1、第一講，曲線的連續(xù)性1.曲線的連續(xù)性G0、G1、G2、G3 這些都是NURBS軟件中表示連續(xù)性的詞。那么如何能更好的去理解他們呢？下面我們以三個控制點的兩條曲線為例，分別來介紹下它們的涵義。從字面上來理解，兩曲線的端點沒有相接就談不上連續(xù)，如圖1；HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=479&k=8fd4011c39ec47c78311aac86189460f&t=1251766153¬humb=yes&sid=U0Qg3JFQTDjIrvRi9IgC60ygjQiFW%2Bg651bn3MdL2Q%2BxU63 t _bla

2、nk o image001.jpg下載 (6.96 KB)2009-3-3 13:05(圖1，無連續(xù)) 那么當(dāng)它們的端點相接以后，就至少是G0?？梢詧?zhí)行CurvatureGraph命令 HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=480&k=e124fa3034b2556ea9123b95e3c01642&t=1251766153¬humb=yes&sid=U0Qg3JFQTDjIrvRi9IgC60ygjQiFW%2Bg651bn3MdL2Q%2BxU63 t _blank o image002.jpg下載 (1.05 KB)20

3、09-3-3 13:05，俗稱曲率梳命令來對曲線進(jìn)行連續(xù)性的檢測。完畢之后，兩曲線相接處的曲率梳呈現(xiàn)出v字形（黃色高亮顯示）或銳角，也就是曲率梳有開口，這種情況我們就稱它為G0，如圖2；HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=481&k=2398a58b0ad65443be1df1cb679d775c&t=1251766153¬humb=yes&sid=U0Qg3JFQTDjIrvRi9IgC60ygjQiFW%2Bg651bn3MdL2Q%2BxU63 t _blank o image003.jpg下載 (7.13 KB)20

4、09-3-3 13:05HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=482&k=0812448d7e1bb50ea80b28993770a60c&t=1251766153¬humb=yes&sid=U0Qg3JFQTDjIrvRi9IgC60ygjQiFW%2Bg651bn3MdL2Q%2BxU63 t _blank o image004.jpg下載 (8.25 KB)2009-3-3 13:05(圖2，G0)兩曲線端點相接且相切就是G1，它們的切線方向一致。特征是:兩相接曲線最末端的兩個控制點相互排成一直線。再來看曲率梳，你會發(fā)現(xiàn)

5、，原來在G0中出現(xiàn)的V形開口消失了，卻重疊成一條平滑直線，這種情況我們叫做G1，如圖3；(圖3，G1)HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=484&k=09c6edcb74521c760d24cd6cb2141ef0&t=1251766153¬humb=yes&sid=U0Qg3JFQTDjIrvRi9IgC60ygjQiFW%2Bg651bn3MdL2Q%2BxU63 t _blank o image006.jpg下載 (8.81 KB)2009-3-3 13:05HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us

6、/attachment.php?aid=483&k=46c44bf4e7d21eca8ea04a6f08013246&t=1251766153¬humb=yes&sid=U0Qg3JFQTDjIrvRi9IgC60ygjQiFW%2Bg651bn3MdL2Q%2BxU63 t _blank o image005.jpg下載 (8.91 KB)2009-3-3 13:05我們用Match命令 HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=485&k=6874be88a32952aff406a738a3132af8&t=125176615

7、3¬humb=yes&sid=U0Qg3JFQTDjIrvRi9IgC60ygjQiFW%2Bg651bn3MdL2Q%2BxU63 t _blank o image007.jpg下載 (1.03 KB)2009-3-3 13:05將這兩條曲線匹配成Curvature(曲率)，即G2。如圖4。G2可以理解為光順。依然打開曲率梳來看G2的情況，如圖5，兩曲線相接處的曲率梳呈現(xiàn)出1字形（黃色高亮顯示），并且兩邊的曲率梳還一樣長，這種情況我們稱之為G2。HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=486&k=fde67ba53667c02

8、881ae0110a67e748e&t=1251766153¬humb=yes&sid=U0Qg3JFQTDjIrvRi9IgC60ygjQiFW%2Bg651bn3MdL2Q%2BxU63 t _blank o image008.jpg下載 (5.73 KB)2009-3-3 13:05(圖4，Match命令對話框)HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=487&k=c9e17f577768badb1cb94a53cff124b7&t=1251766153¬humb=yes&sid=U0Qg3JFQTDjIrvRi9Ig

