1、微分形式及其應(yīng)用引子兩個函數(shù)，如何檢驗它們是否互為函數(shù)呢？比如f二X2 + y , g二x4 + 2x2y + y2 + 60，它們之間就有關(guān)系g二f2 + 60，這很 明顯。但是對于復(fù)雜的函數(shù)就未必一眼看得出。另一個老實的辦法是，計算它們的雅克比行列式2 x 4 x 2 + 4 xy12 x 2 + 2 y=0，因此它們相關(guān)，互為函數(shù)關(guān)系。對于多元的就要麻煩些，要計算多個雅克比。比如f (x,y,z),g(x,y,z)，要想判定他們是否互為函數(shù)，就要判定有沒有更好的表達(dá)方式呢？有利用外微分(過一會再解釋)df a dg = d (x2 + y) a d (x4 + 2x2 y + y2 +

2、60)=dx2 a d (x4 + 2x2 y + y2 + 60) + dy a d (x4 + 2x2 y + y 2 + 60)=dx2 a d(2x2y + y2) + dy a d(x4 + 2x2y)=2xdx a (2dx2y + 2x2dy + dy2) + dy a (dx4 + 2dx2y + 2x2dy)=2xdx a (2x2dy + 2ydy) + dy a (4x3dx + 4xydx)=4x3dx a dy + 4xydx a dy + 4x3dy a dx + 4xydy a dx=4 x3dx a dy + 4 xydx a dy - 4 x3dx a dy

3、- 4 xydx a dy=0好奇怪的運算規(guī)則：任何兩個函數(shù)微分的外積，互換次序得負(fù)；任何相同表達(dá)式微分的外積 為 0。 da a db = - db a da ， da a da = 0 這讓我們想起了面積的定義。對了！外積的意義就是面積。我們重新理解一下(見圖)如果將(f,g)作為兩個變量，則組成空間。(f,g)作為(x,y)的函數(shù)，當(dāng)(x,y)改變時，(f,g)也隨之改變。當(dāng)函數(shù)f,g互不關(guān)聯(lián)(不互為函數(shù)時)，由于各自獨立改變，當(dāng)(x,y) 遍歷一個非常小的方形區(qū)域(dx a dy)時，(f,g)也形成一個小面積。但是當(dāng)函數(shù)f,g互為 關(guān)聯(lián)(互為函數(shù)時)，由于各自改變不獨立，當(dāng)(x,y)

4、遍歷一個非常小的方形區(qū)域(dxady) 時，(f,g)僅在一個小線段上(或者在一個點，總之在低維的空間上)運動。由于f a dg 就代表面積元，因此為0.yyg車可見，在高維空間中，微分形式非常有用啊！2 微分形式我們看在二維空間上的一個線積分J (2xdy + 3dx)ll是e : R T R2,t T (cos(t),sin(t),t g (0,兀)定義的一段曲線(在這里是半圓弧線)?？梢院苋菀追e分出來t五J (2cos(t)dsin(t) + 3dcos(t)t=0t 4k=J (2cos2(t) - 3sin(t)dtt40=k -6如果換一條曲線，會得到另一個值。比如，如果l是e :

5、 R T R 2, t T (t, 12), t g (-1,1)定義的 一段拋物線，可得積分J (2tdt 2 + 3dt)t=-1=4 + 63如果不定義曲線l，這個積分則不能得到具體的數(shù)值。因此，可以認(rèn)為這個積分J (2xdy + 3dx)l是曲線l的函數(shù)，也就是說，給定一條曲線，它就能給出一個值。我們稱它為積分形式。(只有形式，等待內(nèi)容曲線)如果去掉積分號2 xdy + 3dx我們則稱其為微分形式(只有形式，等待內(nèi)容曲線或1 維的映射)。給定一個映射，如0 : R T R2, t T (cos(t),sin(t)，我們就能計算這個微分0 *(2 xdy + 3dx) = 2cos(t

