DE=.5【答案】C.【解析】提示： DEBC，DFAC，DE=CF, DF=CE.6.【答案】

23、B. 【解析】作GMCD交AB于點(diǎn)M,E是AG中點(diǎn)，MG=2DE,又G是BC中點(diǎn)，CD=2MG=4DE EC=3DG,即EC:DE=3:1.二、填空題7.【答案】2【解析】BC=AC，=，ADBECF，=，DE=4，=2，EF=28.【答案】4:3.【解析】DEBC, BF:EF=4:3，9.【答案】6cm.【解析】點(diǎn)G是重心，AG:GD=2:1，又GD=2，AG=4，即AD=6cm.10.【答案】3:2.【解析】，.11.【答案】10.12.【答案】9.【解析】DEFGBC，=，而AD：DF：FB=3：2：1，=，=，EC=9三、解答題13. 【解析】 ABCDEF，,又OA=14，AC=1

24、6，BD=12，OB=. 同理,CE=8，DF=6.14.【解析】證明：EGCD，=，且，=，=，即=，AB=AC，AE=AF15.【解析】作DGBE,AD是中線，EG=GC,又AF：FD=1：2，EG=2AE,即EC=4AE, AE:EC=1:4.滬教版初三數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（?？贾R(shí)點(diǎn)）鞏固練習(xí)相似三角形的判定-知識(shí)講解（基礎(chǔ)） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、了解相似三角形的概念， 掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、進(jìn)一步探索相似三角形的判定及其應(yīng)用，提高運(yùn)用“類比”思想的自覺性，提高推理能力.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似三角形在和中，如果我們就說與相似，記作.k就是它們的相似比，“”讀作“相

25、似于”.要點(diǎn)詮釋：(1)書寫兩個(gè)三角形相似時(shí)，要注意對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置要一致，即，則說明點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是B，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是C；(2)對(duì)于相似比，要注意順序和對(duì)應(yīng)的問題，如果兩個(gè)三角形相似，那么第一個(gè)三角形的一邊和第二個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做第一個(gè)三角形和第二個(gè)三角形的相似比.當(dāng)相似比為1時(shí)，兩個(gè)三角形全等.要點(diǎn)二、相似三角形的判定定理【高清課程名稱： 相似三角形的判定（1） 高清：394497：相似三角形的判定】1判定方法（一）：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.2判定方法（二）：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似.3判定方法（

26、三）：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.要點(diǎn)詮釋：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的. 4判定方法（四）：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.要點(diǎn)詮釋：要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可，對(duì)于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.要點(diǎn)三、相似三角形的常見圖形及其變換：【典型例題】類型一、相似三角形1. 下列能夠相似的一組三角形為( ).A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三

27、角形C.所有的等腰直角三角形 D.所有的一邊和這邊上的高相等的三角形【答案】C【解析】A中只有一組直角相等，其他的角是否對(duì)應(yīng)相等不可知；B中什么條件都不滿足；D中只有一條對(duì)應(yīng)邊的比相等；C中所有三角形都是由90、45、45角組成的三角形，且對(duì)應(yīng)邊的比也相等.答案選C.【總結(jié)升華】根據(jù)相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要滿足三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，三條對(duì)應(yīng)邊的比相等.舉一反三：【變式】給出下列幾何圖形：兩個(gè)圓；兩個(gè)正方形；兩個(gè)矩形；兩個(gè)正六邊形；兩個(gè)等邊三角形；兩個(gè)直角三角形；兩個(gè)菱形其中，一定相似的有 （填序號(hào)）【答案】.類型二、相似三角形的判定2. 如圖所示，已知中，E為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，

28、AB=3BE，DE與BC相交于F，請(qǐng)找出圖中各對(duì)相似三角形，并求出相應(yīng)的相似比.【思路點(diǎn)撥】充分利用平行尋找等角，以確定相似三角形的個(gè)數(shù).【答案與解析】 四邊形ABCD是平行四邊形， ABCD，ADBC， BEFCDF，BEFAED. BEFCDFAED. 當(dāng)BEFCDF時(shí)，相似比；當(dāng)BEFAED時(shí)，相似比； 當(dāng)CDFAED時(shí)，相似比.【總結(jié)升華】此題考查了相似三角形的判定（有兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似）與性質(zhì)（相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例）.解題的關(guān)鍵是要仔細(xì)識(shí)圖，靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想.舉一反三：【高清課程名稱： 相似三角形的判定（2） 高清：394499：例4及變式應(yīng)用】 【變式】如圖，AD、

