1、一、選擇題1.我國(guó)數(shù)學(xué)史上有一部堪與歐幾里得幾何本來(lái)媲美的書(shū)，這就是向來(lái)被尊為算經(jīng)之首的九章算術(shù)，此中卷第五商功有一道關(guān)于圓柱體的體積試題：今有圓堡，周四丈八尺，高一丈一尺，問(wèn)積幾何？其意思是：含有圓柱形的土筑小城堡，底面周長(zhǎng)是4丈8尺，高1丈1尺，問(wèn)它的體積是多少？若取3，估量小城堡的體積為（）A1998立方尺B2012立方尺C2112立方尺D2324立方尺【答案】C【分析】設(shè)圓柱體的底面半徑為R，則由題意，得23R48，得R8，所以小城堡的體積VS底h382112112（立方尺），應(yīng)選C2.2018年全國(guó)大聯(lián)考3(課標(biāo)卷)】以以下圖，網(wǎng)格紙上每個(gè)小格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，粗線畫(huà)出的是一個(gè)幾

2、何體的三視圖，記該幾何體的各棱長(zhǎng)度構(gòu)成的會(huì)集為A，則（）A3AB3AC22AD23A【答案】C【分析】由三視圖知該幾何體的直觀圖為圖中所示的三棱錐A-BCD，AB=AC=BC=22，AD=DC=5，BD=1，應(yīng)選CABDC3.2018全國(guó)大聯(lián)考4(山東卷)】某三棱錐的三視圖以以下圖,則該三棱錐的外接球的體積是（）A4B8C55D5336【答案】C.4.【2018全國(guó)大聯(lián)考2(山東卷)】如圖為某幾何體的三視圖，則其體積為（）A.2B.2444C.3334D.3【答案】D【分析】由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)半圓柱（所在圓柱OO1）與四棱錐的組合體，其中四棱錐的底面ABCD為圓柱的軸截面，極點(diǎn)P在半

3、圓柱所在圓柱的底面圓上（如圖所示），且P在AB上的射影為底面的圓心O.由三視圖數(shù)據(jù)可得，半圓柱所在圓柱的底面半徑r1，高h(yuǎn)2，故其體積V11r2h1122；22四棱錐的底面ABCD為邊長(zhǎng)為2的正方形，PO底面ABCD，且POr1.故其體積V21S正方形ABCDPO12214.3343故該幾何體的體積VVV.1235.【2018押題卷1（課標(biāo)1卷）】某幾何體的三視圖以以下圖，則該幾何體的體積為（）A1616B1632C8163233D833【答案】Dasinx12cos2xdx6.【2018全國(guó)大聯(lián)考3（課標(biāo)I卷）】已知02，如圖，若三棱錐PABC的最長(zhǎng)的棱PAa，且PBBA，PCAC，則此三棱

4、錐的外接球的體積為（）A.164D.B.C.333【答案】B【分析】asinx12cos2xdxsinxcosxdx(cosxsinx)2，因?yàn)?200PBBA，PCAC，則三棱錐的外接球的直徑為PAa2，因其余接球的體積是413=4.334（課標(biāo)卷）】在三棱錐ABCD中，ABC與BCD都是邊長(zhǎng)為7.【2018全國(guó)大聯(lián)考的正三角形，平面ABC平面BCD，則該三棱錐的外接球的體積為（）A.515B.C.601560D.2015【答案】D8.【2018押題卷1（課標(biāo)1卷）】四棱錐PABCD的底面ABCD為正方形，PA底面ABCD，AB2，若該四棱錐的全部極點(diǎn)都在體積為243同一球面上，則PA（）1

5、6A3B7C23D922【答案】B【分析】連接AC,BD交于點(diǎn)E，取PC的中點(diǎn)O，連接OE，則OEPPA，所以O(shè)E底面ABCD，則O到四棱錐的全部極點(diǎn)的距離相等，即O球心，均為11PA2AC21PA24128)3243PC228，所以由球的體積可得(PA，23216解得PA7，應(yīng)選B29.【2018全國(guó)大聯(lián)考1（課標(biāo)I卷）】直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是正三角形，三棱柱的高為3，若P是A1B1C1中心，且三棱柱的體積為9，則PA與平面ABC所成的角大4小是（）A.B.C.23D.643【答案】C【分析】由題意可設(shè)底面三角形的邊長(zhǎng)為a，過(guò)點(diǎn)P作平面ABC的垂線，垂足為O，則點(diǎn)O為底面ABC

6、的中心，故PAO即為PA與平面ABC所成的角，因?yàn)镺A23aA13a，而323OP3，又因?yàn)槿庵捏w積為9，由棱柱體積公式得4329，解得a3，所以AV3a434tanPAOPO33，得，故PA與平面ABC所成的角大小是AO3a31PB1COB，故正確3答案為C.10.【2018押題卷1（課標(biāo)2卷）】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是線段AC11的中點(diǎn)，若四周體M-ABD的外接球體積為36p，則正方體棱長(zhǎng)為（）A2B3C4D5【答案】C【分析】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，因?yàn)镈ABD是等腰直角三角形，且MA=MB=MD，設(shè)O是BD中點(diǎn)，連接OM，則OM面ABD，所以球心O必在OM上，可求得外接

