1、1一種作圖工具如圖1所示O是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿MN通過(guò)N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)，且DNON1，MN3.當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞O轉(zhuǎn)動(dòng)一周(D不動(dòng)時(shí)，N也不動(dòng))，M處的筆尖畫(huà)出的曲線(xiàn)記為C.以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在的直線(xiàn)為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系(1)求曲線(xiàn)C的方程；(2)設(shè)動(dòng)直線(xiàn)l與兩定直線(xiàn)l1：x2y0和l2：x2y0分別交于P，Q兩點(diǎn)若直線(xiàn)l總與曲線(xiàn)C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說(shuō)明理由解(1)設(shè)點(diǎn)D(t,0)，(|t|2)，N(x0，y0)，M(x，y)，依

2、題意，MD2DN，且|DN|ON|1，所以(tx，y)2(x0t，y0)，x0t2y201，且x02y021.t02t，x2x即且t(t2x0)0.y2y0，由于當(dāng)點(diǎn)D不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N也不動(dòng)，所以t不恒等于0，于是t2x0，故x0 x，y0y，代入x02y021，42可得x2y21，即所求的曲線(xiàn)C的方程為x2y21.164164(2)()當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)l為x4或x4，都有1SOPQ2448.1()當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l：ykxmk，2ykxm，由x24y216，消去y，可得(14k2)x28kmx4m2160.因?yàn)橹本€(xiàn)l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以64k2m24(14k

3、2)(4m216)0，即m216k24.ykxm，2mm又由x2y0，可得P12k，12k；同理可得2mm|m|和|PQ|Q12k，12k.由原點(diǎn)O到直線(xiàn)PQ的距離為d1k22x，可得11xk|xPQ|SOPQ22|m|xPQ|1|PQ|d1|m|2m2m2m22.212k12k14k將代入得，SOPQ2m28|4k21|14k2|4k2.1|當(dāng)k241時(shí)，84k218124k214k2SOPQ18；當(dāng)214k21120k4時(shí)，SOPQ84k2814k2.1因21，則2222，所以SOPQ0kb0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，ab點(diǎn)D在橢圓上，DF1F1F2，|F1F2|2|DF1|22，D

4、F1F2的面積為2.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)圓心在y軸上的圓與橢圓在x軸的上方有兩個(gè)交點(diǎn)，且圓在這兩個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線(xiàn)相互垂直并分別過(guò)不同的焦點(diǎn)，求圓的半徑解(1)設(shè)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c2a2b2.由|F1F2|22得|DF|F1F2|2|DF1|1|222c.從而SDF12222c2，故c1.1F22|DF1|F1F2|2從而|DF1|2，由DF1F1F2得|DF22|DF12|F29，因此|DF32|1F2|22|2.所以2a|DF1222，故a，2a2c21.|DF|2b2因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y21.2(2)如圖，設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓x2y21相

5、交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是兩個(gè)交點(diǎn)，y10，y20，F(xiàn)1P1，F(xiàn)2P2是圓C的切線(xiàn)，且F1P1F2P2.由圓和橢圓的對(duì)稱(chēng)性，易知x2x1，y1y2，|P1P2|2|x1|.由(1)知F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，所以F1P1(x11，y1)，F(xiàn)2P2(x121，y1)再由F1P1F2P2得(x11)2y210.由橢圓方程得1x21(x11)2，即3x214x10，解得x143或x10.當(dāng)x10時(shí)，P1，P2重合，此時(shí)題設(shè)要求的圓不存在4當(dāng)x13時(shí)，過(guò)P1，P2分別與F1P1，F(xiàn)2P2垂直的直線(xiàn)的交點(diǎn)即為圓心C.由F1P1，F(xiàn)2P2是圓C的切線(xiàn)，且F1P1F2P2，知CP1C

6、P2.又|CP1|CP，故圓C的半徑2422|CP1|2|P1P2|2|x1|3.3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1.記點(diǎn)M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程；(2)設(shè)斜率為k的直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)P(2,1)求直線(xiàn)l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍解(1)設(shè)點(diǎn)M(x，y)，依題意得|MF|x|1，即x12y2|x|1，化簡(jiǎn)整理得y22(|x|x)4x，x0，故點(diǎn)M的軌跡C的方程為y20，x0.(2)在點(diǎn)M的軌跡C中，記C1：y24x，C2：y0(x0)依題意，可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y1k(x2)y1kx2，由方程組可得ky24y4(

7、2k1)0.y24x，()當(dāng)k0時(shí)，此時(shí)y1.1把y1代入軌跡C的方程，得x4.1故此時(shí)直線(xiàn)l：y1與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)4，1.(當(dāng)時(shí)，方程的判別式為2k1)k016(2k設(shè)直線(xiàn)l與x軸的交點(diǎn)為(x0,0)，則2k1由y1k(x2)，令y0，得x0k.0，1(a)若x00，由解得k2.1即當(dāng)k(，1)2，時(shí)，直線(xiàn)l與C1沒(méi)有公共點(diǎn)，與C2有一個(gè)公共點(diǎn)，故此時(shí)直線(xiàn)l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)(b)若0，或0，由解得1，1或1k0.x00，k22x00，11(c)若x00，由解得1k2或0kb0)的一個(gè)焦點(diǎn)為(5，0)，離心率5為3.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0，y0)為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線(xiàn)相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程5解(1)由題意知c5，ea3，a3，b2a2c24，x2y2故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為941.(2)設(shè)兩切線(xiàn)為l1，l2，當(dāng)l1x軸或l1x軸時(shí)，對(duì)應(yīng)l2x軸或l2x軸，可知P(3，2)當(dāng)l1與x軸不垂直且不平行時(shí)，x03，設(shè)l1的斜率為k，且1，l22，則的斜率為的方程為yyk(xx，與xy1k0l2k100)94聯(lián)立，整理得(9k24)x218(y0kx0)kx9(y0kx0)2360，0，即9(y0kx0)2k2(9k24)(y0kx0)240，(x209)k22x0y0ky2040，k是方程(x209)x22x0y