1、第1課時數(shù)列的概念及通項公式第四章4.1數(shù)列的概念1.理解數(shù)列的有關(guān)概念與數(shù)列的表示方法.2.掌握數(shù)列的分類，了解數(shù)列的單調(diào)性.3.理解數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任一項.4.能根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式.5.了解數(shù)列是一種特殊函數(shù).學習目標同學們，生活中我們經(jīng)常有這樣的經(jīng)歷，比如，你在某地攤上相中了一件商品，你問老板：怎么賣的？老板說：100元一個，你說：20賣不賣？只見老板氣的臉都綠了，但也忍著說：不賣，最低90；你說：老板，你看我一個學生，也沒多少錢，30吧；老板說：賠錢反正不能賣，你如果想要，最低80，不能再少了；你說：薄利多銷啊老板，40怎么樣，不賣走了；同學

2、們，在你們的討價還價中，按照你們所說的數(shù)字的先后順序產(chǎn)生了一組非常有意思的數(shù)：100,20,90,30,80,40這就是我們今天要研究的數(shù)列.導語隨堂演練課時對點練一、數(shù)列的概念與分類二、數(shù)列的通項公式三、數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系內(nèi)容索引一、數(shù)列的概念與分類問題1觀察以下幾列數(shù)：古埃及“阿默斯”畫了一個階梯，上面的數(shù)字依次為：7,49,343,2 401,16 807；從學號1開始，記下本班的每一個同學參加高考的時間：2 023，2 023，2 023；小明為了記住剛設(shè)置的手機密碼，只聽他不停地說：7,0,2,5,7,0,2,5，；你能找到上述例子中的共同點和不同點嗎？提示共同點：都是按照確定的順序進

3、行排列的.不同點：從項數(shù)上來看：項數(shù)有限，項數(shù)無限；從項的變化上來看：每一項在依次變大，每一項在依次變小，項沒有發(fā)生變化，項呈現(xiàn)周期性的變化，項的大小交替變化.知識梳理1.一般地，我們把按照排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的.數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第項，常用符號a1表示，第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第項，用a2表示，第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項，用表示.其中第1項也叫做.2. 數(shù)列的一般形式是a1，a2，a3，an，簡記為.確定的順序項12an首項an3.分類標準名稱含義按項的個數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)的數(shù)列無窮數(shù)列項數(shù)的數(shù)列按項的變化趨勢遞增數(shù)列從第2項起，每

4、一項都它的前一項的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項起，每一項都它的前一項的數(shù)列常數(shù)列各項都的數(shù)列周期數(shù)列項呈現(xiàn)周期性變化擺動數(shù)列從第2項起，有些項它的前一項，有些項它的前一項有限無限大于小于相等大于小于注意點：(1)如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同，但順序不同，它們是不同的數(shù)列；(2)同一個數(shù)可以在數(shù)列中重復出現(xiàn)；(3)an表示一個數(shù)列，an表示數(shù)列中的第n項.例1下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是無窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？哪些是擺動數(shù)列？(1)1,0.84,0.842,0.843，；(2)2,4,6,8,10，；(3)7,7,7,7，；(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；(

5、6)0，1,2，3,4，5，.解(5)是有窮數(shù)列；(1)(2)(3)(4)(6)是無窮數(shù)列；(2)是遞增數(shù)列；(1)(4)(5)是遞減數(shù)列；(3)是常數(shù)列；(6)是擺動數(shù)列.反思感悟(1)判斷數(shù)列是何種數(shù)列一定嚴格按照定義進行判斷.(2)判斷數(shù)列的單調(diào)性時一定要確保每一項均大于(或均小于)后一項，不能有例外.跟蹤訓練1下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是無窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是常數(shù)列？哪些是周期數(shù)列？(1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021；解(1)(6)是有窮數(shù)列；(2)(3)(4)(5)是無窮數(shù)列；(1)(2)是遞增數(shù)列；(3)是遞減數(shù)列；(6)是

