1、 第5章 二次根式 5.1 二次根式課時1 二次根式及其性質1.理解二次根式的概念.（重點）2.掌握二次根式有意義的條件.（重點）3.會利用二次根式的非負性解決相關問題.（難點） 學習目標新課導入情景引入里約奧運會上，哪位奧運健兒給你留下了深刻的印象？你能猜出下面表情包是誰嗎？你們是根據哪些特征猜出的呢？新課講解思考 用帶根號的式子填空，這些結果有什么特點？(1)如圖的海報為正方形，若面積為2m2,則邊長為_m；若面積為S m2，則邊長為_m (2)如圖的海報為長方形，若長是寬的2倍，面積為6m2，則它的寬為_m 圖圖新課講解（3）一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間 t（單位：s）與開

2、始落下的高度h（單位：m）滿足關系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t為_新課講解 知識點1 二次根式的概念及有意義的條件合作探究問題1 這些式子分別表示什么意義？分別表示2，S，3， 的算術平方根 上面問題中，得到的結果分別是： ， ， ， 根指數都為2;被開方數為非負數.問題2 這些式子有什么共同特征？新課講解歸納 一般地，我們把形如 的式子叫做二次根式. “ ”稱為二次根號.兩個必備特征外貌特征：含有“ ”內在特征：被開方數a 0注意：a可以是數，也可以是式.新課講解典例分析例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1屬于

3、“非負數+正數”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.是否含二次根號被開方數是不是非負數二次根式不是二次根式是是否否分析：新課講解例2 當x是怎樣的實數時, 在實數范圍內有意義?解：由x-20，得x2.當x2時， 在實數范圍內有意義.【變式題1】當x是怎樣的實數時，下列各式在實數范圍內有意義？解：由題意得x-10，x1.新課講解解：被開方數需大于或等于零，3+x0，x-3.分母不能等于零，x-10，x1.x-3 且x1. 要使二次根式在實數范圍內有意義，即需滿足被開方數0，列不等式求解即可.若二次根式為分母或二次根式為分式的分母時，應同時考慮分母不為零.歸納新課講解練一練當x是怎

4、樣的實數時，下列各式在實數范圍內有意義？解：(1)無論x為何實數，當x=1時， 在實數范圍內有意義.(2)無論x為何實數，-x2-2x-3=-(x+1)2-20，無論x為何實數， 在實數范圍內都無意義. 被開方數是多項式時，需要對組成多項式的項進行恰當分組湊成含完全平方的形式，再進行分析討論.歸納新課講解歸納(1)單個二次根式如 有意義的條件：A0；(2)多個二次根式相加如 有意義的條件：(3)二次根式作為分式的分母如 有意義的條件： A0；(4)二次根式與分式的和如 有意義的條件：A0且B0.新課講解典例分析1.下列各式： . 一定是二次根式的個數有 （ ） A.3個 B.4個 C.5個 D

5、.6個 B2.(1)若式子 在實數范圍內有意義，則x的取值 范圍是_; (2)若式子 在實數范圍內有意義，則x的 取值范圍是_.x 1 x 0且x2 新課講解 知識點2 二次根式的雙重非負性問題1 當x是怎樣的實數時， 在實數范圍內有意義？ 呢？前者x為全體實數；后者x為正數和0. 當a0時， 表示a的算術平方根，因此 0；當a=0時， 表示0的算術平方根，因此 =0.這就是說，當a0時， 0.問題2 二次根式 的被開方數a的取值范圍是什么？它本身的取值范圍又是什么？ 新課講解歸納二次根式的實質是表示一個非負數（或式）的算術平方根.對于任意一個二次根式 ，我們知道：（1）a為被開方數，為保證其

6、有意義，可知a0；（2） 表示一個數或式的算術平方根，可知 0. 二次根式的被開方數非負二次根式的值非負二次根式的雙重非負性新課講解典例分析例3 若 ，求a -b+c的值.解： 由題意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0, 解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3. 多個非負數的和為零，則可得每個非負數均為零.初中階段學過的非負數主要有絕對值、偶次冪及二次根式.歸納新課講解【變式題】已知a，b為等腰三角形的兩條邊長，且a，b滿足 ，求此三角形的周長解：由題意得a=3，b=4.當a為腰長時，三角形的周長為3+3+4=10；當b為腰長時，三角形的周長為4+4+3=11 若 ，則

7、根據被開方數大于等于0，可得a=0.歸納新課講解 知識點3 （a0）的性質合作探究正方形的邊長為 ， 用邊長表示正方形的面積為 ，又面積為a，即 . 活動1 如圖是一塊具有民族風的正方形方巾，面積為a，求它的邊長，并用所求得的邊長表示出面積，你發(fā)現了什么？ 這個式子是不是對所有的二次根式都成立呢？新課講解活動2 為了驗證活動1的結論是否具有廣泛性，下面根據算術平方根及平方的意義填空，你又發(fā)現了什么？ .算術平方根平方運算 0 2 4 .a(a0) 02 = 0 .觀察兩者有什么關系？ 22 = 4新課講解420根據活動2直接寫出結果，然后根據活動2的探究過程說明理由： 是2的算術平方根，根據算

