1、幾何原本與九章算術(shù)的異同幾何原本和九章算術(shù)都是經(jīng)典的數(shù)學(xué)著作，一部是西 方的著作，一部是中國(guó)的古代著作，這兩部著作都對(duì)后來(lái)的數(shù)學(xué)發(fā) 展做出了很大的貢獻(xiàn)，并對(duì)人類文明產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。幾何原 本和九章算術(shù)本身是關(guān)于純數(shù)學(xué)的專著，但高度抽象化的數(shù) 學(xué)是必定是需要和其它的學(xué)科相結(jié)合的。下面，我就幾何原本和九章算術(shù)的異同做一些闡述， 首先，幾何原本和九章算術(shù)產(chǎn)生的背景不同：幾何原本產(chǎn)生的背景：歐幾里得的生平，現(xiàn)在知道的甚少，歐幾里得在公元前300年 左右，來(lái)到亞歷山大里亞教學(xué).人們稱贊歐幾里得治學(xué)精神嚴(yán)謹(jǐn)、 謙虛，是一個(gè)溫良敦厚的數(shù)學(xué)教育家.歐幾里得在從事數(shù)學(xué)教育 中，總是循循善誘地啟發(fā)學(xué)生，提倡刻苦鉆

2、研，弄懂弄通，反對(duì)投 機(jī)取巧、急功近利的狹隘思想.歐幾里得在從事數(shù)學(xué)教育中，善于 積累數(shù)學(xué)知識(shí)，并進(jìn)行了拓寬與創(chuàng)新.他的巨著幾何原本是一 生中最重要的工作，這部著作的形成具有無(wú)以倫比的歷史意義.他 精僻地總結(jié)了人類長(zhǎng)時(shí)期積累的數(shù)學(xué)成就，建立了數(shù)學(xué)的科學(xué)體系，為后世繼續(xù)學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)提供了課題和資料，使幾何學(xué)的發(fā) 展充滿了活的生機(jī).這部著作長(zhǎng)時(shí)期被人崇拜、信仰，從來(lái)沒(méi)有一 本教科書(shū)，像幾何原本那樣長(zhǎng)期廣為傳頌.從1482年到19世 紀(jì)末，歐幾里得幾何原本的印刷本竟用各種文字印刷1000版以 上，在此之前，它的手抄本統(tǒng)御幾何學(xué)也已達(dá)近1800年之久.歐幾里得繼承和發(fā)展了前人的數(shù)學(xué)知識(shí)，幾何原本所

3、用到的材料大部分是希臘前期各學(xué)派創(chuàng)建的成果.歐幾里得是柏拉 圖的門(mén)徒，他的著作基本沿續(xù)了柏拉圖的傳統(tǒng)思想，承襲了共和 國(guó)中所論及的科學(xué)方法.歐幾里得在幾何原本中，發(fā)展了柏 拉圖的以哲學(xué)為基礎(chǔ)，“數(shù)論、幾何、音樂(lè)、天文”4科為內(nèi)容的 科學(xué)思想.另外，歐幾里得還采用了歐多克索斯等學(xué)者的一些定理，并加 以完善.幾何原本所采用的公理、定理都是經(jīng)過(guò)細(xì)致斟酌、篩 選而成，并按嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)體系進(jìn)行編排，使之系統(tǒng)化、理論化，超 過(guò)了以前的所有著作，因此，當(dāng)幾何原本問(wèn)世之后，其它諸類 逐漸消聲匿跡了九章算術(shù)的背景:中國(guó)數(shù)學(xué)經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期積累，到西漢時(shí)期已有了相當(dāng)豐富的內(nèi)IE | = 容.除周髀算經(jīng)外，西漢初期出現(xiàn)了第一

