1、第二節(jié)二重積分的計算法一、利用直角坐標系計算二重積分1 ( x) y 2 ( x).如果積分區(qū)域為： a x b,X型其中函數1 ( x) 、2 ( x) 在區(qū)間 a,b上連續(xù).y 2( x)Dy 1( x)aby 2( x)Dy 1( x)ab f ( x, y)d 的值等于以 D 為底，以曲面 z Df ( x, y) 為曲頂柱體的體積z應用計算“平行截面面積為已知的立z f (x, y)A(x0 )y體求體積”的方法,y 2 (x)xy 1 (x)f ( x, y)dydx.( x )2 ( x )bDf ( x, y)d得a( x )1b dx2f ( x, y)dy.1 ( x )a

2、f ( x, y)dy dxb( x )Df ( x, y)d21 ( x )ab( x )2dxf ( x, y)dy.1 ( x )a求( x2 y)dxdy，其中D 是由拋物線例 1Dy x2和x y2所圍平面閉區(qū)域.x y2y x2求(xD2y)dxdy，其中D 是由拋線物例 1x2和xy2所圍平面閉區(qū)域.y解兩曲線的交點yx2,02 (0),(1,1)x2y y10 x(xx2) dxddyxx(2y)dyD 133 x) dx .24) (x2140 xy2yx2,1 ( y) x 2 ( y).c y d ,如果積分區(qū)域為：Y型x x 2 ( y)y) 2 ( y )dDf (

3、x, y)ddyf ( x, y)dx . ( y )c1d1 ( y )Dx 2 (cd1 ( y )Dx c ( y )f ( x, y)dx dydDf ( x, y)d 21 ( y )c ( y )d2dyf ( x, y)dx1 ( y )c2例 2求 x2e y dxdy，其中 D 是以(0,0),(1,1),D(0,1)為頂點的三角形.2例 2求 x2e y dxdy，其中 D 是以(0,0),(1,1),D(0,1)為頂點的三角形.2 e y dy 無法用初等函數表示解 積分時必須考慮次序1y2 x2e y dxdyD2x2e y dxdy00 1 (1 2).3 y dy2

4、 y dy21122yyee6e3600X型區(qū)域的特點： 穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.若區(qū)域如圖， 則必須分割.在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式D D1 D2 D3.D3D1D2改變積分的次序1 x1改變積分 dxf ( x, y)dy的次序.例 300解積分區(qū)域如圖1 y1原式 dyf ( x, y)dx .00y 1 xye xdx ye xdx.12 dyy1y1y計算積分 I dy例 411422y xy x2ye xdx ye xdx.12 dyy1y1y計算積分 I dy例 41

5、1422y e x dx 不能用初等函數表示先改變積分次序.解ye xdy1x原式 I dx21x2131x(e ex )dxe e.8212y xy x2二、小結二重積分在直角坐標下的計算公式 2 ( x )bDf ( x, y)ddxf ( x, y)dy .X型 ( x )a1 2 ( y )df ( x, y)d dy f ( x, y)dx.Y型1 ( y )cD（在積分中要正確選擇積分次序）思考題1f ( x)dx A，設 f ( x)在0,1上連續(xù)，并設011求 dx f ( x) f ( y)dy .0 x思考題解答1f ( y)dy不能直接積出,改變積分次序.x11令I dx

6、f ( x) f ( y)dy ,0 x1ydyf ( x) f ( y)dx .則原式001xf ( x)dxf ( y)dy,00111xf ( y)dy f ( x)dx故2I f ( x)dxf ( y)dy0 x001x1f ( x)dx() f ( y)dy00 x11f ( y)dy A .2f ( x)dx00二、利用極坐標系計算二重積分 i ir r rir rii iD iAo 1 (r1 r )2 r 2iiiiii22 r ri rir riii1 ri )ri i(2r2i i ri (ri r ) riii2 ri ri i ,D iAo f ( x, y)dxdy

7、 f (r cos , r sin )rdrd .DD1、二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖(極點在區(qū)域以外)r 1()r 2()r ()1Dr 2 ()DoAoA ( ) r ( ).12 , f (r cos , r sin )rdrdD ( )f (r cos ,r sin )rdr.2d1 ( )r 1()r 2()r ()1Dr 2 ()DoAoA ( ) r ( ).12 ,2 ( ) f (r cos , r sin )rdrdDf (r cos ,r sin )rdr.d ( )12、二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖(極點在區(qū)域邊界上) r ( ) ,0 r

8、( ).Do f (r cos , r sin )rdrdAD ( ) d 0f (r cos , r sin )rdr.3、二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖（極點在區(qū)域） ( r) r (0 2 , 0).DAor cosr ,sin rdrd)(fDd2( )f(, rcrossinrdr).00 rdrd .D極坐標系下區(qū)域的面積例 1 寫出積分 f ( x, y)dxdy的極坐標二次積分形D式，其中積分區(qū)域D ( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1.x2 y2 1x y1例 1 寫出積分 f ( x, y)dxdy的極坐標二次積分形D式，其中積分區(qū)域D (

9、x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1. x r cos在極坐標系下 y r sin解所以圓方程為 r 1,1直線方程為r ,sin cos21d Df (r cos , r sin )rdr.f ( x, y)dxdy10sin cosx2 y2 1x y122計算 ex y dxdy，其中 D 是由中心在例 2D原點，半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域.22計算 ex y dxdy，其中 D 是由中心在例 2D原點，半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域.在極坐標系下D：0 r a ，0 2.解2a22x y2edxdyrderdr00D (1 e a2 ).計算( x2 y2 )dxdy，

10、其 D 為由圓例 3D y2 2 y， x2 y2 4 y及直線x x23 y 0，y 3x 0所圍成的平面閉區(qū)域. 3x 0 y 解23x2x y2 4 y r 4sin 3y 0 16 y2 2 y r 2sinx2 rdr 15( 4 sin r ( xDy )dxdy 22d23).322 sin 6求曲線 ( x2 y2 )2 2a2 ( x2 y2 )例 3和x2 y2 a2所圍成的圖形的面積.根據對稱性有 D 4D1在極坐標系下解 y2 a2 r a,x2( x2 y2 )2 2a2 ( x2 y2 ) 2cos 2 ,r aD1r a2cos2,由得交點A (a,),6r a所

11、求面積 dxdy 4 dxdyDD16a2 cos 2d 4rdr0a a2 (3 ).3sin(x2 y2 )計算二重積分 例 4dxdy,x2y2D其中積分區(qū)域為D ( x, y) | 1 x2 y2 4.sin(x2 y2 )計算二重積分 例 4dxdy,x2y2D其中積分區(qū)域為D ( x, y) | 1 x2 y2 4.解由對稱性，可只考慮第一象限部分，D 4D1注意：被積函數也要有對稱性. 4 sin(x2 y2 )dxdy sin(x2 y2 )dxdyy2x2y2x2D1Dsin r22 4rdr 4.dr01D1二、小結二重積分在極坐標下的計算公式 f (r cos , r sin )rdrdD ( )f (r cos ,r sin )rdr.2d1 ( ) ( )0f (r cos , r sin )rdr.d ( )2f (r cos , r sin )rdr.d00（在積分中注意使用對稱性）I sin y d，其中區(qū)域 D 為曲線 y 1. 計算x 及直線yDy=x 所圍成。2. 計算I