6、)d sin(t) + 3d cos(t) = -(2cos(t )2 + 3sin(t )dt我們稱映射將二維空間上的微分形式2xdy + 3dx ,拉回到1維空間上-(2cos(t)2 + 3 sin(t)dt。微分形式是與坐標(biāo)無關(guān)的。也就是說，一個積分形式，不論如何改變坐標(biāo)系，只要定義的曲 線不變，其積分值是不變的。同樣，一個微分形式，不論如何改變坐標(biāo)系，只要定義的曲線 不變，其微分是不變的。這個性質(zhì)，滿足了物理學(xué)描述客觀性的愿望，因此物理規(guī)律(物理 方程)用微分形式表達(dá)非常簡單漂亮。3 微分形式的外積我們看面積分JJ(3x + 4y)dxdy，給定一個面，就可以計算這個積分。但是這個表

7、達(dá)式有一個缺憾，就是對于復(fù)雜表達(dá)，如JJ(3x + 4y)d(x + 2y)dy定義模糊。我們看變換變量0 : M T N,(u, v) T (x = u + v, y = uv)時，這個表達(dá)式變?yōu)镴J(3(u + v) + 4uv )d (u + v)d (uv)=JJ(3(u + v) + 4uv)d (u + v, uv)d (u, v)dudv ，d (u + v, uv)其中宀爲(wèi)是變換的JacObi行列式。因此我們將其表達(dá)為 JJ(3x+ 4 y)dx a dys規(guī)定對于任何表達(dá)式f,g，都要滿足df adg =-dg adf，df adf = 0則變量改變就可以名正言順地寫為J!

8、(3(=JJ (3(u + v) + 4uv)(du+ dv) a (duv + udv)u + v) + 4uv)d (u + v) a d (uv)JJ(3(u + v) + 4uv)(du a duv + du a udv + dv a duv + dv a udv)JJ(3(u + v) + 4uv)(du a udv - vdu a dv)du a dv=JJ (3(u + v) + 4uv) (u + v，uv) d (u, v)X剛好滿足變量變換的關(guān)系。這樣我們類推地定義外積：我們知道一個微分形式（1-形式）=dxi描述了一個線形式?？梢酝评?，兩個1-微分形i式0=0dxi, 0

9、 =0 dxi可以構(gòu)造出面形式（2-微分形式）。iit = oa0 = 00 dxi a dxj =1 （o0 - o 0 ）dxi a dxj i j2 i j j i如果兩個1-微分形式外積為0，o a0 = 0這兩個微分形式相關(guān)，即存在某個函數(shù)f使得0 = f04 外微分給定一個1-微分形式能否得到一個2-微分形式？可以通過外微分。我們定義一個微分形式o的外微分0 ,與這個微分形式的閉合回路積分有關(guān)。對于無窮小面元X，有其邊界組成的閉合回路近JJ do = Jodo = d(odxi) = do adxi =6 odxj adxiiix j i5 微分形式的應(yīng)用1 函數(shù)是常函數(shù)df三02

10、函數(shù)極值點df = 0表明自變量改變時，函數(shù)值不變。比如 f = x2 + x + 30 , df = （2x + 1）dx = 0，得到 x = 1/2。如果將函數(shù)看成映射，在這一點的映射出現(xiàn)奇異，即這一點附近無窮小的鄰域映射為 點。3兩個函數(shù)相關(guān)（這在引子中給出了）df a dg 三 0如果將函數(shù)看成映射，將自變量整個空間映射成一條線或點（低于2 維的空間）。3 個函數(shù)相關(guān)df a dg a dh 三 0 其他以此類推。4條件極值即在g = 0情況下計算f的極值。通常用Lagrange乘子法，這里可以用微分形式表達(dá)式。df a dg = 0比如在約束g = X + y - 3 = 0，情況

11、下計算f二x2 + y2的極值點。因為df a dg = (2xdx + 2 ydy) a (dx + dy) = 2(x - y)dx a dy所以2(x- y)=0 x + y 一 3 = 0得到x_ ：，與Lagrange乘子法計算的一致，但是方程簡單。I y = 3/2多個約束以此類推，如兩個約束極值問題，在g = 0,h = 0情況下計算f的極值，就可以按照下面方程給。 g=0h=0 df a dg a dh = 05計算偏導(dǎo)數(shù)問題 在熱力學(xué)中經(jīng)常需要計算各種偏導(dǎo)數(shù)問題。采用微分形式可以方便地計算。 熱力學(xué)中只有兩個自由參數(shù)。利用dE = TdS - PdV等關(guān)系定義變量間關(guān)系。將其