4、部數(shù)學(xué)專著一算術(shù) 書(shū)，用竹簡(jiǎn)寫(xiě)成.全書(shū)共60多個(gè)標(biāo)題，如“相乘”、“增減”、“少?gòu)V”、“稅田”、“金價(jià)”、“合分”等，標(biāo)題下列有各種問(wèn) 題.九章算術(shù)的體例便受到算術(shù)書(shū)的影響.另外，當(dāng)時(shí)西漢已有初步的負(fù)數(shù)及比例概念，面積和體積計(jì)算的知識(shí)也增多了.這些都為我國(guó)初等數(shù)學(xué)體系的形成準(zhǔn)備了條件.現(xiàn)傳本九章算術(shù)約成書(shū)于西漢末年，作者不詳，可能經(jīng)多 人之手而成.它是一部承前啟后的著作，一方面總結(jié)了西漢及西漢 以前的數(shù)學(xué)成果，集當(dāng)時(shí)初等數(shù)學(xué)之大成；另一方面又對(duì)后世數(shù)學(xué) 發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.其次，幾何原本和九章算術(shù)的內(nèi)容的異同： 各卷簡(jiǎn)介：第一卷：幾何基礎(chǔ)。重點(diǎn)內(nèi)容有三角形全等的條件，三角形邊 和角的大小關(guān)系

5、，平行線理論，三角形和多角形等積（面積相等）的條件，第一卷最后兩個(gè)命題是畢達(dá) 哥拉斯定理的正逆定理；第二卷：幾何與代數(shù)。講如何把三角形變成等積的正方形；其 中12、13命題相當(dāng)于余弦定理。第三卷：討論了圓與角。第四卷：討論圓內(nèi)接和外切多邊形的做法和性質(zhì)；第五卷：討論比例理論，多數(shù)是繼承自歐多克斯的比例理論第六卷：講相似多邊形理論；第五、第七、第八、第九、第十卷：講述比例和算術(shù)的理論； 第十卷是篇幅最大的一卷，主要討論無(wú)理量（與給定的量不可通約 的量），其中第一命題是極限思想的雛形。第十一卷、十二、十三卷：最后講述立體幾何的內(nèi)容。從這些內(nèi)容可以看出，目前屬于中學(xué)課程里的初等幾何的 主要內(nèi)容已經(jīng)完

6、全包含在幾何原本里了。因此長(zhǎng)期以來(lái)，人們 都認(rèn)為幾何原本是兩千多年來(lái)傳播幾何知識(shí)的標(biāo)準(zhǔn)教科書(shū)。屬 于幾何原本內(nèi)容的幾何學(xué)，人們把它叫做歐幾里得幾何學(xué)，或 簡(jiǎn)稱為歐氏幾何。九章算術(shù)的九章的主要內(nèi)容分別是：第一章“方田”：田畝面積計(jì)算；第二章“栗米”：谷物糧食的按比例折換；第三章“衰分”：比例分配問(wèn)題；第四章“少?gòu)V”：已知面積、體積、求其一邊長(zhǎng)和徑長(zhǎng)等；第五章“商功”：土石工程、體積計(jì)算；第六章“均輸”：合理攤派賦稅；第七章“盈不足”：即雙設(shè)法問(wèn)題；第八章“方程”：一次方程組問(wèn)題；第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各種問(wèn)題.九章算術(shù)和幾何原本在思維方法上有很大的不同。九章算術(shù)是一部經(jīng)幾代人整理、刪

7、補(bǔ)和修訂而成的古代數(shù) 學(xué)經(jīng)典著作，約成書(shū)于東漢初年公元前一世紀(jì)）。全書(shū)采用問(wèn)題 集的形式編寫(xiě)，共收集了 246個(gè)問(wèn)題及其解法，分屬于方田、粟 米、衰分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。主要內(nèi) 容包括分?jǐn)?shù)四則和比例算法、各種面積和體積的計(jì)算、關(guān)于勾股測(cè) 量的計(jì)算等。九章算術(shù)很強(qiáng)調(diào)辯證思維，它注重應(yīng)用，注重理論聯(lián)系實(shí) 際，形成了以籌算為中心的數(shù)學(xué)體系，對(duì)中國(guó)古算影響深遠(yuǎn)。它的 一些成就還傳到印度和阿拉伯，并通過(guò)這些國(guó)家傳到歐洲，促進(jìn)了 世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。幾何原本是歐幾里德一生著有的多部數(shù)學(xué)著作其中最有價(jià) 值的一部。它系統(tǒng)的總結(jié)了古代勞動(dòng)人民在實(shí)踐中獲得的幾何知 識(shí)，把人們公認(rèn)的一些事實(shí)列成