29、CE是ABC的高，AD和CE相交于點(diǎn)F，求證：AFFD=CFFE【答案】 AD、CE是ABC的高, AEF=CDF=90, 又AFE=CFE, AEFCDF. , 即AFFD=CFFE3. （2016福州）如圖，在ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC邊上截取AD=BC，連接BD（1）通過計(jì)算，判斷AD2與ACCD的大小關(guān)系；（2）求ABD的度數(shù)【思路點(diǎn)撥】（1）先求得AD、CD的長(zhǎng)，然后再計(jì)算出AD2與ACCD的值，從而可得到AD2與ACCD的關(guān)系；（2）由（1）可得到BD2=ACCD，然后依據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩三角形相似證明BCDABC，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知DBC=A，DB=

30、CB，然后結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可求得ABD的度數(shù)【答案與解析】解：（1）AD=BC=1，BC=，AD=，DC=1=AD2=，ACCD=1=AD2=ACCD（2）AD=BC，AD2=ACCD，BC2=ACCD，即又C=C，BCDACB，DBC=ADB=CB=ADA=ABD，C=BDC設(shè)A=x，則ABD=x，DBC=x，C=2xA+ABC+C=180，x+2x+2x=180解得：x=36ABD=36【總結(jié)升華】本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，證得BCDABC是解題的關(guān)鍵4. 已知：如圖，ABC中，ABAC，AD是中線，P是AD上

31、一點(diǎn)，過C作CFAB，延長(zhǎng)BP交AC于E，交CF于F求證：BP2PEPF 【思路點(diǎn)撥】從求證可以判斷是運(yùn)用相似，再根據(jù)BP2PEPF，可以判定所給的線段不能組成相似三角形，這就需要考慮線段的等量轉(zhuǎn)移了.【答案與解析】連接，是的中垂線，又，【總結(jié)升華】根據(jù)求證確定相似三角形，是解決此類題型的捷徑.舉一反三：【變式】如圖，F(xiàn)是ABC的AC邊上一點(diǎn)，D為CB延長(zhǎng)線一點(diǎn)，且AF=BD,連接DF,交AB于E. 求證：.【答案】過點(diǎn)F作FGBC,交AB于G.則DBEFGEAGFABC , 又AF=BD,AGFABC,即.滬教版初三數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（?？贾R(shí)點(diǎn)）鞏固練習(xí)相似三角形的判定-鞏固練習(xí)（

32、基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1. 下列判斷中正確的是( ).A.全等三角形不一定是相似三角形 B.不全等的三角形一定不是相似三角形C.不相似的三角形一定不全等 D.相似三角形一定不是全等三角形2已知ABC的三邊長(zhǎng)分別為、 2, ABC的兩邊長(zhǎng)分別是1和, 如果ABC與ABC 相似, 那么ABC 的第三邊長(zhǎng)應(yīng)該是 ( ).A. B. C.D.3（2015大慶校級(jí)模擬）如圖，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與ABC相似的是（）ABCD4. （2016鹽城）如圖，點(diǎn)F在平行四邊形ABCD的邊AB上，射線CF交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，在不添加輔助線的情況下，與AEF相似的三角形有（）

33、A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3個(gè)5在矩形ABCD中，E、F分別是CD、BC上的點(diǎn)，若AEF90，則一定有（ ）. AADEAEFBECFAEFCADEECFDAEFABF6. 如圖所示在平行四邊形ABCD中，EFAB，DE：EA=2：3，EF=4，則CD的長(zhǎng)為( ). A.B.8 C.10 D.16二、填空題7. （2016婁底）如圖，已知A=D，要使ABCDEF，還需添加一個(gè)條件，你添加的條件是 （只需寫一個(gè)條件，不添加輔助線和字母）8如圖所示，C=E=90，AD=10，DE=8，AB=5，則AC=_.9.如圖所示，在直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(4，0)，B(0，2)，如果點(diǎn)C在x軸上(C與A不重合)，當(dāng)