7、球半徑為3，可得32=(a-3)2+(2a)2，解得a=4，故正方體棱長(zhǎng)為4211【.2018押題卷3（課標(biāo)1卷）】已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH:HB1:2，AB平面，H為垂足，截球O所得截面的面積為，則球O的體積為（）A.9B.392434C.D.8【答案】C【分析】如圖，易知點(diǎn)H為截面圓的圓心，取截面圓上一點(diǎn)M，連接HM，OM.設(shè)球O的半徑為R，則由AH:HB1:2，得AH2R，3所以O(shè)H1R.3因?yàn)榻孛婷娣e為HM2，所以HM1.在RtHMO中，OM2OH2HM2，所以R21R2HM21R21，99所以R32.4所以V球4(32)392.348二、填空題12.【2018全國(guó)大聯(lián)考3（

8、課標(biāo)卷）】在正四棱錐VABCD內(nèi)有一半球，其底面與正四棱錐的底面重合，且與正四棱錐的四個(gè)側(cè)面相切，若半球的半徑為2，則當(dāng)正四棱錐的體積最小時(shí)，其高等于_【答案】23【分析】以以下圖，設(shè)極點(diǎn)V在底面ABCD的射影為點(diǎn)O，并設(shè)正四棱錐的高VO的長(zhǎng)為x，底面正方形的邊長(zhǎng)為2a，過(guò)點(diǎn)O作平行于AB的直線交BC于點(diǎn)F，作OMVF于點(diǎn)M，則OM=2，VFx2a2.在RtVOF中，有ax2x2a2，得a24x2.所以正四x24棱錐VABCD的體積為V(x)1216x3（x2），16x2(x212).4ax24V(x)3(x24)233x令V(x)0，得x23，當(dāng)x(2,23)時(shí)，V(x)0；當(dāng)x(23,)時(shí)

9、，V(x)0，故當(dāng)x23時(shí)，正四棱錐的體積最小VDxC2MFOAB2a三、解答題13【.2018押題卷2（課標(biāo)I卷）】在三棱錐PACD中，ADCD，ADCD=2，PAD為正三角形，點(diǎn)F是棱PD的中點(diǎn)，且平面PAD平面ACD（）求證：（）求二面角AF平面PCD；PACF的平面角的余弦值.【分析】（）因ADPA,F是PD的中點(diǎn)，所以AFPD，又因平面PAD平面ACD，ADCD，所以CD平面PAD，因AF平面PAD，所以CDAF.因PDCDD，所以AF平面PCD.平面CAF的法向量6分uuurACm2x22y20m(x,y,z)，uuur3x23z2，取x=1，2222AFm220y21，z23，m

10、=（1,1,3），10分所以cosm,nm?n111=3105，所以二面角PACF的平面角的余|m|n|75353弦值為3105.12分3514.【2018押題卷2（課標(biāo)卷）】在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且ABAA1，A1ABA1AD60.（1）求證：平面A1BD平面A1AC；（2）若BD2A1D2，求平面A1BD與平面B1BD所成角的大小.（2）由A1BA1D及BD2A1D2知A1BA1D，又由A1DAD,A1BAB,BDBD,得A1BDABD，故BAD90，于是AOA1O1BD2AA1，22從而AOA1O，結(jié)合A1OBD，得A1O底面ABCD，如圖，建立空間直角

11、坐標(biāo)系，則A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C(-1,0,0),uuurBB1AA1(1,0,1),DB=(0,2,0),設(shè)平面B1BD的一個(gè)法向量為n(x,y,z)，nBD0y0，令x1，得n(1,0,1)，由得nBB10 xz0平面A1BD的一個(gè)法向量為CA(2,0,0)，設(shè)平面A1BD與平面B1BD所成角為，則cosnCA245.（12|n|CA|，故2分）15.【2018押題卷2（山東卷）】棱錐PABCD的三視圖以以下圖，（I）求證：平面PBD平面PAC（II）在線段PD上能否存在一點(diǎn)Q，使CQ與平面PBD所成的角的正弦值為26，若存9在，指出點(diǎn)

12、Q的地址，若不存在，說(shuō)明原由.【分析】（）由三視圖可知在RtBAD中，AD=2，BD=22，AB=2，ABCD為正方形，所以BDAC.2分PA平面ABCD，BD平面ABCD，BDPA.又PAAC=A,BD平面PAC.BD平面PBD,平面PBD平面PAC6分16.【2018押題卷1（山東卷）】在以以下圖的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，直線AF平面ABCD，EF/AB，AD2,ABAF2EF1，點(diǎn)P在棱DF上.（1）求證：ADBF；（2）若P是DF的中點(diǎn)，求異面直線BE與CP所成角的余弦值；（3）若FP1FD，求二面角DAPC的余弦值.3【分析】（1）證明：因?yàn)锳F平面ABCD，所以AFAB，又