8、定義和公理，以形式邏輯的方法， 用這些定義和公理來(lái)研究各種幾何圖形的性質(zhì)，從而建立了一套從 公理、定義出發(fā)，論證命題得到定理得幾何學(xué)論證方法，形成了一 個(gè)嚴(yán)密的邏輯體系幾何學(xué)。幾何原本的一些內(nèi)容五條公理等于同量的量彼此相等；等量加等量，其和相等；等量減等量，其差相等;彼此能重合的物體是全等的;整體大于部分。a五條公設(shè)過(guò)兩點(diǎn)能作且只能作一直線；線段（有限直線）可以無(wú)限地延長(zhǎng)；以任一點(diǎn)為圓心任意長(zhǎng)為半徑可作一圓；凡是直角都相等；在一平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn),可作且只可作一直線跟已知直線 平行。（最后一條公設(shè)就是著名的平行公設(shè)，或者叫做第五公設(shè)。它 引發(fā)了幾何史上最著名的長(zhǎng)達(dá)兩千多年的關(guān)于“平行線理論”

9、的討 論，并最終誕生了非歐幾何。）關(guān)于幾何論證的方法，歐幾里得提出了分析法、綜合法和歸謬 法。所謂分析法就是先假設(shè)所要求的已經(jīng)得到了，分析這時(shí)候成立 的條件，由此達(dá)到證明的步驟；綜合法是從以前證明過(guò)的事實(shí)開(kāi)始，逐步的導(dǎo)出要證明的事項(xiàng)；歸謬法是在保留命題的假設(shè)下，否 定結(jié)論，從結(jié)論的反面出發(fā)，由此導(dǎo)出和已證明過(guò)的事實(shí)相矛盾或 和已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證實(shí)原來(lái)命題的結(jié)論是正確的，也 稱作反證法。再次，數(shù)學(xué)史的演變發(fā)展與人類社會(huì)的文明發(fā)展史一樣悠久漫 長(zhǎng)，從遠(yuǎn)古時(shí)期的數(shù)學(xué)萌芽，到16世紀(jì)前的初等數(shù)學(xué)，再到歐洲文 藝復(fù)興之后的變量數(shù)學(xué)，直至19世紀(jì)以來(lái)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)，每一個(gè)重大 數(shù)學(xué)成就都有其產(chǎn)生的背

10、景和深遠(yuǎn)意義。幾何原本與九章算術(shù)還有其他不同的地方：1幾何原本與理性思維歐幾里得的幾何原本作為人類智慧的光輝結(jié)晶，它在數(shù)學(xué) 史上的作用是沒(méi)有任何一本著作可以與之比擬的。把幾何原本 放在古希臘文化的系統(tǒng)中，并從文化史的宏觀角度去進(jìn)行分析，可 以看到她有著更為廣泛和重要的意義。幾何原本依據(jù)柏拉圖哲 學(xué)、亞里士多德的邏輯學(xué)和歐幾里得的精心構(gòu)思，在人類數(shù)學(xué)史上 第一次給出了一個(gè)公理化了的數(shù)學(xué)理論體系，所表現(xiàn)出的已不僅是 一種數(shù)學(xué)命題的真理特征，更為重要的是它借助數(shù)學(xué)表現(xiàn)了一種認(rèn) 識(shí)世界、表述世界的獨(dú)特文化意義，并由此給人們提供一種思維的 理性方式：從幾個(gè)簡(jiǎn)單的原理出發(fā)，可以邏輯演繹出整個(gè)理論體 系，進(jìn)

