1、1.5定積分的概念1.5.11.5.2曲邊梯形的面積汽車行駛的路程課后篇鞏固提升1.下列函數(shù)在其定義域上不是連續(xù)函數(shù)的是() A.y=x2B.y=|x|C.y=xD.y=1x解析選項A,B,C中,函數(shù)的圖象都是連續(xù)不斷的曲線,只有D項不是連續(xù)函數(shù).答案D2.在“近似代替”中,函數(shù)f(x)在區(qū)間xi,xi+1上的近似值()A.只能是左端點的函數(shù)值f(xi)B.只能是右端點的函數(shù)值f(xi+1)C.可以是該區(qū)間內(nèi)任一點的函數(shù)值f(i)(ixi,xi+1)D.以上答案均正確解析作近似計算時,x=xi+1-xi很小,誤差可忽略,所以f(x)可以是xi,xi+1上任一值f(i).答案C3.和式i=110

2、(xi2-2)等于()A.i=110 xi2-2B.i=110 xi2-10C.i=110 xi2-20D.i=110 xi2解析i=110(xi2-2)=i=110 xi2i=1102=i=110 xi2-210=i=110 xi2-20.答案C4.對于由直線x=1,y=0和曲線y=x3所圍成的曲邊梯形,把區(qū)間3等分,則曲邊梯形面積的近似值(取每個區(qū)間的左端點)是()A.19B.125C.127D.130解析將區(qū)間0,1三等分后,得到3個區(qū)間,即0,13,13,23,23,1以每個區(qū)間的左端點的函數(shù)值為高,3個小矩形的面積和為曲邊梯形面積的近似值,S=013+13313+23313=19.答

3、案A5.在等分區(qū)間的情況下,f(x)=11+x2(x0,2)及x軸所圍成的曲邊梯形面積和式的極限形式正確的是()A.limni=1n11+(in)22nB.limni=1n11+(2in)22nC.limni=1n11+i21nD.limni=1n11+(in)2n解析將區(qū)間0,2n等分后每個區(qū)間長度為2n,第i個小區(qū)間為2(i-1)n,2in(i=1,2,3,n),故應選B.答案B6.在區(qū)間0,5內(nèi)插入9個等分點后,每個小區(qū)間的長度等于,第4個小區(qū)間是.解析插入9個等分點,即將區(qū)間0,510等分,因此每個小區(qū)間長度為510=12,第4個小區(qū)間是0+4-12,0+42,即32,2.答案1232

4、,27.在求由直線x=0,x=1,y=0和曲線y=x3所圍成的曲邊梯形面積時,若令x=1n,i=i-1n,則曲邊梯形的面積表達式為.解析S=i=1nf(i)x=i=1ni-1n31n.答案i=1ni-1n31n8.由直線x=0,x=1,y=0和曲線y=x2+2x圍成的圖形的面積為.解析將區(qū)間0,1n等分,每個區(qū)間長度為1n,區(qū)間右端點函數(shù)值y=in2+2in=i2n2+2in.作和i=1ni2n2+2in1n=i=1ni2n3+2in2=1n3i=1ni2+2n2i=1ni=1n316n(n+1)(2n+1)+2n2n(n+1)2=(n+1)(2n+1)6n2+n+1n=8n2+9n+16n2

5、,故所求面積S=limn8n2+9n+16n2=limn43+32n+16n2=43.答案439.求直線x=0,x=2,y=0與曲線y=x2所圍成的曲邊梯形的面積.解(1)分割將區(qū)間0,2等分成n個小區(qū)間2i-2n,2in(i=1,2,n),每個區(qū)間長度為x=2n.過各分點作x軸的垂線,把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形,它們的面積分別記作S1,S2,Sn.(2)近似代替在區(qū)間2i-2n,2in上,以2in的函數(shù)值2in2作為高,小區(qū)間的長度x=2n作為底邊的小矩形的面積作為第i個小曲邊梯形的面積,即Si=2in22n=8i2n3.(3)求和曲邊梯形的面積近似值為S=i=1nSi=i=1n8i2n3

6、=8n3i=1ni2=8n3(12+22+n2)=8n3n(n+1)(2n+1)6=432+3n+1n2.(4)取極限S=limn432+3n+1n2=83,即所求曲邊梯形的面積為83.10.有一輛汽車在筆直的公路上變速行駛,如果在時刻t的速度為v(t)=3t2+2(單位:km/h),那么該汽車在0t2(單位:h)這段時間內(nèi)行駛的路程s(單位:km)是多少?解(1)分割在時間區(qū)間0,2上等間隔地插入n-1個分點,將它等分成n個小區(qū)間,則第i個小區(qū)間為2(i-1)n,2in(i=1,2,n),其長度為t=2in2(i-1)n=2n,每個時間段上行駛的路程記為si(i=1,2,n),則顯然有s=i=1nsi.(2)近似代替取i=2in(i=1,2,n).于是siv2int=3(2in)2+22n=24i2n3+4n(i=1,2,n).(3)求和sn=i=1n24i2n3+4n=24n3(12+22+n