13、ADAB,所以AD平面ABEF，又BF平面ABEF，故ADBF.3分（2）因?yàn)锽AF90，所以AFAB，又由（1）得ADAF，ADAB，所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AF所在直線分別為x,y,z軸，建立以以下圖空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，B(1,0,0)，E(1,0,1)，P(0,1,1)，C(1,2,0).4分22所以BE(1,0,1)，CP(1,1,1)，所以cosBE,CPBECP45，22|BE|CP|15所以異面直BE與CP所成角的余弦45.8分151（3）因AB平面ADF，所以平面ADF的一個(gè)法向量n1(1,0,0).由FPFD知P3FD的三均分點(diǎn)且此22)22P(0,.在平面APC

14、中，AP(0,)，AC(1,2,0).3333所以平面APC的一個(gè)法向量n(2,1,1).10分2所以|cosn1,n2|n1n2|6，又因二面角DAPC的大小角，所以二|n1|n2|3面角的余弦6分12.317.【2018全國(guó)大考1（卷）】已知四棱PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，BAD1200，角AC與BD交于點(diǎn)O，MOC中點(diǎn)（）求：BDPM；（）若二面角OPMD的正切26，求PA的AD【分析】（）因?yàn)镻A平面ABCD，所以PABD又ABCD為菱形，所以ACBD,又因?yàn)镻AIACA，所以BD平面PAC，又因?yàn)镻M面PAC，所以BDPM5分（）如圖,以A為原點(diǎn),AD,AP所

15、在直線為y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PAa，AD1，則P(0,0,a)，D(0,1,0)333,0)31，,M(,O(,0)8844uuuruuuur(33,3,uuur3,3,0)從而PD(0,1,a)，PMa)，OD(8844因?yàn)锽D平面PAC,所以平面PMO的一個(gè)法向量為uuur(3,3,0)OD44ruuurruuuurryaz0設(shè)平面PMD的法向量為n(x,y,z),由PDn,PMn得33x3yaz088取x5a,ya,zr(5a,a,1)1，即n310分333uuurr，則二面角OPMD大小與tan26設(shè)OD與n的夾角為相等從而，得15a3a13PA3cos，cos124，解得

16、a12分53525，故AD4a21422718.【2018全國(guó)大聯(lián)考1（山東卷）】如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面相互垂直，BECF且BECF，BCF=，AD=3，EF=2.2（1）求證：AE平面DCF；（2）若BE31，且AB，當(dāng)取何值時(shí)，直線AE與BF所成角的大小為600？BE【分析】（1）過(guò)E作EGBC交FC于G，連接DG，因?yàn)锽ECF，所以四邊形BCGE是平行四邊形，因此EGBCAD，-2分EG=BC=AD，所以四邊形ADGE也是平行四邊形，于是AEDG.又AE平面DCF，DG平面DCF，故AE平面DCF-5分FzGFGECECDyBDxBAA2）過(guò)E作GECF交CF于G，由已

17、知EGBCAD，且EG=BC=AD，所以EG=AD3，又EF=2，所以GF=1因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以DCBC因?yàn)锽CF=，所以FCBC，又平面AC平面BF，平面AC平面BF=BC，于是FC2平面AC，所以FCCD.分別以CB、CD、CF為軸建立空間直角坐標(biāo)系-7分由AB，得AB=(31).BE所以A（3，(31)，0），B(3,0,0)，E(3，0，3)，F(xiàn)(0，0，3)，1AE(13)31)uuur3,0,3).所以=(0，BF(-9分uuuruuurAEBF依題意有cos60uuuuruuur，|AE|BF|即331，解得1.6(31)212-11分故當(dāng)1時(shí)，直線AE與BF所成角的

18、大小為600.-12分19.【2018全國(guó)大聯(lián)考2（課標(biāo)I卷）】如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1（側(cè)棱垂直于底面的棱柱為直棱柱）中，BCCC11,AC2，ABC=90（1）求證：平面ABC1平面A1B1C；（2）設(shè)D為AC的中點(diǎn)，求平面ABC1與平面C1D所成銳角的余弦值【分析】（1）ABC=90，ABBC又由條件知BB1平面ABC，AB平面ABC，BB1AB2分又BBIBC1B，AB平面BBCC，11ABBC1由BCCC11，知四邊形BBCC為正方形，11BC1BC14分又ABIBC1=B，則B1C平面ABC1又B1C平面A1B1C，平面ABC1平面A1B1C6分20.【2018全國(guó)大聯(lián)考2（山東卷）】如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且PA平面ABCD，PAABAD2，BAD60o.（）證明：平面PBD平面PAC；（）求平面APD與平面PBC所成二面角（銳角）的余弦值.PDCAB（）AC與BD的交點(diǎn)O，取PC的中點(diǎn)Q，OQ.APC中