11、而表現(xiàn)這個(gè)理論所揭示的真理。一種數(shù)學(xué)方法能最終演化成 為一種認(rèn)識(shí)世界的理性思維方式，這不能不說(shuō)是數(shù)學(xué)所能達(dá)到的最 高的文化意義。2九章算術(shù)與實(shí)用算法漢代出現(xiàn)的九章算術(shù)，標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成。 全書(shū)采用問(wèn)題集形式，以方田、粟米、衰分、少?gòu)V、商功、均輸、 盈不足、方程、勾股共九類實(shí)踐應(yīng)用題分成九章，計(jì)246個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn) 題，共給出202個(gè)具體的計(jì)算方法（術(shù)），每題大致由問(wèn)（問(wèn) 題）、答（答案）、術(shù)（解題方法或過(guò)程）組成。九章算術(shù)在中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上擁有至高無(wú)上之地位，在世 界數(shù)學(xué)史上也是屈指可數(shù)，與希臘之幾何原本交相輝映，同為 世界數(shù)學(xué)發(fā)展之源我國(guó)的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)有它自己的體系和方式，有著它 自身發(fā)展

12、途徑和獨(dú)到思想體系，不能以西方數(shù)學(xué)的模式生搬硬套。 幾何原本和九章算術(shù)的思想方法的異同：幾何原本的思想方法的特點(diǎn)：（一）封閉的演繹體系因?yàn)樵趲缀卧局?，除了推?dǎo)時(shí)所需要的邏輯規(guī)則外， 每個(gè)定理的證明所采用的論據(jù)均是公設(shè)、公里或前面已經(jīng)證明過(guò)的 定理，并且引入的概念也基本上是符合邏輯上對(duì)概念下定義的要 求，原則上不再依賴其它東西，因此幾何原本是一個(gè)封閉的演 繹體系。（二）抽象化的內(nèi)容幾何原本中研究的對(duì)象都是抽象的概念和命題，它所探討 的是這些概念和命題之間的邏輯關(guān)系，不討論這些概念和命題與社 會(huì)生活之間的關(guān)系，也不考察這些數(shù)學(xué)模型所由之產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)原 型，因此幾何原本的內(nèi)容是抽象的。（三）公理化的

13、方法幾何原本的第一篇中開(kāi)頭5個(gè)公設(shè)和5個(gè)公里，是全書(shū)其 它命題證明的基本前提，接著給出23個(gè)定義，然后再逐步引入和 證明定理。定理的引入是有序的，在一個(gè)定理的證明中，允許采用 的論據(jù)只有公設(shè)和公理與前面已經(jīng)證明過(guò)的定理。以后各篇除了不 再給出公設(shè)和公理外也都照此辦理。這種處理知識(shí)體系與表述方法 就是公理化方法九章算術(shù)思想方法的特點(diǎn):（1）開(kāi)放的歸納體系從九章算術(shù)的內(nèi)容可以看出，它是以應(yīng)用問(wèn)題解法集成的 體例編纂而成的書(shū)，因此它是一個(gè)與社會(huì)實(shí)踐緊密聯(lián)系的開(kāi)放體 系。在九章算術(shù)中通常是先舉出一些問(wèn)題，從中歸納出某一類 問(wèn)題的一般解法；再把各類算法綜合起來(lái)，得到解決該領(lǐng)域中各種 問(wèn)題的方法；最后，把解決各領(lǐng)域中問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法全部綜合起 來(lái)，就得到整個(gè)九章算術(shù)。另外該書(shū)還按解決問(wèn)題的不同數(shù)學(xué)方法進(jìn)行歸納，從這些方法 中提煉出數(shù)學(xué)模型，最后再以數(shù)學(xué)模型立章寫(xiě)入九章算術(shù)。因此，九章算術(shù)是一個(gè)開(kāi)