1、實數(shù)是高等數(shù)學特別是微積分的重要基礎在初中代數(shù)中沒有系統(tǒng)地介紹實數(shù)理論，是因為它涉及到極限的概念這一概念對中學生而言，有一定難度但是，如果中學數(shù)學里沒有實數(shù)的概念及其簡單的運算知識，中學數(shù)學也將無法繼續(xù)學習下去了例如，即使是一元二次方程，只有有理數(shù)的知識也是遠遠不夠用的因此，適當學習一些有關實數(shù)的基礎知識，以及運用這些知識解決有關問題的基本方法，不僅是為高等數(shù)學的學習打基礎，而且也是初等數(shù)學學習所不可缺少的本講主要介紹實數(shù)的一些基本知識及其應用用于解決許多問題，例如，不難證明：任何兩個有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)，或者說，有理數(shù)對加、減、乘、除(零不能做除數(shù))是封閉的性質1 任何一個有理數(shù)

2、都能寫成有限小數(shù)(整數(shù)可以看作小數(shù)點后面為零的小數(shù))或循環(huán)小數(shù)的形式，反之亦然例1分析 要說明一個數(shù)是有理數(shù)，其關鍵要看它能否寫成兩個整數(shù)比的形式證 設兩邊同乘以100得-得99x=261.54-2.61=258.93，無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)有理數(shù)對四則運算是封閉的，而無理是說，無理數(shù)對四則運算是不封閉的，但它有如下性質 性質2 設a為有理數(shù)，b為無理數(shù)，則(1)a+b，a-b是無理數(shù)；有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，即在實數(shù)集內，沒有最小的實數(shù)，也沒有最大的實數(shù)任意兩個實數(shù)，可以比較大小全體實數(shù)和數(shù)軸上的所有點是一一對應的在實數(shù)集內進行加、減、乘、除(除數(shù)不為零)運算，其結果仍是實數(shù)(即實數(shù)對四

3、則運算的封閉性)任一實數(shù)都可以開奇次方，其結果仍是實數(shù)；只有當被開方數(shù)為非負數(shù)時，才能開偶次方，其結果仍是實數(shù)例2分析證所以分析 要證明一個實數(shù)為無限不循環(huán)小數(shù)是一件極難辦到的事由于有理數(shù)與無理數(shù)共同組成了實數(shù)集，且二者是矛盾的兩個對立面，所以，判定一個實數(shù)是無理數(shù)時，常常采用反證法證 用反證法所以p一定是偶數(shù)設p=2m(m是自然數(shù))，代入得4m22q2，q22m2，例4 若a1+b1a=a2+b2a(其中a1，a2，b1，b2為有理數(shù)，a為無理數(shù))，則a1=a2，b1=b2，反之，亦成立分析 設法將等式變形，利用有理數(shù)不能等于無理數(shù)來證明證 將原式變形為(b1-b2)a=a2-a1若b1b2

4、，則反之，顯然成立說明 本例的結論是一個常用的重要運算性質是無理數(shù)，并說明理由整理得：由例4知aAb，1=A，說明 本例并未給出確定結論，需要解題者自己發(fā)現(xiàn)正確的結有理數(shù)作為立足點，以其作為推理的基礎例6 已知a，b是兩個任意有理數(shù)，且ab，求證：a與b之間存在著無窮多個有理數(shù)(即有理數(shù)集具有稠密性)分析 只要構造出符合條件的有理數(shù)，題目即可被證明證 因為ab，所以2aa+b2b，所以說明 構造具有某種性質的一個數(shù)，或一個式子，以達到解題和證明的目的，是經常運用的一種數(shù)學建模的思想方法例7 已知a，b是兩個任意有理數(shù)，且ab，問是否存在無理數(shù)，使得ab成立？即 由，有存在無理數(shù)，使得ab成立2

5、019-2020年初中數(shù)學競賽專題培訓第三講 實數(shù)的若干性質和應用的值分析 因為無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，所以不可能把一個無理數(shù)的小數(shù)部分一位一位確定下來，這樣涉及無理數(shù)小數(shù)部分的計算題，往往是先估計它的整數(shù)部分(這是容易確定的)，然后再尋求其小數(shù)部分的表示方法14=9+6b+b2，所以b2+6b=5b4+12b3+37b2+6b-20=(b4+26b3+36b2)+(b2+6b)-20=(b2+6b)2+(b2+6b)-20=52+5-20=10例9 求滿足條件的自然數(shù)a，x，y解 將原式兩邊平方得由式變形為兩邊平方得例10 設an是12+22+32+n2的個位數(shù)字，n=1，2，3，求證：0.

6、a1a2a3an是有理數(shù)分析 有理數(shù)的另一個定義是循環(huán)小數(shù)，即凡有理數(shù)都是循環(huán)小數(shù)，反之循環(huán)小數(shù)必為有理數(shù)所以，要證0.a1a2a3an是有理數(shù)，只要證它為循環(huán)小數(shù)因此本題我們從尋找它的循環(huán)節(jié)入手證 計算an的前若干個值，尋找規(guī)律：1，5，4，0，5，1，0，4，5，5，6，0，9，5，0，6，5，9，0，0，1，5，4，0，5，1，0，4，發(fā)現(xiàn)：a20=0，a21=a1，a22=a2，a23=a3，于是猜想：ak+20=ak，若此式成立，說明0.a1a2an是由20個數(shù)字組成循環(huán)節(jié)的循環(huán)小數(shù)，即下面證明ak+20=ak令f(n)=12+22+n2，當f(n+20)-f(n)是10的倍數(shù)時，表明f(n+20)與f(n)有相同的個位數(shù)，而f(n+20)-f(n)=(n+1)