9、C60ygjQiFW%2Bg651bn3MdL2Q%2BxU63 t _blank o image009.jpg下載 (8.46 KB)2009-3-3 13:05HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=488&k=3cc3deedb1707af0c91bc43e314d6a20&t=1251766153¬humb=yes&sid=U0Qg3JFQTDjIrvRi9IgC60ygjQiFW%2Bg651bn3MdL2Q%2BxU63 t _blank o image010.jpg下載 (8.54 KB)2009-3-3 13:0

10、5(圖5，G2)那么G1、G2他們的原理是什么呢？我們在G1的圖上來標(biāo)示圓角看下，可以發(fā)現(xiàn)曲線的任意處都有他的曲率圓，如圖6。HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=489&k=55a3939c6f6ec38e95ac846a253ce628&t=1251766153¬humb=yes&sid=U0Qg3JFQTDjIrvRi9IgC60ygjQiFW%2Bg651bn3MdL2Q%2BxU63 t _blank o image011.jpg下載 (10.83 KB)2009-3-3 13:05HYPERLINK http:/b

11、bs.rhino3d.us/attachment.php?aid=490&k=41fff151b5188b640fb2b100e8769710&t=1251766153¬humb=yes&sid=U0Qg3JFQTDjIrvRi9IgC60ygjQiFW%2Bg651bn3MdL2Q%2BxU63 t _blank o image012.jpg下載 (12.05 KB)2009-3-3 13:05(圖6，曲率圓)我們把這圖拆開來，對著曲線標(biāo)注半徑。會發(fā)現(xiàn)G2連續(xù)的兩條曲線有共同的曲率半徑，如圖7。HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?

12、aid=491&k=8d48ae7f4dba6a69a58734ce67fc3ee7&t=1251766153¬humb=yes&sid=U0Qg3JFQTDjIrvRi9IgC60ygjQiFW%2Bg651bn3MdL2Q%2BxU63 t _blank o image013.jpg下載 (12.29 KB)2009-3-3 13:05(圖7，標(biāo)注半徑工具檢測G2曲線的曲率半徑)說了半天的曲率梳，那么他代表的是什么呢？曲率梳的梳齒代表的是曲率半徑的大小以及垂直曲線的方向(法向)。長度代表曲率半徑大小，曲率方向代表法向，如圖8。HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.u

13、s/attachment.php?aid=492&k=a5493d8fbe02f860a2914afcf3714a3d&t=1251766153¬humb=yes&sid=U0Qg3JFQTDjIrvRi9IgC60ygjQiFW%2Bg651bn3MdL2Q%2BxU63 t _blank o image014.jpg下載 (7.92 KB)2009-3-3 13:05(圖8，曲率半徑，以及法線方向)比如G1就是法向一致，所以兩曲線相接端點處的切線方向也會一樣，斜率相同。而G2則是兩曲線相接端點處斜率相同并且曲率半徑相同，如圖9。HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.

14、us/attachment.php?aid=493&k=d60ca9a72f823febbb2c13a131e17a0f&t=1251766153¬humb=yes&sid=U0Qg3JFQTDjIrvRi9IgC60ygjQiFW%2Bg651bn3MdL2Q%2BxU63 t _blank o image015.jpg下載 (8.42 KB)2009-3-3 13:05(圖9，G1的曲率梳)在通過對G0、G1、G2理解的基礎(chǔ)上，我們來看下G3的概念。如圖10，G3的曲率梳感覺不出來是兩個扇形。HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?

15、aid=494&k=bb5cfd58ac7ac2c3190fa5e3fb602ae9&t=1251766153¬humb=yes&sid=U0Qg3JFQTDjIrvRi9IgC60ygjQiFW%2Bg651bn3MdL2Q%2BxU63 t _blank o image016.jpg下載 (11.08 KB)2009-3-3 13:05(圖10，G1、G2、G3的曲率梳的對比情況)現(xiàn)在看下如何手動調(diào)整兩曲線的連續(xù)性到G3，如圖11。圖中線段的點都是等分點，三條直線各被點分成了5等份，其實還可以不同的等分值，只要滿足比例條件就可以了。HYPERLINK http:/bbs.rhino3

16、d.us/attachment.php?aid=495&k=1f0cc08b876749008358e9c0d2701f4c&t=1251766153¬humb=yes&sid=U0Qg3JFQTDjIrvRi9IgC60ygjQiFW%2Bg651bn3MdL2Q%2BxU63 t _blank o image017.jpg下載 (20 KB)2009-3-3 13:05（圖11，G3連續(xù)的控制點比例位置）圖11，紅色、藍(lán)色兩條各有三個控制點的二階曲線，在滿足公式AD:DB=CE:EA=EF:FD時，兩曲線的連續(xù)性達(dá)即可到G3。ISO連續(xù)和曲面連續(xù)的關(guān)系：HYPERLINK http:

17、/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=496&k=b80190c9fc27391d86139b5d05043c93&t=1251766153¬humb=yes&sid=U0Qg3JFQTDjIrvRi9IgC60ygjQiFW%2Bg651bn3MdL2Q%2BxU63 t _blank o image018.jpg下載 (12.07 KB)2009-3-3 13:05（圖12）HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=497&k=96b8fd37a3e5bbb746060baa9cf0d374&t

18、=1251766153¬humb=yes&sid=U0Qg3JFQTDjIrvRi9IgC60ygjQiFW%2Bg651bn3MdL2Q%2BxU63 t _blank o image019.jpg下載 (6.4 KB)2009-3-3 13:05HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=498&k=e481798e4efd0f9ec82a22be6fe17008&t=1251766153¬humb=yes&sid=U0Qg3JFQTDjIrvRi9IgC60ygjQiFW%2Bg651bn3MdL2Q%2BxU63 t

19、_blank o image020.jpg下載 (10.18 KB)2009-3-3 13:05（圖13）圖13兩曲面就是斜向關(guān)系，也就是他們的ISO不連續(xù)，但是曲面是連續(xù)的。為了證明這點，我們打開模型的控制點，選擇中間三排控制點后一起往上拉來做強(qiáng)調(diào)?？吹降氖荊2連續(xù)的，如圖14。HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=499&k=af1ae52c6b0b126efd1718edd68c4762&t=1251766153¬humb=yes&sid=U0Qg3JFQTDjIrvRi9IgC60ygjQiFW%2Bg651bn3Md

20、L2Q%2BxU63 t _blank o image021.jpg下載 (8.17 KB)2009-3-3 13:05（圖14）對于Untrimed曲面，邊界也是ISO,邊界ISO不連續(xù)時，內(nèi)部ISO也會有部分的不連續(xù)。如果ISO不連續(xù)，這兩個曲面之間就只能是逼近連續(xù)了。其實這沒什么大影響，因為兩曲面ISO不相等時，也只是屬于逼近連續(xù)，只要在我們誤差要求范圍內(nèi)，都是容許的。絕對連續(xù)只會發(fā)生在ISO相互對應(yīng)且零誤差縫隙的曲面之間。平時做模型，只要求逼近就行了。一般做法都是先做出一階面，然后Match自動提升到3階，這樣比較容易達(dá)到平滑且不扭曲。邊界有夾角，ISO連續(xù)時，其實也是逼近的，尤其是夾

21、角小于30度時，曲率誤差會很大；夾角大于45度時，肉眼基本上看不出斑馬紋的瑕疵了。如圖15，這個夾角其實也是逼近G2而已，但是看不出瑕疵。除了汽車行業(yè)，一般做產(chǎn)品設(shè)計的都能允許這種公差。HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=500&k=97aaa51636300163800a77df20512b69&t=1251766153¬humb=yes&sid=U0Qg3JFQTDjIrvRi9IgC60ygjQiFW%2Bg651bn3MdL2Q%2BxU63 t _blank o image022.jpg下載 (8.72 KB)20

22、09-3-3 13:05HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=501&k=4169c5f559a48496f6566f20518c6912&t=1251766153¬humb=yes&sid=U0Qg3JFQTDjIrvRi9IgC60ygjQiFW%2Bg651bn3MdL2Q%2BxU63 t _blank o image023.jpg下載 (11.76 KB)2009-3-3 13:05（圖15，曲面ISO與連續(xù)性）如圖16，這兩個曲面的尖端處也比較容易出現(xiàn)誤差。一般兩種方式可以降低不順。其中一種就是提升曲面到5階或更高

23、階，就會降低誤差。HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=502&k=3d9320b9559afeacb905c43cd873f0dc&t=1251766153¬humb=yes&sid=U0Qg3JFQTDjIrvRi9IgC60ygjQiFW%2Bg651bn3MdL2Q%2BxU63 t _blank o image024.jpg下載 (7.64 KB)2009-3-3 13:05（圖16，邊界不連續(xù)兩曲面）HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=503&k=68