34、點(diǎn)C的坐標(biāo)為_或_時(shí)，使得由點(diǎn)B、O、C組成的三角形與AOB相似(至少找出兩個(gè)滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)).10.如圖，已知ABBD，EDBD，C是線段BD的中點(diǎn)，且ACCE，ED=1，BD=4，那么AB=_.11.如圖，CDAB，AC、BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E、F分別在AC、BD上，且EFAB,則圖中與OEF相似的三角形為_.12如圖，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AE交CD于點(diǎn)F,則圖中相似三角形共有_對(duì).三解答題13. 如圖，在ABC中，DEBC，AD3，AE2，BD4，求的值及AC、EC的長(zhǎng)度14. 如圖在梯形ABCD中，ADBC，A90，且，求證：BDCD15.如圖，在ABC

35、中，已知BAC=90，ADBC于D，E是AB上一點(diǎn)，AFCE于F，AD交CE于G點(diǎn)，（1）求證：AC2=CECF；（2）若B=38，求CFD的度數(shù)【答案與解析】一選擇題1.【答案】C.2.【答案】A.【解析】根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例，可以確定，所以第三邊是3.【答案】B.【解析】已知給出的三角形的各邊AB、CB、AC分別為、2、只有選項(xiàng)B的各邊為1、與它的各邊對(duì)應(yīng)成比例故選B4.【答案】C【解析】四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，ABDC，AEFCBF，AEFDEC，與AEF相似的三角形有2個(gè)5.【答案】C.【解析】AEF90, 1+2=90，又D=C=90，3+2=90， 即1=3，ADEEC

36、F.6.【答案】C.【解析】 EFAB， CD=10，故選C.二. 填空題7.【答案】ABDE【解析】A=D，當(dāng)B=DEF時(shí)，ABCDEF，ABDE時(shí)，B=DEF，添加ABDE時(shí)，使ABCDEF8.【答案】3 .【解析】 C=E，CAB=EAD， ACBAED，BC=4，在RtABC中，.9【答案】；.10.【答案】4.【解析】ABBD，EDBD，B=D=90，又ACCE，BCA+DCE=90，BCA=E,ABCCDE.C是線段BD的中點(diǎn)，ED=1，BD=4BC=CD=2,即AB=4.11.【答案】OAB,OCD.12.【答案】3.【解析】平行四邊形ABCD，ADBE.ABCDEFCEAB;

37、EFCAFD; AFDEAB.三 綜合題13.【解析】DEBC，ADEABC， ，AC，ECACAE14.【解析】ADBC，ADBDBC， 又，ABDDCB， ABDC，A90，BDC90，BDCD15.【解析】解：（1）ADBC，CFA=90，BAC=90，CFA=BAC，ACF=FCA，CAFCEA，=，CA2=CECF；（2）CAB=CDA，ACD=BCA，CADCBA，=，CA2=CBCD，同理可得：CA2=CFCE，CDBC=CFCE，=，DCF=ECB，CDFCEB，CFD=B，B=38，CFD=38滬教版初三數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（?？贾R(shí)點(diǎn)）鞏固練習(xí)相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用-

38、知識(shí)講解（基礎(chǔ)） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、探索相似三角形的性質(zhì)，能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；2、通過典型實(shí)例認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中物體的相似，能運(yùn)用圖形相似的知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題（如何把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題）.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似三角形的性質(zhì)【高清課程名稱：相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用 高清： 394500：相似形的性質(zhì)】1相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.2. 相似三角形中的重要線段的比等于相似比. 相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.要點(diǎn)詮釋：要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.3. 相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，則由比例性質(zhì)可得： 4. 相似三角形面積的

39、比等于相似比的平方，則分別作出與的高和，則要點(diǎn)詮釋：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的.要點(diǎn)二、相似三角形的應(yīng)用1.測(cè)量高度測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常使用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比例相等”的原理解決.【高清課程名稱：相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用 高清：394500：應(yīng)用舉例及總結(jié)】要點(diǎn)詮釋：測(cè)量旗桿的高度的幾種方法：平面鏡測(cè)量法 影子測(cè)量法 手臂測(cè)量法 標(biāo)桿測(cè)量法2.測(cè)量距離測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常構(gòu)造如下兩種相似三角形求解。 1如甲圖所示，通?？上葴y(cè)量圖中的線段DC、BD、CE的距離（長(zhǎng)度），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出AB的長(zhǎng). 2如乙圖所示，可先測(cè)AC、DC及DE的