12、外微分，得到dT a dS = dP a dV 那么熱力學(xué)可以方便地給出熱力學(xué)公式，比如dT a dS = dP a dV ，兩邊除以 dT a dV 可以得到dT a dS = dP a dVdT a dV dT a dV可以得到(QS =(QP喬丿莎丿TV對任意一個等式，都可以改變自變量如1PdE _ dS -dVTT1P外微分后d亍a dE _ -d a dV除以dE a dP可以得到 fa P、 aPd a dVT _ dE a dPTra i)aTSPSE v 丿仃P(guān) 丫a T aF三對換關(guān)系dT a dP dP a dV dV a dT_ 1 dP a dV dV a dT dT

13、a dP就是(ST1求導(dǎo)換自變量比如G e ) - dS a dE _ (dS a dE)/(dP a dV) s t _ dS a dT _ (dS a dT)/(dP a dV)(a s ) (a e )(aps )V (ape)V GsJ GtF (aps )V (apt )VV PV P方便得很6 正交曲線坐標(biāo)系的求導(dǎo)公式d r _ 工 e o _ 工 e h d gi ii i iii_ e dokk工 o a deiii形式地寫作a k ， j ij jkijdodg hi _hj工o a de _工iiiike d okk可以特解dei=工doe；koi-k，其齊次方程工0 a

14、de _ 0的解de _ 2iii i i滿足e - de + e - de _ 0的解為i j j iido、-)eokk根據(jù)微分關(guān)系記憶很容易工 o a deiii工e dokk ikdei =（營-答k，系數(shù)反對稱化是kike - de + e - de 二 0 的要求i j j i例如 球坐標(biāo)系dr = rdr + 0 rd0 + (pr sin 0do = drro = rd0oo = r sin Odppdr = rdr + 0 rdO + pr sin Odp d (rdO) d (dr)合dr =drrdO 丿總 /ddrd (rdO)、 zd0 = (一)r + (小rdOd

15、rrdOddrd(rsinOdp)dp = (-)r +r sinOdpX /d (r sin Odp)d (dr)0 + (drr sinOdpd(r sinOdp)d(rdO)旳r sin Odpd(rdO)d(r sinOdp)&n 0 r sin Odp)pdrrdO丿dr = 0 dO +cp sin Odp d0 = -FdO + p cosOdp dp = -r sin Odp - 0 cosOdp根據(jù)這個公式可以寫出在球面坐標(biāo)系下的各種梯度、旋度、散度等。方法是方向矢量的偏微分直接計算。記住這個公式，需要借助立體圖。圖中畫出了點r及經(jīng)過其點曲面坐標(biāo)的三個 單位矢量；O改變形行成

16、的大圓弧，P改變形成的小圓，r改變形成通過坐標(biāo)原點的射線。 r 改變不會影響這些方向。每個單位矢量在這些變化中，形成的圖形：大圓，小圓，上椎體， 下椎體。（1）當(dāng)0改變時，r是大圓的徑向，變化量為大圓半徑為1時對應(yīng)的弧長，大 圓切線方向0dO ;當(dāng)p改變時，r是下椎體母線方向，改變量為母線長度為1時對應(yīng)椎體邊弧長，方向小圓切線方向sin側(cè);當(dāng)改變時，是大圓切線方向，改變向心方向rd0 ；當(dāng)改變時， 是上椎體母線方向，改變量為母線為1時的體邊弧長，方向小圓切線方向COS0d ；當(dāng)0改變時，平行移動；當(dāng)改變時，是小圓切線，按照小圓轉(zhuǎn)動,改變向心方向(-r sin 0 - cos 0 )d ；在柱面坐標(biāo)系中，完全通過直觀可以給出dp = d0d = -pd0dz = 078 包絡(luò)幾何(包絡(luò)線，包絡(luò)面等)理論 含有參數(shù)的方程組代表空間幾何曲線或幾何面簇，當(dāng)參數(shù)改變時，幾何曲線或幾何面會隨之 改變。這些幾何簇的包絡(luò)就是他們共切的曲線。f(x,s) = 0定義了一簇低維面