24、b3c230b0c782838db152cb9e852d6c&t=1251766153¬humb=yes&sid=U0Qg3JFQTDjIrvRi9IgC60ygjQiFW%2Bg651bn3MdL2Q%2BxU63 t _blank o image025.jpg下載 (27.18 KB)2009-3-3 13:05來看看這圖ISO不連續(xù)時，角度夸張的情況下，Match G2就只會得到G0。而左邊是Degree=5的1Span，MATCH G2 OK且保持iso不連續(xù)。5階應(yīng)付兩個面的匹配已經(jīng)夠了，雖然理論上5階也會有問題，但是已經(jīng)沒有工具能分析他的誤差。三面的匹配非要7階不可，三面混接

25、的時候會互相干擾，因為控制點不足，所以5階誤差就會大些。這種情況下要么+span，要么就升階來解決這個問題?？聪氯齻€曲面都是match G2下3、5、7階顯示的區(qū)別，3階：HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=516&k=6838921ff14cd75e68216a920c558421&t=1252973168¬humb=yes&sid=EY9Uc7%2FaWXwcq0Fm4NubO9DT1Uk7XsAb428WKffeTW1oICj t _blank o image026.jpg下載 (9.06 KB)2009-3-3 13

26、:11HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=517&k=d405a5894132e5e1903b9a1f8075df16&t=1252973168¬humb=yes&sid=EY9Uc7%2FaWXwcq0Fm4NubO9DT1Uk7XsAb428WKffeTW1oICj t _blank o image027.jpg下載 (6.89 KB)2009-3-3 13:115階：其實還是有銳角存在，轉(zhuǎn)動時還是看得出來微微的消失銳角。HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=

27、518&k=b3f38f7167489e9f82a3b71bb4bf26ba&t=1252973168¬humb=yes&sid=EY9Uc7%2FaWXwcq0Fm4NubO9DT1Uk7XsAb428WKffeTW1oICj t _blank o image028.jpg下載 (8.81 KB)2009-3-3 13:11HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=519&k=7ec783a26098e600385abd624015a702&t=1252973168¬humb=yes&sid=EY9Uc7%2FaWXwcq

28、0Fm4NubO9DT1Uk7XsAb428WKffeTW1oICj t _blank o image029.jpg下載 (6.17 KB)2009-3-3 13:117階：HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=520&k=8d94ac01aeffbe0a50df859379d21889&t=1252973168¬humb=yes&sid=EY9Uc7%2FaWXwcq0Fm4NubO9DT1Uk7XsAb428WKffeTW1oICj t _blank o image030.jpg下載 (8.66 KB)2009-3-3 1

29、3:11HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=521&k=98aba2eeae7a6ade6425d11bdc341a6e&t=1252973168¬humb=yes&sid=EY9Uc7%2FaWXwcq0Fm4NubO9DT1Uk7XsAb428WKffeTW1oICj t _blank o image031.jpg下載 (8.89 KB)2009-3-3 13:117階的時候肉眼很難察覺這個銳角了，轉(zhuǎn)動也查不出來。這個誤差關(guān)系到A級曲面，A級曲面會要求這種地方的誤差不是1 span而已，上面這個實例同樣都是1 span

30、，但是銜接的地方質(zhì)量不同！A級曲面的定義是：必須滿足相鄰曲面間的間隙在 0.005mm 以下（有些汽車廠甚至要求到 0.001mm），切率改變 ( tangency Change ) 在0.16度以下，曲率改變 (curvature change) 在0.005 度以下，符合這樣的標(biāo)準(zhǔn)才能確保鈑件的環(huán)境反射不會有問題。原生邊相接(沒剪切)曲面間的間隙是0mm，這就要求曲面的屬性也必須相同。不過很難作到整車都不用剪切。其實原理不深入了解也沒關(guān)系，方法知道就好辦了。保持曲面連續(xù)性同時移動控制點位置改變曲面造型：1span (最簡)就是 2階3個控制點3階4個控制點.一此類推容易修改造型也是1Spa

31、n的好處之一。原因是最簡曲面邊與邊之間沒有誤差，如圖17。HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=522&k=9f257df5039ad43226d63f0d4e297d50&t=1252973168¬humb=yes&sid=EY9Uc7%2FaWXwcq0Fm4NubO9DT1Uk7XsAb428WKffeTW1oICj t _blank o image032.jpg下載 (12.57 KB)2009-3-3 13:11HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=523

32、&k=a1c58b9f1bff0f23a22a1cc80f01ac8a&t=1252973168¬humb=yes&sid=EY9Uc7%2FaWXwcq0Fm4NubO9DT1Uk7XsAb428WKffeTW1oICj t _blank o image033.jpg下載 (11.59 KB)2009-3-3 13:11HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=524&k=f0b8ef3dd40020bf780f2a87db445634&t=1252973168¬humb=yes&sid=EY9Uc7%2FaWXwcq0F