40、長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算AB的長(zhǎng). 要點(diǎn)詮釋：1比例尺：表示圖上距離比實(shí)地距離縮小的程度，比例尺= 圖上距離/ 實(shí)際距離;2太陽(yáng)離我們非常遙遠(yuǎn)，因此可以把太陽(yáng)光近似看成平行光線在同一時(shí)刻，兩物體影子之比等于其對(duì)應(yīng)高的比;3視點(diǎn)：觀察事物的著眼點(diǎn)（一般指觀察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：觀察者向上（下）看時(shí)，視線與水平方向的夾角【典型例題】類型一、相似三角形的性質(zhì)1.（2015上海）已知，如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上，且OE=OB，連接DE（1）求證：DEBE；（2）如果OECD，求證：BDCE=CDDE【答案與解析】證明：（1）四邊形ABCD是平

41、行四邊形，BO=BD，OE=OB，OE=BD，BED=90，DEBE；（2）OECDCEO+DCE=CDE+DCE=90，CEO=CDE，OB=OE，DBE=CDE，BED=BED，BDEDCE，BDCE=CDDE【總結(jié)升華】本題綜合性較強(qiáng)，考查了相似三角形 、直角三角形以及平行四邊形相關(guān)知識(shí)，而熟記定理是解題的關(guān)鍵舉一反三【變式】（2015銅仁市）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，DE：EC=3：1，連接AE交BD于點(diǎn)F，則DEF的面積與BAF的面積之比為（）A3：4B9：16C9：1D3：1【答案】B提示：四邊形ABCD為平行四邊形，DCAB，DFEBFA，DE：EC=3：1，

42、DE：DC=1=3：4，DE：AB=3：4，SDFE：SBFA=9：16 故選：B2. （2016本溪）如圖，ABC中，AC=6，AB=4，點(diǎn)D與點(diǎn)A在直線BC的同側(cè)，且ACD=ABC，CD=2，點(diǎn)E是線段BC延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)DCE和ABC相似時(shí)，線段CE的長(zhǎng)為 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題目中的條件和三角形的相似，可以求得CE的長(zhǎng)，本題得以解決【答案】3或【解析】解：DCEABC，ACD=ABC，AC=6，AB=4，CD=2，A=DCE，或即或解得，CE=3或CE=故答案為：3或【總結(jié)升華】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用三角形的相似解答舉一反三：【變式】

43、有同一三角形地塊的甲、乙兩地圖，比例尺分別為1200和1500，求：甲地圖與乙地圖的相似比和面積比.【答案】設(shè)原地塊為ABC，地塊在甲圖上為A1B1C1，在乙圖上為A2B2C2. ABCA1B1C1A2B2C2且，.類型二、相似三角形的應(yīng)用3. 如圖，我們想要測(cè)量河兩岸相對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)A、B之間的距離(即河寬) ，你有什么方法？ 【答案與解析】如上圖，先從B點(diǎn)出發(fā)與AB成90角方向走50m到O處立一標(biāo)桿，然后方向不變，繼續(xù)向前走10m到C處，在C處轉(zhuǎn)90，沿CD方向再走17m到達(dá)D處，使得A、O、D在同一條直線上那么A、B之間的距離是多少？ ABBC，CDBCABO=DCO=90又 AOB=DOCA

44、OBDOC.BO=50m，CO=10m，CD=17mAB=85m 即河寬為85m【總結(jié)升華】這是一道測(cè)量河寬的實(shí)際問題，還可以借用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比 相等，比例式中四條線段，測(cè)出了三條線段的長(zhǎng)，必能求出第四條.4. 如圖：小明欲測(cè)量一座古塔的高度，他站在該塔的影子上前后移動(dòng)，直到他本身影子的頂端正好與塔的影子的頂端重疊，此時(shí)他距離該塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影長(zhǎng)是2 m(1)圖中ABC與ADE是否相似?為什么? (2)求古塔的高度【思路點(diǎn)撥】本題考查的是相似三角形的實(shí)際應(yīng)用，要注意的是小明和古塔都與地面垂直，是平行的.【答案與解析】(1)ABCADE BCAE，DEAE，

45、ACB=AED=90 A=A，ABCADE (2)由(1)得ABCADE AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m， DE=16m 即古塔的高度為16m?！究偨Y(jié)升華】解決相似三角形的實(shí)際應(yīng)用題的關(guān)鍵是題中相似三角形的確定.舉一反三【變式】小明把一個(gè)排球打在離他2米遠(yuǎn)的地上，排球反彈后碰到墻上，如果他跳起來?yè)襞徘驎r(shí)的高度是1.8米，排球落地點(diǎn)離墻的距離是7米，假設(shè)排球一直沿直線運(yùn)動(dòng)，那么排球能碰到墻上離地多高的地方？【答案】如圖，AB=1.8米，AP=2米，PC=7米，作PQAC,根據(jù)物理學(xué)原理知BPQ=QPD,則APB=CPD，BAP=DCP=90， ABPCDP,即,DC=6.3米