8、術平方根的意義， 是一個平方等于2的非負數.因此 .同理， 分別是0,4， 的算術平方根，即得上面的等式.新課講解歸納總結 的性質：一般地， a (a 0).即一個非負數的算術平方根的平方等于它本身.注意：不要忽略a0這一限制條件.這是使二次根式 有意義的前提條件.新課講解練一練例1 計算： 解：(2)可以用到冪的哪條基本性質呢？積的乘方：（ab）2=a2b2新課講解典例分析例2 在實數范圍內分解因式： 解： 本題逆用了 在實數范圍內分解因式.在實數范圍內分解因式時，原來在有理數范圍內分解因式的方法和公式仍然適用.歸納新課講解練一練 計算： 解:新課講解 知識點4 的性質 .平方運算算術平方根

9、 2 0.1 0 .a(a0) 2 .觀察兩者有什么關系？ 填一填： a (a0).新課講解 .平方運算算術平方根 -2 -0.1 . 2 .觀察兩者有什么關系？ a(a0)思考：當a0時， =-a新課講解歸納a (a0)-a (a0)即任意一個數的平方的算術平方根等于它本身的絕對值. 的性質：新課講解典例分析例3 化簡：解： ，而3.14，要注意a的正負性.注意新課講解 計算： 解:新課講解辨一辨：請同學們快速分辨下列各題的對錯（ ）（ ）（ ）（ ）新課講解議一議：如何區(qū)別 與 ？從運算順序看從取值范圍看從運算結果看先開方,后平方先平方，后開方a0a取任何實數a|a|意義表示一個非負數a的

10、算術平方根的平方表示一個實數a的平方的算術平方根新課講解例4 實數a、b在數軸上的對應點如圖所示，請你化簡:解：由數軸可知a0，b0，a-b0，原式=|a|-|b|+|a-b|=-a-b-（a-b）=-2a.ab新課講解【變式題】 實數a、b在數軸上的對應點如圖所示，化簡： .解：根據數軸可知ba0，a+2b0，a-b0，則=|a+2b|+|a-b|=-a-2b+a-b=-3b 利用數軸和二次根式的性質進行化簡，關鍵是要要根據a,b的大小討論絕對值內式子的符號.注意新課講解例5 已知a、b、c是ABC的三邊長，化簡：解：a、b、c是ABC的三邊長，a+bc，b+ca，b+ac，原式=|a+b+

11、c|-|b+c-a|+|c-b-a| =a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c） =a+b+c-b-c+a+b+a-c=3a+b-c分析：利用三角形三邊關系三邊長均為正數，a+bc兩邊之和大于第三邊，b+c-a0，c-b-a0新課講解 知識點5 代數式的定義 用基本運算符號（包括加、減、乘、除、乘方和開方）把 或 連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數式.數表示數的字母 想一想 到現在為止，初中階段所學的代數式主要有哪幾類？代數式整式分式二次根式新課講解（1）一條河的水流速度是2.5 km/h，船在靜水中的速度是 v km/h，用代數式表示船在這條河中順水行駛和逆水行駛時的速度； 例6 解：

12、（1）船在這條河中順水行駛的速度是 km/h，逆水行駛的速度是 km/h（2）如圖，小語要制作一個長與寬之比為5:3的長方形賀卡，若面積為S，用代數式表示出它的長. （2）設賀卡的長為5x,則寬為3x.依題意得 15x2=S，所以 所以它的長為新課講解列代數式的要點：要抓住關鍵詞語，明確它們的意義以及它們之間的關系，如和、差、積、商及大、小、多、少、倍、分、倒數、相反數等；理清語句層次明確運算順序；牢記一些概念和公式 歸納總結課堂小結二次根式性質 a (a 0).拓展性質 |a|（a為全體實數）課堂小結二次根式定義帶有二次根號在有意義條件下求字母的取值范圍抓住被開方數必須為非負數，從而建立不等

13、式求出其解集.被開方數為非負數二次根式的雙重非負性二次根式 中,a0且 0當堂小練1.在下列各式中，不是代數式的是（）A.7 B.32 C. DB2.如圖是一圓形掛鐘，正面面積為S，用代數式表示出鐘的半徑為_. 方法總結：單個的數字或字母也是代數式，代數式中不能含有“=”“”或“”等.當堂小練1.化簡 得（ ）A. 4 B. 2 C. 4 D.-4C2. 當1x3時， 的值為（ ）A.3 B.-3 C.1 D.-1D3.下列式子是代數式的有 ( )a2+b2 ; ; 13; x=2; 3（4 5）;x10; 10 x+5y=15 ; A.3個 B.4個 C.5個 D.6個C當堂小練 4.化簡：

14、（1） ; （2） ; （3） ; （4） .37481-1012a5. 實數a在數軸上的位置如圖所示，化簡的結果是 .1當堂小練6.利用a （a0），把下列非負數分別寫成一個非負數的平方的形式： (1) 9 ； (2)5 ； (3) 2.5 ； (4) 0.25 ； (5) ； (6)0 .當堂小練2.式子 有意義的條件是 （ ） A.x2 B.x2 C.x2 D.x23.當x=_時，二次根式 取最小值，其最小值 為_1. 下列式子中，不屬于二次根式的是（ ）CA-10當堂小練4.當a是怎樣的實數時，下列各式在實數范圍內有 意義？當堂小練5.(1)若二次根式 有意義，求m的取值范圍解：由題意得m-20且m2-m-20，解得m2