33、m4NubO9DT1Uk7XsAb428WKffeTW1oICj t _blank o image034.jpg下載 (9.82 KB)2009-3-3 13:11HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=525&k=5d7248e8bb65144c7c51a53486d5fbfe&t=1252973168¬humb=yes&sid=EY9Uc7%2FaWXwcq0Fm4NubO9DT1Uk7XsAb428WKffeTW1oICj t _blank o image035.jpg下載 (9.46 KB)2009-3-3 13:11H

34、YPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=526&k=6f7d82e21a95ffd6663ccd7582bd6b2f&t=1252973168¬humb=yes&sid=EY9Uc7%2FaWXwcq0Fm4NubO9DT1Uk7XsAb428WKffeTW1oICj t _blank o image036.jpg下載 (9.32 KB)2009-3-3 13:11（圖17，最簡曲面邊與邊之間的關(guān)系）對圖17中的模型，我可以任意修改造型而不用重新構(gòu)線畫面。拖曳模型控制點的時候不會有裂縫，甚至可以保持連續(xù)性。如平面只要點在一直線，就

35、可以保證G2的連續(xù)，注意看圖17最后三個圖例。這個特性在畫車的時候非常有用，畫汽車時候最需要修改，而絕不會畫好的面就不動了。要最簡曲面畫車有個重要的技巧：首先整體分析車體大型。通常先鋪出一階面，然后在Match中自動升階或者也可以用手動升階，不過手動升階時候不可以用Rebuild ，而應(yīng)該用Change Degree。Change Degree會保留曲線的節(jié)點均勻性，這是跟重建曲線最大差別。當(dāng)然階越高文件會越大，提高階數(shù)的目的是為了降低iso不連續(xù)時曲面連續(xù)的誤差。而畫汽車的時候也非常注重曲面的質(zhì)量，一般我們說質(zhì)量好也就是曲面該順的地方順，銜接的地方誤差很小或者零誤差，曲面盡量沒有多余的控制點

36、，使文件量縮小，導(dǎo)到實體軟件時運算量減小而失敗率降低。如圖18，汽車曲面都在五階以上。HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=527&k=c1edefdcef08359e06c0f7e020c9b62a&t=1252973168¬humb=yes&sid=EY9Uc7%2FaWXwcq0Fm4NubO9DT1Uk7XsAb428WKffeTW1oICj t _blank o image037.jpg下載 (27.11 KB)2009-3-3 13:11（圖18，最簡曲面畫汽車）1.曲面的連續(xù)性對直線做G2連續(xù)的數(shù)學(xué)涵義先向各為介

37、紹這王教授簡歷：CAD&CG高科技獎、一等獎獲得者：王國瑾教授（浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系）。男，1944年10月生。主要研究方向為計算器輔助幾何設(shè)計與圖形學(xué)。現(xiàn)為浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，博導(dǎo)。以下向王教授求證所言：按數(shù)學(xué)上的觀點來看，我認(rèn)為你們對NURBS曲線理解欠妥。因為一般一次NURBS曲線，也就是一段直線。把它與已知直線做連續(xù)拼接，那是無實用價值的平凡情況，且是無限階連續(xù)。所以你的事情應(yīng)當(dāng)是指3階NURBS曲線與已知直線做連續(xù)拼接，那肯定是G1連續(xù)，做不到G2連續(xù)。因為G2連續(xù)必須兩者在拼接點有公共的曲率圓。ICAD 曲面設(shè)計人員參考手冊中這樣描述：C0 連續(xù)性意味著兩個相鄰段間存在一個公共點（即兩個

38、段相連）。C1 意味著有一個公共點，并且多項式的一階導(dǎo)數(shù)（即切向矢量）是相同的。C2 意味著一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)都相同。幾何連續(xù)性沒有數(shù)學(xué)連續(xù)性嚴(yán)格：G0和C0的意思相同，即兩個段在位置上的連續(xù)。G1意味著切向矢量的方向相同，但模量不同。G2意味著曲率相同，但二階導(dǎo)數(shù)不同。下面為問答：C：從數(shù)學(xué)上是否意味著任何2次以上的曲線對著直線(1次)做G2連續(xù),最高只能得到G1?王教授：對, 只能得到G1。C：直線曲率=0, 只要曲線末端曲率=0, 就可以稱為G2, 這樣的理論正確嗎? 王教授: 錯誤, 因為曲線末端曲率=0是不可能的C：那么從數(shù)學(xué)上如何解釋呢?王教授: 曲線上任何一點(包括末端)處的密切