46、.即球能碰到墻上離地6.3米高的地方.滬教版初三數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（常考知識(shí)點(diǎn)）鞏固練習(xí)相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用-鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)） 【鞏固練習(xí)】一、選擇題1（2015酒泉）如圖，D、E分別是ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，DEAC，若SBDE：SCDE=1：3，則SDOE：SAOC的值為（）ABCD2. （2016臨夏州）如果兩個(gè)相似三角形的面積比是1：4，那么它們的周長(zhǎng)比是（）A1：16B1：4C1：6D1：23某校有兩塊相似的多邊形草坪，其面積比為94，其中一塊草坪的周長(zhǎng)是36米，則另一塊草坪的周長(zhǎng)是（ ）A24米 B54米 C24米或54米 D36米或54米4. 圖為ABC與DEC重疊

47、的情形，其中E在BC上，AC交DE于F點(diǎn)，且AB/ DE.若ABC與DEC的面積相等，且EF=9，AB=12，則DF=( )A3 B7 C12 D155如圖是小明設(shè)計(jì)用手電來測(cè)量某古城墻高度的示意圖，點(diǎn)P處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知ABBD，CDBD，且測(cè)得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么該古城墻的高度是（ ） A6米 B8米 C18米 D24米6. 要把一個(gè)三角形的面積擴(kuò)大到原來面積的8倍，而它的形狀不變，那么它的邊長(zhǎng)要增大到原來的（）倍. A.2 B.4 C.2 D.64 二、填空題7. （2016徐州）如圖，ABC

48、中，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，則ADE與ABC的面積比為 8. 已知兩個(gè)相似三角形的相似比為，面積之差為25，則較大三角形的面積為_.9（2015吉林）如圖，利用標(biāo)桿BE測(cè)量建筑物的高度，標(biāo)桿BE高1.5m，測(cè)得AB=2m，BC=14cm，則樓高CD為 m10. 梯形ABCD中，ADBC,AC，BD交于點(diǎn),若=4， =9， =_.11.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，DE:CE=2:3，連接AE,BE,BD,且AE,BD交于點(diǎn)F，則_.12.把一個(gè)三角形改做成和它相似的三角形，如果面積縮小到原來的倍，那么邊長(zhǎng)應(yīng)縮小到原來的_倍.三、解答題13. 一位同學(xué)想利用樹影測(cè)量樹高，

49、他在某一時(shí)刻測(cè)得長(zhǎng)為1m的竹竿影長(zhǎng)0.9m，但當(dāng)他馬上測(cè)量樹影時(shí)，因樹靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墻上，如圖，他先測(cè)得留在墻上的影高1.2m，又測(cè)得地面部分的影長(zhǎng)2.7m，他求得樹高是多少？14.（2015蓬溪縣校級(jí)模擬）小紅用下面的方法來測(cè)量學(xué)校教學(xué)大樓AB的高度：如圖，在水平地面點(diǎn)E處放一面平面鏡，鏡子與教學(xué)大樓的距離AE=20米當(dāng)她與鏡子的距離CE=2.5米時(shí)，她剛好能從鏡子中看到教學(xué)大樓的頂端B已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，請(qǐng)你幫助小紅測(cè)量出大樓AB的高度（注：入射角=反射角）15. 在正方形中，是上一動(dòng)點(diǎn)，(與不重合)，使為直角，交正方形一邊所在直線于點(diǎn)

50、.(1)找出與相似的三角形.(2)當(dāng)位于的中點(diǎn)時(shí)，與相似的三角形周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)為多少？ 【答案與解析】一選擇題1【答案】D【解析】SBDE：SCDE=1：3，BE：EC=1：3；BE：BC=1：4；DEAC，DOEAOC，=，SDOE：SAOC=，故選D2.【答案】D【解析】?jī)蓚€(gè)相似三角形的面積比是1：4，兩個(gè)相似三角形的相似比是1：2，兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比是1：2. 3【答案】C.4【答案】B.5【答案】B.【解析】提示：入射角等于反射角，所以ABPCDP6【答案】C【解析】提示：面積比等于相似比的平方二填空題7.【答案】1：4【解析】D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，DE=BC，DEBC，

