1、5.3直線與平面的夾角課后篇鞏固提升1.下列有關(guān)角的說法正確的是()A.異面直線所成的角的范圍是0,2B.兩平面的夾角可以是鈍角C.斜線和平面所成角的范圍是0,2D.直線與平面的夾角的取值范圍是0,2答案D2.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于()A.23B.33C.23D.13答案A3.在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱長相等,側(cè)棱垂直于底面,點D是側(cè)面BB1C1C的中心,則AD與平面BB1C1C夾角的大小是()A.6B.4C.3D.2答案C4.在三棱錐P-ABC中,PA平面ABC,BAC=90,D,E,F分別是棱AB,BC,

2、CP的中點,AB=AC=1,PA=2,則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為()A.255B.55C.35D.235答案B5.若平面的一個法向量為n=(4,1,1),直線l的方向向量為a=(-2,-3,3),則l與夾角的余弦值為.答案913336.如圖,ABCD是邊長為3的正方形,DE平面ABCD,AFDE,DE=3AF,BE與平面ABCD的夾角為3,則平面FBE與平面DBE夾角的余弦值是.答案13137.如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,側(cè)面SBC底面ABCD.已知ABC=45,AB=2,BC=22,SA=SB=3.(1)求證:SABC;(2)求直線SD與平面SAB夾角

3、的正弦值.(提示:用向量法求解)(1)證明如圖,作SOBC,垂足為O,連接AO.由側(cè)面SBC底面ABCD,得SO平面ABCD.因為SA=SB,所以AO=BO.又ABC=45,故AOB為等腰直角三角形,且AOOB.如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點,OA為x軸正向,OB為y軸正向,OS為z軸正向,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),S(0,0,1),所以SA=(2,0,-1),CB=(0,22,0).所以SACB=0.所以SABC.(2)解如上圖,取AB的中點E22,22,0.連接SE,取SE的中點G24,24,12,連接OG,則OG=24,24,12,SE

4、=22,22,-1,AB=-2,2,0.所以SEOG=0,ABOG=0,即OG與平面SAB內(nèi)兩條相交直線SE,AB垂直,所以O(shè)G平面SAB.將OG與DS的夾角記為,SD與平面SAB的夾角記為,則與互余.因為D(2,-22,0),所以DS=(-2,22,1),所以cos =OGDS|OG|DS|=2211,所以sin =2211.所以直線SD與平面SAB夾角的正弦值為2211.8.在正四棱錐P-ABCD中,AB=2,PA=6,E,F分別是AB,AD的中點,過直線EF的平面分別與側(cè)棱PB,PD交于點M,N.(1)求證:MNBD;(2)若EF=2MN,求直線PA與平面所成角的正弦值.(1)證明在AB

5、D中,因為E,F分別是AB,AD的中點,所以EFBD且EF=12BD,又因為EF平面PBD,BD平面PBD,所以EF平面PBD.因為EF平面,平面PBD=MN,所以EFMN,所以MNBD.(2)解由EF=2MN,得MNBD=14,則PM=14PB.設(shè)O為BD的中點,以O(shè)為原點,OE所在直線為x軸,作出y軸,OP所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,因為PA=6,AB=2,所以PO=2,所以A(1,-1,0),E(1,0,0),F(0,-1,0),B(1,1,0),P(0,0,2),則AP=(-1,1,2),EF=(-1,-1,0),PB=(1,1,-2),EB=(0,1,0),所以MB=34PB=34,34,-32,所以EM=EBMB=-34,14,32.設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z),所以nEF=0,nEM=0,即x+y=0,-3