39、圓的半徑都是一個有限數(shù), 而此點處的曲率為以上半徑值的倒數(shù), 故不為0。以下為結(jié)論：不論Gcon如何該改判定, 只是為了減少使用者的爭議, 就數(shù)學(xué)上來說直線只能做到G1。Cafer跟Mikko討論后決定未來Rhino V4 Gcon判定：另一邊由曲線接直線接G2這里的認(rèn)定，因為與直線端點一樣是沒有曲率的（曲率圓無限大），所以曲率圓無限大=曲率圓無限大，改為判定為G2。也就是說：1）打斷直線；2）對直線銜接或是混接G2的共享點處；3）兩邊六點控制點共線。曲面的連續(xù)性在講曲面連續(xù)性之前，我們先來看下曲線倒角 HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php

40、?aid=540&k=4e82277629fbcc5a322397d24a520cc3&t=1252973239¬humb=yes&sid=hdD%2FR7Err8ahwGi74les2tvPZCM1RcA4f42ZCfLKdiIfj03 t _blank o image001.jpg下載 (838 Bytes)2009-3-3 16:51。將下圖直角線段倒角。HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=541&k=0baa0a81db97a8acc96e0ef67bd41008&t=1252973239¬humb=yes&s

41、id=hdD%2FR7Err8ahwGi74les2tvPZCM1RcA4f42ZCfLKdiIfj03 t _blank o image002.jpg下載 (7.61 KB)2009-3-3 16:51倒角后其實就是補(bǔ)上一個圓弧。HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=542&k=bf9d2bd6c8ef3ca2170bd1fe7c823f02&t=1252973239¬humb=yes&sid=hdD%2FR7Err8ahwGi74les2tvPZCM1RcA4f42ZCfLKdiIfj03 t _blank o image

42、003.jpg下載 (8.21 KB)2009-3-3 16:51HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=557&k=b087fcb7c59e737d34b90f94bd046b5d&t=1252973239¬humb=yes&sid=hdD%2FR7Err8ahwGi74les2tvPZCM1RcA4f42ZCfLKdiIfj03 t _blank o image004.jpg下載 (8.34 KB)2009-3-3 16:59這段圓弧對兩邊直線產(chǎn)生G1連續(xù)。為什么是G1？因為控制點排列在同一直線上，所以倒角命令出來的就是G1

43、。倒角一定有三個控制點共線的狀況，這也可從曲率梳來看。HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=544&k=4d1421498877fafbe4156a49e6ec3b55&t=1252973239¬humb=yes&sid=hdD%2FR7Err8ahwGi74les2tvPZCM1RcA4f42ZCfLKdiIfj03 t _blank o image005.jpg下載 (8.91 KB)2009-3-3 16:51HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=545&k=

44、152c6f84a3c46441b96368574e98ccb3&t=1252973239¬humb=yes&sid=hdD%2FR7Err8ahwGi74les2tvPZCM1RcA4f42ZCfLKdiIfj03 t _blank o image006.jpg下載 (9.39 KB)2009-3-3 16:51你會發(fā)現(xiàn)直線沒有曲率梳。前面講過梳齒長度就是曲線瞬間半徑，直線沒有半徑，所以沒有曲率梳。但是它仍然具有方向。而G1的含意就是方向一致。所以直線可以做到G1。沒有曲率半徑，所以數(shù)學(xué)含意上不能做G2。因此弧線與直線連續(xù)的話，頂多只能到G1。對直線做G2連續(xù)，嚴(yán)格來說也不叫G2。原因

45、就是前面說的“直線沒有曲率，只有方向”。這里留個問題，“既然說曲線對直線的連續(xù)只能做到G1，那么對兩直線做Blend G2有意義嗎？”雖然我們用GCON檢測工具檢測曲線對直線的連續(xù)能得到提示是G2的結(jié)果，這當(dāng)中的緣由就是前面那段王國瑾教授與原廠CAFER討論的對話歷史。Rhino2.0時，曲線對直線的連續(xù)判定為G1，數(shù)學(xué)上是正確。后來因為造型上爭議，把直線判定改成G2。在3.0后就改了。來看下直線Blend后的曲率梳，右邊的是Blend G2，看它的梳子圖，你會發(fā)現(xiàn)接近直線處急速向下為零。也就是說端點順接處的曲率半徑趨近消失（無曲率）。趨近消失不代表沒有。單一的1Span曲線是不可能沒有曲率的