51、ADEABC，=（）2=. 8【答案】45cm2.9【答案】1210【答案】25.【解析】 ADBC， AODCOB， ， AO:CO2:3，又，又 ，11.【答案】4:10:25【解析】 平行四邊形ABCD，DEFBAF,DE:EC=2:3,DE:DC=2:5,即DE:AB=2:5，DEF與BEF是同高的三角形，12【答案】.三.綜合題13【解析】作CEDA交AB于E，設(shè)樹高是xm， 長(zhǎng)為1m的竹竿影長(zhǎng)0.9m 即 x4.2m14【解析】解：如圖，根據(jù)反射定律知：FEB=FED，BEA=DECBAE=DCE=90BAEDCE；CE=2.5米，DC=1.6米，； AB=12.8答：大樓AB的高

52、為12.8米15【解析】(1)與BPC相似的圖形可以是圖(1)，(2)兩種情況： PDEBCP，PCEBCP，BPEBCP (2)如圖(1)，當(dāng)點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時(shí)，若另一直角邊與AD交于點(diǎn)E， 則 PDEBCP PDE與BCP的周長(zhǎng)比是1:2 BCP的周長(zhǎng)是2a如圖(2)，當(dāng)點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時(shí)，若另一直角邊與BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E時(shí)，則， PCEBCP PCE與BCP的周長(zhǎng)比是1:2 BCP的周長(zhǎng)是2a如圖(2)，當(dāng)點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時(shí)，若另一直角邊與BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E時(shí)， BPEBCP BPE與BCP的周長(zhǎng)比是:2， BCP的周長(zhǎng)是滬教版初三數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（?？贾R(shí)點(diǎn)）鞏固練習(xí)實(shí)

53、數(shù)與向量相乘及向量的線性運(yùn)算（基礎(chǔ)） 知識(shí)講解 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解實(shí)數(shù)與向量相乘的定義及向量數(shù)乘的運(yùn)算律；2. 對(duì)于給定的一個(gè)非零實(shí)數(shù)和一個(gè)非零向量，能畫出它們相乘所得的向量；3認(rèn)識(shí)兩個(gè)平行向量的代數(shù)表達(dá)形式；4. 在向量的線性運(yùn)算和平行向量定理的學(xué)習(xí)與應(yīng)用中體會(huì)代數(shù)與幾何的聯(lián)系.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、實(shí)數(shù)與向量相乘1. 實(shí)數(shù)與向量相乘的意義：一般地，設(shè)為正整數(shù)，為向量，我們用表示個(gè)相加；用表示個(gè)相加.又當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，表示與同向且長(zhǎng)度為的向量.要點(diǎn)詮釋：設(shè)P為一個(gè)正數(shù)，P就是將的長(zhǎng)度進(jìn)行放縮，而方向保持不變；-P也就是將的長(zhǎng)度進(jìn)行放縮，但方向相反.2向量數(shù)乘的定義一般地，實(shí)數(shù)與向量的相乘所得的積

54、是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：（1）如果時(shí)，則：的長(zhǎng)度：；的方向：當(dāng)時(shí)，與同方向；當(dāng)時(shí)，與反方向；（2）如果時(shí)，則：，的方向任意.實(shí)數(shù)與向量相乘，叫做向量的數(shù)乘.要點(diǎn)詮釋：（1）向量數(shù)乘結(jié)果是一個(gè)與已知向量平行（或共線）的向量；（2）實(shí)數(shù)與向量不能進(jìn)行加減運(yùn)算；（4）表示向量的數(shù)乘運(yùn)算，書寫時(shí)應(yīng)把實(shí)數(shù)寫在向量前面且省略乘號(hào)，注意不要將表示向量的箭頭寫在數(shù)字上面；（5）向量的數(shù)乘體現(xiàn)幾何圖形中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.3. 實(shí)數(shù)與向量的相乘的運(yùn)算律：設(shè)為實(shí)數(shù)，則：（1）（結(jié)合律）； （2）（向量的數(shù)乘對(duì)于實(shí)數(shù)加法的分配律）； （3） （向量的數(shù)乘對(duì)于向量加法的分配律）要點(diǎn)二、平行向量定理

