1、新編復(fù)變函數(shù)論第三版精選新編復(fù)變函數(shù)論第三版精選1.有向曲線:簡單曲線（Jordan曲線）： 無重點的連續(xù)曲線光滑曲線：處處有切線,且切線隨切點的移動而連續(xù)轉(zhuǎn)動的曲線逐段光滑曲線：有限條光滑曲線銜接而成的連續(xù)曲線 重點重點重點9/9/202221.有向曲線:簡單曲線（Jordan曲線）： 無重點的連續(xù)曲(1) 曲線C是開口弧段，若規(guī)定它的端點P為起點，Q為終點，則沿曲線 C 從 P 到Q 的方向為曲線C的正方向把正向曲線記為C或C+. 在討論復(fù)變函數(shù)積分時，將要用到有向曲線的概念，如果一條光滑或逐段光滑曲線規(guī)定了其起點和終點，則稱該曲線為有向曲線，曲線的方向是這樣規(guī)定的：PQ而由Q到P的方向稱

2、為C的負方向,負向曲線9/9/20223(1) 曲線C是開口弧段，在討論復(fù)變函數(shù)積分時，將要用到有向(2) 如果 是簡單閉曲線，規(guī)定人沿著曲線邊界行走時，區(qū)域內(nèi)部總保持在人的左側(cè)為正方向，因此，逆時針方向為正方向，順時針方向為負方向(3) 如果 是復(fù)平面上某一個多連通域的邊界曲線，則 的正方向這樣規(guī)定：當人沿曲線 行走時，區(qū)域總保持在人的左側(cè)，因此外部邊界部分取逆時針方向，而內(nèi)部邊界曲線取順時針為正方向分段光滑的簡單閉曲線簡稱為周線.9/9/20224(2) 如果 是簡單閉曲線，規(guī)定人沿著曲線邊界行走時，2.復(fù)變函數(shù)積分的定義9/9/202252.復(fù)變函數(shù)積分的定義9/5/202279/9/2

3、02269/5/20228(9/9/20227(9/5/20229二、積分存在的條件及其計算方法1. 存在的條件9/9/20228二、積分存在的條件及其計算方法1. 存在的條件9/5/202證參數(shù)增加的方向,正方向為根據(jù)曲線積分的存在定理,9/9/20229證參數(shù)增加的方向,正方向為根據(jù)曲線積分的存在定理,9/5/當 n 無限增大而弧段長度的最大值趨于零時, 在形式上可以看成是公式9/9/202210當 n 無限增大而弧段長度的最大值趨于零時, 在形式上可以看9/9/2022119/5/2022132. 積分的計算方法即9/9/2022122. 積分的計算方法即9/5/202214在今后討論的

4、積分中, 總假定被積函數(shù)是連續(xù)的, 曲線 C 是按段光滑的.9/9/202213在今后討論的積分中, 總假定被積函數(shù)是連續(xù)的, 曲線 C 是例1 解直線方程為9/9/202214例1 解直線方程為9/5/202216例2 解積分路徑的參數(shù)方程為9/9/202215例2 解積分路徑的參數(shù)方程為9/5/202217例3 解積分路徑的參數(shù)方程為重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān).一個重要而常用的積分公式9/9/202216例3 解積分路徑的參數(shù)方程為重要結(jié)論：積分值與路徑圓復(fù)積分與實變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).絕對不等式三、復(fù)積分的性質(zhì)9/9/202217復(fù)積分與實變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì)

5、.絕對不等式三、復(fù)積分的例4解根據(jù)估值不等式知9/9/202218例4解根據(jù)估值不等式知9/5/202220o11+i9/9/202219o11+i9/5/2022219/9/2022209/5/2022229/9/2022219/5/2022239/9/2022229/5/2022249/9/2022239/5/2022259/9/2022249/5/202226一、問題的提出此時積分與路線無關(guān). 第二節(jié) 柯西積分定理由于不滿足柯西黎曼方程, 故而在復(fù)平面內(nèi)處處不解析. 由以上討論可知, 積分是否與路線有關(guān), 可能決定于被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的連通性.9/9/202225一、問題的提出此時積

6、分與路線無關(guān). 第二節(jié) 柯西積分定理由于二、柯西積分定理定理中的 C 可以不是簡單曲線.關(guān)于定理的說明:(1) 如果曲線 C 是區(qū)域 B 的邊界, (2) 如果曲線 C 是區(qū)域 B 的邊界, 定理仍成立.9/9/202226二、柯西積分定理定理中的 C 可以不是簡單曲線.關(guān)于定理的說例1解根據(jù)柯西積分定理, 有三、典型例題9/9/202227例1解根據(jù)柯西積分定理, 有三、典型例題9/5/20222例2證由柯西積分定理, 由柯西積分定理, 由上節(jié)例4可知, 9/9/202228例2證由柯西積分定理, 由柯西積分定理, 由上節(jié)例4可知例3解根據(jù)柯西積分定理得9/9/202229例3解根據(jù)柯西積分