46、，除非所有控制點都在同一直線上。只要有一點不在這一直線上，整條曲線就有曲率圓存在。HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=555&k=65df02c84fdf09c8b818f34fbcc5c41c&t=1252973239¬humb=yes&sid=hdD%2FR7Err8ahwGi74les2tvPZCM1RcA4f42ZCfLKdiIfj03 t _blank o image007.jpg下載 (8.36 KB)2009-3-3 16:55回過來看前面留的那個問題，“既然說曲線對直線的連續(xù)只能做到G1，那么對兩直線做Ble

47、nd G2有意義嗎？”試著將曲線拉成曲面，右邊是G1，左邊是Blend G2。會發(fā)現(xiàn)光順度有些差別，原因是階數(shù)存在差別，Blend G2多了一個控制點的緩沖。所以對兩直線做Blend G2在造型上是有意義的。HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=547&k=d5bbef67fcc6af8cc1ca70cbc97d620b&t=1252973239¬humb=yes&sid=hdD%2FR7Err8ahwGi74les2tvPZCM1RcA4f42ZCfLKdiIfj03 t _blank o image008.jpg下載 (9

48、.81 KB)2009-3-3 16:51總的來說，對直線做G2 做出來的不是G2，只是在銜接處的光影會比較順暢。光影是一種感覺，因為曲面接近平面時，曲面也幾乎變平面了，所以光影會比較緩和，其實G1也是很順的。你們有空可以觀察一下iPod的倒角，它的光影順不順。在“G2倒角”和“G1倒角”之間我會選擇G1。因為G2倒角曲線化了，沒有G1那么有型。G2的光影會有扭曲，G1的光影則是很正的弧線。對實際的產(chǎn)品來說，G1的倒角比G2的倒角漂亮些。因為倒角是很幾何的形狀，曲線化就沒那種Shape的感覺了。主要造型時倒角的感覺就很重要,iPod主要造型的倒角四周都是G1。Blend已經(jīng)不是正圓弧了?？傊?，

49、你想要幾何些的倒角就選擇G1，軟些的倒角就G2，G2的圓角感覺是比較軟的?，F(xiàn)在來講下斑馬紋。斑馬線的原理只是一種規(guī)范，用它來判斷曲面對平面的連續(xù)性有失客觀。你們只知道斑馬紋接順沒，實際的產(chǎn)品光影卻不是看斑馬紋。斑馬紋也是一種貼圖，把黑白條紋貼在了曲面上。既然是說到貼圖，就是多邊形原理。我們畫個圓球，Ctrl+Alt+S調(diào)到Shade顯示模式。HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=548&k=9e2636474efcc62c4b26ddb8a2746d74&t=1252973239¬humb=yes&sid=hdD%2FR7Er

50、r8ahwGi74les2tvPZCM1RcA4f42ZCfLKdiIfj03 t _blank o image009.jpg下載 (8.6 KB)2009-3-3 16:51放大這圓球來看，會發(fā)現(xiàn)涂色陰影偏離線形框架。HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=549&k=b614298ea2e6d14ec70bc00c7167fb1f&t=1252973239¬humb=yes&sid=hdD%2FR7Err8ahwGi74les2tvPZCM1RcA4f42ZCfLKdiIfj03 t _blank o image010.jp

51、g下載 (8.53 KB)2009-3-3 16:51放更大些，會看到其實涂色陰影圓球只是以多邊形式去渲染來逼近正圓球線形的。例如正30邊形或更多，斑馬紋也是這原理。HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=550&k=b7ef0bf9d92201152a307c3901519a5e&t=1252973239¬humb=yes&sid=hdD%2FR7Err8ahwGi74les2tvPZCM1RcA4f42ZCfLKdiIfj03 t _blank o image011.jpg下載 (8.32 KB)2009-3-3 16:51

52、點下 Asjust Mesh鍵，你就可以觀察到它渲染的多邊形球體。HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=551&k=ef0c7999b38f7d3a2dd9b3ba51e73974&t=1252973239¬humb=yes&sid=hdD%2FR7Err8ahwGi74les2tvPZCM1RcA4f42ZCfLKdiIfj03 t _blank o image012.jpg下載 (13.64 KB)2009-3-3 16:51HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid

53、=552&k=05ce4965610943fa52cf5fa4994e9fb4&t=1252973239¬humb=yes&sid=hdD%2FR7Err8ahwGi74les2tvPZCM1RcA4f42ZCfLKdiIfj03 t _blank o image013.jpg下載 (6.28 KB)2009-3-3 16:51HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=553&k=7334d7fef4219605d1d3ac713bb71d8b&t=1252973239¬humb=yes&sid=hdD%2FR7Err8ah