55、1.單位向量：長(zhǎng)度為1的向量叫做單位向量.要點(diǎn)詮釋：任意非零向量與它同方向的單位向量的關(guān)系：，.2.平行向量定理：如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)，使.要點(diǎn)詮釋：（1）定理中，的符號(hào)由與同向還是反向來確定.（2）定理中的“”不能去掉，因?yàn)槿?，必有，此時(shí)可以取任意實(shí)數(shù)，使得成立.（3）向量平行的判定定理：是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，則向量與非零向量平行.（4）向量平行的性質(zhì)定理：若向量與非零向量平行，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使. （5）A、B、C三點(diǎn)的共線若存在實(shí)數(shù)，使. 要點(diǎn)三、向量的線性運(yùn)算1向量的線性運(yùn)算定義：向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量相乘以及它們的混合運(yùn)算叫做向量的線性運(yùn)算.

56、 要點(diǎn)詮釋：（1）如果沒有括號(hào)，那么運(yùn)算的順序是先將實(shí)數(shù)與向量相乘，再進(jìn)行向量的加減.（2）如果有括號(hào)，則先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行2向量的分解：平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線（或不平行）的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使得.要點(diǎn)詮釋： （1）同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線（或不平行）向量叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.一組基底中，必不含有零向量 (2) 一個(gè)平面向量用一組基底表示為形式，叫做向量的分解，當(dāng)相互垂直時(shí)，就稱為向量的正分解. (3) 以平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量為一組基底，該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可表示成這組基底的線性組合，基

57、底不同，表示也不同3用向量方法解決平面幾何問題：（1）利用已知向量表示未知向量用已知向量來表示另外一些向量，除利用向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理，因此在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，利用三角形中位線、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解（2）用向量方法研究平面幾何的問題的“三步曲”：建立平面幾何與向量的聯(lián)系，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.通過向量運(yùn)算，研究幾何元素的關(guān)系.把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.【典型例題】類型一、實(shí)數(shù)與向量相乘1. 已知非零向量，求作并指出它們的長(zhǎng)度和方向.【答案與解析】解：如下

58、圖， (1)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作；(2)在射線OA上，取，則；的長(zhǎng)度是且與同向.(3)在射線OA的反向延長(zhǎng)線上，取，則；長(zhǎng)度是且與反向.【總結(jié)升華】向量既有大小又有方向，作實(shí)數(shù)與向量相乘的積向量時(shí)兩方面都要考慮. 舉一反三：【變式】已知單位向量，若向量與的方向相同，且長(zhǎng)度為4，則向量= （用表示）.【答案】2. （2016上海）已知在ABC中，AB=AC，AD是角平分線，點(diǎn)D在邊BC上，設(shè)=， =，那么向量用向量、表示為（）A +BC+D【思路點(diǎn)撥】由ABC中，AD是角平分線，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出BD=DC，可求得的值，然后利用三角形法則，求得答案【答案】A【解析】解：如圖所示：在ABC

59、中，AB=AC，AD是角平分線，BD=DC，=，=，=，=+=+故選：A【總結(jié)升華】此題考查了平面向量的知識(shí)，注意掌握三角形法則的應(yīng)用是解題關(guān)鍵類型二、向量的線性運(yùn)算3（1）3(-)-2(+2)； （2）2(2+6-3)-3(-3+4-2)【答案與解析】解：（1）原式（3-3)+（2）+（2）2 3-324 -7（2）原式2(2)+2（6）-2（3）+（-3）(-3)+（-3）)（4）+（-3）(-2)（4+12-6)+9-12+6（4+9）+（12-12）+（-6+6）13【總結(jié)升華】向量的線性運(yùn)算與多項(xiàng)式的運(yùn)算相類似.舉一反三：【變式】計(jì)算：（1）； （2）； 【答案】解：（1）原式=；

60、（2）原式=4已知向量和向量，求作向量-2.【答案與解析】解：如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作，則即即為所求.【總結(jié)升華】解題的關(guān)鍵是向量加法，減法及數(shù)乘運(yùn)算法則，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.舉一反三：【變式】已知向量a表示“向東航行1km”，向量b表示“向南航行1km”，則向量a+b表（）.A向東南航行km B向東南航行2km C向東北航行2km D向東北航行2km【答案】A 5（2015普陀區(qū)一模）如圖，已知ABCD，AD與BC相交于點(diǎn)O，且=（1）求的值（2）如果，請(qǐng)用表示【答案與解析】解：（1）ABCD，AOBDOC，=，=；（2）由（1）知，AD=AO，=【總結(jié)升華】此題考查了平面向量的知識(shí)