1、 第九章 第八節(jié)一、多元函數(shù)的極值 二、最值應(yīng)用問(wèn)題三、條件極值多元函數(shù)的極值及其求法一、 多元函數(shù)的極值 1.定義: 若函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).例如 :在點(diǎn) (0,0) 有極小值;在點(diǎn) (0,0) 有極大值;點(diǎn) (0,0) 不是極值點(diǎn).極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn).的某去心鄰域內(nèi)有定理1 (必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),且在該點(diǎn)取得極值 ,則有存在2、多元函數(shù)取得極值的條件證 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱(chēng)為函數(shù)的駐點(diǎn).駐點(diǎn)極值點(diǎn)問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？注意：若函數(shù)有偏導(dǎo)，則時(shí), 具有極值定理2 (充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和

2、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令則: 1) 當(dāng)A0 時(shí)取極小值.2) 當(dāng)3) 當(dāng)證明見(jiàn) 第九節(jié)(P122) . 時(shí), 沒(méi)有極值.時(shí), 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)例1.求函數(shù)解: 第一步 求駐點(diǎn).得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步求二階偏導(dǎo)數(shù),判別.在點(diǎn)(1,0) 處為極小值;解方程組的極值.在點(diǎn)(3,0) 處不是極值;在點(diǎn)(3,2) 處為極大值.在點(diǎn)(1,2) 處不是極值;解：解二、最值應(yīng)用問(wèn)題函數(shù) f 在閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn) 駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個(gè)極值點(diǎn)P 時(shí), 為極小 值為最小

3、 值(大)(大)依據(jù)偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)解如圖,實(shí)例： 小王有200元錢(qián)，他決定用來(lái)購(gòu)買(mǎi)兩種急需物品：筆記本和簽字筆，設(shè)他購(gòu)買(mǎi) 個(gè)筆記本和 支簽字筆，效果函數(shù)為設(shè)筆記本每本3元，簽字筆每支5元，問(wèn)他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：求 在條件 下的極值點(diǎn)三、條件極值極值問(wèn)題無(wú)條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法1 代入法.求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如 ,轉(zhuǎn)化方法2 拉格朗日乘數(shù)法.如方法 1 所述 ,則問(wèn)題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問(wèn)題,極值點(diǎn)必滿足設(shè) 記例如,故 故有引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F 稱(chēng)為拉格朗日

4、( Lagrange )函數(shù).利用拉格極值點(diǎn)必滿足則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱(chēng)為拉格朗日乘數(shù)法.推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形. 設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn) . 例如, 求函數(shù)下的極值.在條件解則例7 拋物面 被平面x+y+z=1截成一個(gè)橢圓，求這個(gè)橢圓到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)與最短距離。解 該問(wèn)題即求函數(shù)在條件 及x+y+z=1下的最大值與最小值。求偏導(dǎo)得到可能的駐點(diǎn)： 由該問(wèn)題的實(shí)際意義知該問(wèn)題確實(shí)存在最大值與最小值，其最大值與最小值為內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的極值問(wèn)題第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步 利用充分條件 判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn) .2. 函數(shù)的條件極值問(wèn)題(1) 簡(jiǎn)單問(wèn)題用代入法如對(duì)二元函數(shù)(2) 一般問(wèn)題用拉格朗日乘數(shù)法設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步 判別 比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小 根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義確定最