54、wGi74les2tvPZCM1RcA4f42ZCfLKdiIfj03 t _blank o image014.jpg下載 (22.03 KB)2009-3-3 16:51將多邊形球體放很大看，如下圖。HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=554&k=7e1276516f1f29d82d76b0d1c6e9ebbd&t=1252973239¬humb=yes&sid=hdD%2FR7Err8ahwGi74les2tvPZCM1RcA4f42ZCfLKdiIfj03 t _blank o image015.jpg下載 (11.5

55、2 KB)2009-3-3 16:55因此斑馬紋顯示想要越準(zhǔn)確就要用越密的多邊形顯示，特別是放大看時要更密，可能你會覺得斑馬紋放大看老是不順。其實沒必要放很大，因為斑馬紋也只能看大概，再怎設(shè)置永遠(yuǎn)都不準(zhǔn)確。最后看到的結(jié)果跟斑馬紋密度和斑馬紋多邊形種類都有關(guān)系。多邊形種類還有很多種，下面這些選項都會影響多邊形種類。(轉(zhuǎn)Part02 由于發(fā)帖有字?jǐn)?shù)限制各位諒解!)(續(xù)Part01)HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=558&k=61c486e43d0cc39d7acffcf0c62d57c1&t=1251765858¬humb=

56、yes&sid=n01%2Bwvyk8OL8gRS36Bf%2BFw32YE0PCisf43cLf3gU3Tg5wIy t _blank o image016.jpg下載 (11.82 KB)2009-3-3 17:09曲面的連續(xù)性幾乎都是逼近的。做個實驗，這里有兩個曲面。HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=559&k=d577b762af36c6783902c37c58fc469f&t=1251765858¬humb=yes&sid=n01%2Bwvyk8OL8gRS36Bf%2BFw32YE0PCisf43cLf3gU3

57、Tg5wIy t _blank o image017.jpg下載 (12.36 KB)2009-3-3 17:09我們用BlendSrf G2混接它們，你認(rèn)為它會是G2嗎？HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=560&k=267be3678dbdea843a00561d2c17ec00&t=1251765858¬humb=yes&sid=n01%2Bwvyk8OL8gRS36Bf%2BFw32YE0PCisf43cLf3gU3Tg5wIy t _blank o image018.jpg下載 (12.97 KB)2009-3-3

58、 17:09階數(shù)是3沒錯，但只能是逼近G2。為什么它不是正真的G2呢？Blend的精度是由設(shè)定好的公差值影響的。依照公差值去逼近兩面達(dá)到G2。我們把模型放很大時就會看到有裂縫。HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=561&k=05dff7a7beb6f387143864b8f884e759&t=1251765858¬humb=yes&sid=n01%2Bwvyk8OL8gRS36Bf%2BFw32YE0PCisf43cLf3gU3Tg5wIy t _blank o image019.jpg下載 (5.86 KB)2009-3-

59、3 17:09這個裂縫就是公差值范圍內(nèi)的，所以BlendSrf做出來的曲面都是逼近的。而斑馬紋原理也是逼近的，那測出來就更不準(zhǔn)了。所以說斑馬紋只能測個大概，不可能無限的去放大后都還能接順的。既然斑馬紋測不準(zhǔn)，那就只有曲率梳了，只有它能測出是否絕對的G2。那么要怎么做才能是絕對G2呢？先想想怎樣能讓兩條線完全重疊?？刂泣c位置相同、階數(shù)相同、均勻、有理。簡單的說，只要兩條線屬性完全相同，就能重疊?；蛘哒f復(fù)制上去的曲線就可以了重疊。因此，除非兩個曲面屬性完全相同，否則不可能兩邊能100無縫接。這跟Span數(shù)量無關(guān)，只要兩曲面的銜接向的UV屬性相同就可以無縫隙。例如，曲面a的U銜接曲面b的V，只要曲面a的U跟銜接曲面b的V屬性一樣就行了。屬性包含控制點數(shù)量、階數(shù)、有無理、是否均勻。四大屬性一致就能無縫隙。就以剛才的兩曲面來舉例，它們是鏡像的，屬性自然相同，match后就能100無縫隙，不論你放大多少倍，都不會有縫隙。HYPERLINK http:/bbs.rhino3d.us/attachment.php?aid=562&k=1b2b11bd5e95438ac756365241f59cf9&t=1251765858¬humb=yes&sid=n01%2Bwvyk8OL8gRS36Bf%2BFw32YE0PCisf43cLf3gU3Tg5wIy t _blank o image020