6、常數(shù)列；(5)是周期數(shù)列.二、數(shù)列的通項公式問題2我們發(fā)現(xiàn)問題1中的，項與項數(shù)之間存在某種聯(lián)系，你能發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系嗎？提示對于，a17，a27772，a377773，于是an7n，n1，2，3，4，5；對于，an2 023，nx|x是本班學生的學號；知識梳理如果數(shù)列an的第n項an與它的之間的對應關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的.注意點：(1)并不是所有的數(shù)列都有通項公式；(2)有些數(shù)列的通項公式，表達形式不唯一.序號n通項公式例2寫出下列數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：解這個數(shù)列的前4項的絕對值都是序號的倒數(shù)，并且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，解數(shù)列中的項，有的

7、是分數(shù)，有的是整數(shù)，解這個數(shù)列中的項是0與1交替出現(xiàn)，奇數(shù)項都是0，偶數(shù)項都是1，(3)0,1,0,1；解各項加1后，變?yōu)?0,100,1 000,10 000，此數(shù)列的通項公式為10n，可得原數(shù)列的一個通項公式為an10n1，nN*.(4)9,99,999,9 999.解由本例的第(4)題可知，每一項除以9即可，延伸探究1.試寫出前4項為1,11,111,1111，的一個通項公式.解由上式中的每一項乘7即可，2.試寫出前4項為7,77,777,7777，的一個通項公式.反思感悟根據(jù)數(shù)列的前幾項求通項公式的解題思路(1)先統(tǒng)一項的結(jié)構(gòu)，如都化成分數(shù)、根式等.(2)分析結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部

8、分，探索變化部分的規(guī)律與對應序號間的函數(shù)解析式.(3)對于正負交替出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對值，再用(1)n或(1)n1處理符號.(4)對于周期數(shù)列，可考慮拆成幾個簡單數(shù)列之和的形式，或者利用周期函數(shù)，如三角函數(shù)等.跟蹤訓練2寫出下列各數(shù)列的一個通項公式，它們的前幾項分別是：(1)1,3,7,15,31，；解由121,3221,7231,15241，31251，可得an2n1.解由23(11)(12)，34(21)(22)，45(31)(32)，56(41)(42)，可得an(n1)(n2).(4)23,34,45,56，.三、數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系問題3在數(shù)列的通項公式中，給定任意的序號n，就會有

9、唯一確定的an與其對應，這種情形與以往學的哪方面的知識有聯(lián)系？提示函數(shù).知識梳理通項公式就是數(shù)列的函數(shù)解析式，以前我們學過的函數(shù)的自變量通常是連續(xù)變化的，而數(shù)列是自變量為離散的數(shù)的函數(shù).注意點：(1)數(shù)列的通項公式實際上是一個以正整數(shù)集N*(或它的有限子集)為定義域的函數(shù)表達式.(2)數(shù)列還可以用列表法、圖象法表示.例3已知數(shù)列an的通項公式是an ，nN*.試問該數(shù)列有沒有最大項？若有，求出最大項和最大項的序號；若沒有，請說明理由.當n0，即an1an；當n9時，an1an0，即an1an；當n9時，an1an0，即an1an.則a1a2a3a11a12，解得9n10.又nN*，則n9或n1

10、0.故數(shù)列an有最大項，為第9項和第10項，反思感悟求數(shù)列最值的方法(1)函數(shù)的單調(diào)性法：令anf(n)，通過研究f(n)的單調(diào)性來研究最大(小)項.(2)不等式組法：先假設(shè)有最大(小)項.不妨設(shè)an最大，則滿足(n2)，解不等式組便可得到n的取值范圍，從而確定n的值；求最小項用不等式組 (n2)求得n的取值范圍，從而確定n的值.跟蹤訓練3已知數(shù)列ann26n5，則該數(shù)列中最小項的序號是A.3 B.4 C.5 D.6解析因為an(n26n9)4(n3)24，所以當n3時，an取得最小值.1.知識清單：(1)數(shù)列的概念與分類.(2)數(shù)列的通項公式.(3)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.2.方法歸納：觀察法、歸