7、定理得9/5/202231(1) 注意定理的條件“單連通域”.(2) 注意定理的不能反過來用.應(yīng)用柯西積分定理應(yīng)注意什么?9/9/202230(1) 注意定理的條件“單連通域”.(2) 注意定理的不能反1.問題的提出根據(jù)本章第一節(jié)的討論可知, 由此希望將柯西積分定理推廣到多連域中.四、柯西積分定理的推廣復(fù)合閉路定理2.閉路變形原理9/9/2022311.問題的提出根據(jù)本章第一節(jié)的討論可知, 由此希望將柯西積得9/9/202232得9/5/202234 解析函數(shù)沿閉曲線的積分, 不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.閉路變形原理說明: 在變形過程中曲線不經(jīng)過函數(shù) f(z) 的不解析的點.9/

8、9/202233 解析函數(shù)沿閉曲線的積分, 不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變3. 復(fù)合閉路定理那末9/9/2022343. 復(fù)合閉路定理那末9/5/2022364.典型例題例1解依題意知, 根據(jù)復(fù)合閉路定理,9/9/2022354.典型例題例1解依題意知, 根據(jù)復(fù)合閉路定理,9/5/20例2 解圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合定理,9/9/202236例2 解圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合定理,9/例3解由復(fù)合閉路定理,此結(jié)論非常重要,用起來很方便,因為 不必是圓,a也不必是圓的圓心,只要a在簡單閉曲線 內(nèi)即可.9/9/202237例3解由復(fù)合閉路定理,此結(jié)論非常重要,用起來很

9、方便,因為 例4解由上例可知 復(fù)合閉路定理與閉路變形原理是復(fù)積分中的重要定理, 掌握并能靈活應(yīng)用它是本章的難點.常用結(jié)論:9/9/202238例4解由上例可知 復(fù)合閉路定理與閉路變形原理是定理一由定理一可知: 解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點和終點有關(guān),1. 兩個主要定理:五、原函數(shù)與不定積分9/9/202239定理一由定理一可知: 解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點和終定理二證利用導(dǎo)數(shù)的定義來證.由于積分與路線無關(guān),9/9/202240定理二證利用導(dǎo)數(shù)的定義來證.由于積分與路線無關(guān),9/5/20由積分的估值性質(zhì),此定理與微積分學(xué)中的對變上限積分的求導(dǎo)定理完全類似.證畢9/9/202241由

10、積分的估值性質(zhì),此定理與微積分學(xué)中的對變上限積分的求導(dǎo)定理2. 原函數(shù)的定義:原函數(shù)之間的關(guān)系:3. 不定積分的定義:定理三(類似于牛頓-萊布尼茲公式)9/9/2022422. 原函數(shù)的定義:原函數(shù)之間的關(guān)系:3. 不定積分的定義:證根據(jù)柯西積分定理,證畢說明: 有了以上定理, 復(fù)變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學(xué)中類似的方法去計算.4.典型例題例1解由牛頓-萊布尼茲公式知,9/9/202243證根據(jù)柯西積分定理,證畢說明: 有了以上定理, 復(fù)變函數(shù)例2解(使用了微積分學(xué)中的“湊微分”法)例3解由牛頓-萊布尼茲公式知,另解此方法使用了微積分中“分部積分法”9/9/202244例2解(使用了微積分學(xué)

11、中的“湊微分”法)例3解由牛頓-萊布尼例4解利用分部積分法可得課堂練習答案例5解9/9/202245例4解利用分部積分法可得課堂練習答案例5解9/5/20224例6解所以積分與路線無關(guān),由牛頓-萊布尼茲公式知,9/9/202246例6解所以積分與路線無關(guān),由牛頓-萊布尼茲公式知,9/5/2一、問題的提出根據(jù)閉路變形原理知,該積分值不隨閉曲線 C 的變化而改變,求這個值。第三節(jié) 柯西積分公式及其推論 9/9/202247一、問題的提出根據(jù)閉路變形原理知,該積分值不隨閉曲線 C 的二、柯西積分公式定理證此式稱為柯西積分公式9/9/202248二、柯西積分公式定理證此式稱為柯西積分公式9/5/202

12、25證根據(jù)閉路變形原理知, 左端積分的值與 R 無關(guān), 所以只有在對所有的 R 積分值為零時才有可能.證畢9/9/202249證根據(jù)閉路變形原理知, 左端積分的值與 R 無關(guān), 所(1) 把函數(shù)在C內(nèi)部任一點的值用它在邊界上的值表示. (這是解析函數(shù)的又一特征)(2) 公式不但提供了計算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法, 而且給出了解析函數(shù)的一個積分表達式.(這是研究解析函數(shù)的有力工具)(3) 解析函數(shù)的平均值定理：一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.則有 柯西積分公式的重要性在于:一個解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以用它在邊界上的值通過積分表示, 所以它是研究解析函數(shù)的重要工具.9/9

