1、第一節(jié) 傅里葉級數(shù)有關傅里葉級數(shù)的基本內(nèi)容(一) 周期函數(shù)的傅里葉展開函數(shù)f(x)以2l為周期,即有:則可取三角函數(shù)族作為基本函數(shù)族展開1函數(shù)族正交即任意兩個函數(shù)的成績在一個周期積分為零利用三角函數(shù)的正交性,可得展開系數(shù)為:2其中叫做周期函數(shù)f(x)的傅里葉級數(shù)展開式,展開系數(shù)稱為傅里葉系數(shù)狄里希利定理:若函數(shù)f(x)滿足:(1)處處連續(xù)或者在每個周期中只有有限個第一類間斷點;(2)在每個周期中只有有限個極值點,則級數(shù)收斂,且3(二) 奇函數(shù)及偶函數(shù)的傅里葉展開若周期函數(shù)f(x)是奇函數(shù),則由傅里葉系數(shù)的計算公式可得a0及ak都等于零,則展開式變?yōu)?這里稱為傅里葉正弦級數(shù),由于對稱性,展開系數(shù)

2、為:又級數(shù)和在x=0和x=l處都為零.若周期函數(shù)f(x)是偶函數(shù),則由傅里葉系數(shù)bk=0,展開式為:這里稱為傅里葉余弦級數(shù),由于對稱性,展開系數(shù)為:4余弦的導數(shù)為正弦,余弦級數(shù)的和的導數(shù)在x=0和x=l為零.(三) 定義在有限區(qū)間上的函數(shù)的傅里葉展開對于在有限區(qū)間,如(0,l)有定義的函數(shù)f(x),可以采用延拓的方法,讓它稱為某個周期函數(shù)g(x),且在(0,l)上然后再對g(x)作傅里葉級數(shù)展開,其級數(shù)和在區(qū)間(0,l)上代表f(x).又f(x)在(0,l)外無定義,可以有無數(shù)種延拓方式,便有無數(shù)種展開但這些展開在區(qū)間(0,l)上代表f(x),若對函數(shù)f(x)在邊界的行為有限制,滿足一定的邊界

3、條件,就決定了如何延拓,例:應延拓成奇的周期函數(shù).應延拓成偶的周期函數(shù).5(四) 復數(shù)形式的傅里葉級數(shù)取復指數(shù)函數(shù)作為基本函數(shù)族,可以將周期函數(shù)f(x)展開成復數(shù)形式的傅里葉級數(shù)且利用復指數(shù)函數(shù)的正交性,可求出傅里葉系數(shù)為:這里雖然f(x)是實函數(shù),但傅里葉系數(shù)有可能是復數(shù),并且可得6第二節(jié) 傅里葉積分與傅里葉變換(一) 實數(shù)形式的傅里葉變換設f(x)為定義在區(qū)間上的函數(shù),非周期函數(shù)不能展開成傅里葉級數(shù),為了能讓這類函數(shù)可以展開,采用如下辦法:將非周期函數(shù)f(x)看成某個周期函數(shù)f(x)當周期的極限形式,這樣g(x)的傅里葉級數(shù)展開在的極限形式就是要找的非周期函數(shù)f(x)的傅里葉展開.引入不連

4、續(xù)參量7其傅里葉系數(shù)為:代入展開式:然后取極限 即可.對于系數(shù)a0,如果有限,則有余弦部分為:8又離散參量成為連續(xù)參量記為對k的求和就變成對連續(xù)參量的積分,即:同理,正弦部分的極限是:則在極限形式為:其中分別為:9稱為傅里葉積分為非周期函數(shù)f(x)的傅里葉積分表達式.f(x)的傅里葉變換式傅里葉積分定理:函數(shù)在f(x)區(qū)間滿足(1) 在任一有限區(qū)間滿足狄利希利條件,(2)f(x)在 絕對可積,收斂則f(x)可表示成傅里葉積分,且積分值=f(x+0)+f(x-0)/2振幅譜相位譜10奇函數(shù)f(x)的傅里葉積分是傅里葉正弦積分其中是f(x)的傅里葉正弦變換偶函數(shù)f(x)的傅里葉積分是傅里葉余弦積分

5、其中是f(x)的傅里葉余弦變換奇函數(shù)偶函數(shù)傅里葉正弦變換傅里葉余弦變換11寫成對稱的形式如下:傅里葉正弦變換對傅里葉余弦變換對12例1tTOTf(x)h矩形函數(shù)rectx如下:將矩形脈沖展為傅里葉積分解f(x)為偶函數(shù),可展開成傅里葉余弦積分:其傅里葉變換13圖像如圖:具有連續(xù)的譜,如果有脈沖電波,則還有一切頻率,在無線電波收音機中,不管再優(yōu)良的器件,不管在那個頻段,總有噪音!例2由2N個(N是正整數(shù))正弦波組成的有限正弦波陣將它展開成傅里葉積分14函數(shù)圖像如圖所示:f(t)是奇函數(shù),故可展開成傅里葉正弦積分其傅里葉變化為:15頻譜如圖:在為一高峰在兩側(cè)相差為降為零,其所包含的圓頻率集中在左右

6、范圍內(nèi)高度為16(二) 復數(shù)形式的傅里葉積分歐拉公式:代入整理得:右邊第二個積分中換成可合并成其中17代入上式可得當總之有傅里葉變換18寫成對稱形式如下：()-1 其中分別稱為傅里葉變換的原函數(shù)和像函數(shù)例3求矩形脈沖復數(shù)形式的傅里葉變換解19 象函數(shù)，()-1象原函數(shù)，傅里葉變換20(三) 傅里葉變換的基本性質(zhì)（1）導數(shù)定理證明：f(t) 連續(xù)21（2）積分定理證明：記則有對應用導數(shù)定理有即原函數(shù)的求導和積分運算，傅里葉變換后變成了像函數(shù)的代數(shù)運算！22（3）相似性定理證明：作代換yax，則即23（4）延遲性定理證明：作代換y=x-x0，則24（5）位移性定理證明：25（5）卷積性定理()()且的傅氏變換一定存在則,xfxf21*其中，為的卷積證明：交換積分次序可得作代換則26(四) 多重傅里葉積分二維或者三維無界空間的非周期函數(shù)也可以展開為傅里葉積分這里積分是多重的先按自變數(shù)x將三維空間的非周期函數(shù)f(x,y,z)展開為傅里葉積分，其傅里葉變換為F1（k1,y,x）y,z作為參數(shù)27然后再將F1(k1,y,z)按自變數(shù)y展開為傅里葉積分，傅里葉變換F2(k1,k2;