11、納法、猜想法.3.常見誤區(qū)：歸納法求數(shù)列的通項公式時歸納不全面；不注意用(1)n進行調(diào)節(jié)，不注意分子、分母間的聯(lián)系.課堂小結(jié)隨堂演練12341.下列說法正確的是A.數(shù)列中不能重復出現(xiàn)同一個數(shù)B.1,2,3,4與4,3,2,1是同一數(shù)列C.1,1,1,1不是數(shù)列D.若兩個數(shù)列的每一項均相同，則這兩個數(shù)列相同解析由數(shù)列的定義可知，數(shù)列中可以重復出現(xiàn)同一個數(shù)，如1,1,1,1，故A，C不正確；B中兩數(shù)列首項不相同，因此不是同一數(shù)列，故B不正確；由數(shù)列的定義可知，D正確.123412343.在數(shù)列an中，an ，則anA.是常數(shù)列 B.不是單調(diào)數(shù)列C.是遞增數(shù)列 D.是遞減數(shù)列由反比例函數(shù)的性質(zhì)得an

12、是遞減數(shù)列.12344.數(shù)列3,5,9,17,33，的一個通項公式是_.an2n1，nN*課時對點練基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.(多選)下列說法正確的是A.數(shù)列可以用圖象來表示B.數(shù)列的通項公式不唯一C.數(shù)列中的項不能相等D.數(shù)列可以用一群孤立的點表示解析數(shù)列中的項可以相等，如常數(shù)列，故選項C中說法不正確.2.已知數(shù)列an ，則數(shù)列是A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列C.擺動數(shù)列 D.常數(shù)列12345678910111213141516故該數(shù)列是擺動數(shù)列.123456789101112131415163.數(shù)列1,3，7,15，的一個通項公式可以是A.an(1)n(2n1)

13、，nN*B.an(1)n(2n1)，nN*C.an(1)n1(2n1)，nN*D.an(1)n1(2n1)，nN*解析數(shù)列各項正、負交替，故可用(1)n來調(diào)節(jié)，又1211,3221,7231,15241，所以通項公式為an(1)n(2n1)，nN*.123456789101112131415161234567891011121314155.數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.333 3，的通項公式為1612345678910111213141516123456789101112131415166.(多選)下面四個數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是解析選項C，D既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列.12

14、3456789101112131415167.已知數(shù)列an的通項公式為an2 0213n，則使an0成立的正整數(shù)n的最大值為_.又因為nN*，所以正整數(shù)n的最大值為673.673123456789101112131415168.數(shù)列an的通項公式是ann27n50，則數(shù)列中的最小項的值是_.38因為nN*，所以當n3或n4時，an最小，此時a3a438，則數(shù)列中的最小項的值是38.123456789101112131415169.寫出下列各數(shù)列的一個通項公式：(1)4,6,8,10，；解各項是從4開始的偶數(shù)，所以an2n2，nN*.解每一項分子比分母少1，而分母可寫成21,22,23,24,2

15、5，分子分別比分母少1，12345678910111213141516解通過觀察，數(shù)列中的數(shù)正、負交替出現(xiàn)，且先負后正，則選擇(1)n.則每一項的分母依次為3,5,7,9，可寫成(2n1)的形式.分子為313,824,1535,2446，可寫成n(n2)的形式.1234567891011121314151610.在數(shù)列an中，a12，a1766，通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù).(1)求數(shù)列an的通項公式；解設(shè)anknb(k0)，an4n2，nN*.12345678910111213141516(2)求a2 021.解a2 02142 02128 082.123456789101112131415綜

16、合運用16123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516解析結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，要使數(shù)列an遞增，12345678910111213141516解得2a3.1234567891011121314151614.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖(1)，(2)，(3)，(4)為最簡單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個圖形包含f(n)個小正方形，則f(6)_.6112345678910111213141516解析f(1)12101，f(2)1312211，f(3)135312321，f(4故f(n)2n(n1)1.當n6時，f(6)265161.拓廣探究1234567891011121314151615