13、/202250(1) 把函數(shù)在C內(nèi)部任一點的值用它在邊界上的值表示. 三、典型例題例1解由柯西積分公式9/9/202251三、典型例題例1解由柯西積分公式9/5/202253例2解(1)由柯西積分公式由柯西積分公式這種解法對嗎？為什么？9/9/202252例2解(1)由柯西積分公式由柯西積分公式這種解法對嗎？為什么例3解由柯西積分公式9/9/202253例3解由柯西積分公式9/5/202255例4解由閉路復(fù)合定理, 得9/9/202254例4解由閉路復(fù)合定理, 得9/5/202256例5解根據(jù)柯西積分公式知,比較兩式得9/9/202255例5解根據(jù)柯西積分公式知,比較兩式得9/5/202257

14、其中積分方向應(yīng)是順時針方向. 柯西積分公式對無界區(qū)域也是成立的，五、解析函數(shù)的無窮可微性問題:(1) 解析函數(shù)是否有高階導(dǎo)數(shù)? (2) 若有高階導(dǎo)數(shù), 其定義和求法是否與實變函數(shù)相同?回答:(1) 解析函數(shù)有各高階導(dǎo)數(shù). (2) 高階導(dǎo)數(shù)的值可以用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示, 這與實變函數(shù)完全不同.解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義是什么?9/9/202256其中積分方向應(yīng)是順時針方向. 柯西積分公式對無定理證:略9/9/202257定理證:略9/5/202259高階導(dǎo)數(shù)公式的作用: 不在于通過積分來求導(dǎo), 而在于通過求導(dǎo)來求積分. 例1解9/9/202258高階導(dǎo)數(shù)公式的作用: 不在于通過積分來求導(dǎo)

15、, 而在于通過求由復(fù)合閉路定理9/9/202259由復(fù)合閉路定理9/5/202261例2解9/9/202260例2解9/5/202262例3解由柯西積分定理得由柯西積分公式得9/9/202261例3解由柯西積分定理得由柯西積分公式得9/5/202263例4解9/9/202262例4解9/5/202264六、柯西不等式與劉維爾(Liouville)定理定理1 (柯西不等式)設(shè) 在區(qū)域D內(nèi)解析， 為D內(nèi)一點，區(qū)域 包含于D，則有其中證明：在 上應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)公式，則有由柯西不等式，容易得到劉維爾定理。劉維爾定理:z平面上解析且有界的函數(shù) 必為常數(shù)由劉維爾定理，可以證得到代數(shù)學(xué)基本定理。9/9/202

16、263六、柯西不等式與劉維爾(Liouville)定理定理1 (柯代數(shù)學(xué)基本定理在z平面上，n次多項式 （ ）至少有一個零點證(反證法)假設(shè) 在z平面上無零點，由于 在平面上解析，從而 在z平面上也是解析的其次，由于所以，于是 ，使得 ， 。又因為 在 上連續(xù)，故 ，使得 ， 從而在z平面上有 ，即 在z平面上解析且有界，因此根據(jù)劉維爾定理， 為常數(shù)，故 亦為常數(shù)，這與已知 為多項式矛盾，定理得證9/9/202264代數(shù)學(xué)基本定理在z平面上，n次多項式 七、摩勒拉(Morera)定理柯西積分定理說明，只要 在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則對D內(nèi)任一圍線均有 。我們現(xiàn)在證明其逆也是正確的摩勒拉定理設(shè)函數(shù)

17、 在單連通區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，且對D內(nèi)任一圍線C，有 ，則 在D內(nèi)解析證依題意可知可由導(dǎo)數(shù)的定義證明因為解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),9/9/202265七、摩勒拉(Morera)定理柯西積分定理說明，只要 例6證不等式即證.9/9/202266例6證不等式即證.9/5/202268例7證積分值與R無關(guān)，故有f(a)=f(b).由a,b的任意性得f(z)為常數(shù).9/9/202267例7證積分值與R無關(guān)，故有f(a)=f(b).由a,b的任意例8證 任取一點z=a,取圍道C為|z|=R|a|,逆時針方向,由柯西積分公式有即有由a的任意性得f(z)為常數(shù).小結(jié)：高階導(dǎo)數(shù)公式是復(fù)積分的重要公式. 它表明了解

18、析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)這一異常重要的結(jié)論, 同時表明了解析函數(shù)與實變函數(shù)的本質(zhì)區(qū)別.9/9/202268例8證 任取一點z=a,取圍道C為|z|=R|高階導(dǎo)數(shù)公式這一點與實變量函數(shù)有本質(zhì)的區(qū)別.定義 調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場理論等實際問題中有很重要的應(yīng)用.第四節(jié) 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系一、調(diào)和函數(shù)的定義9/9/202269高階導(dǎo)數(shù)公式這一點與實變量函數(shù)有本質(zhì)的區(qū)別.定義 定理 任何在區(qū)域 D 內(nèi)解析的函數(shù),它的實部和虛部都是 D 內(nèi)的調(diào)和函數(shù).證二、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)定理, 證畢9/9/202270定理 任何在區(qū)域 D 內(nèi)解析的函數(shù),三、 共軛調(diào)和函數(shù)的定義 區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù).四、