1、概率論的基本概念概率論的基本概念第一節(jié) 樣本空間 隨機(jī)事件 在一定條件下，試驗(yàn)有多種可能的結(jié)果，但事先又不能預(yù)測(cè)是哪一種結(jié)果的現(xiàn)象稱(chēng)隨機(jī)現(xiàn)象。1、隨機(jī)試驗(yàn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科。上一頁(yè)下一頁(yè)返 回現(xiàn)象確定性的:在一定條件下一定會(huì)發(fā)生。隨機(jī)性的:第一節(jié) 樣本空間 隨機(jī)事件 在一定條件下，試驗(yàn)有多種可則把這一試驗(yàn)稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)，常用E表示。對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行的觀察或?qū)嶒?yàn)稱(chēng)為試驗(yàn)。（2）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且事先可以知道試驗(yàn)的所有可能結(jié)果。（3）進(jìn)行一次試驗(yàn)之前，不能確定會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。若一個(gè)試驗(yàn)具有下列三個(gè)特點(diǎn)：（1）在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行。上一頁(yè)下一頁(yè)

2、返 回則把這一試驗(yàn)稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)，常用E表示。對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行的觀察或2、樣本空間與隨機(jī)事件基本結(jié)果：（1）每進(jìn)行一次試驗(yàn),必然出現(xiàn)且只能出現(xiàn)其中一個(gè)基本結(jié)果。（2）任何結(jié)果，都是由其中一些基本結(jié)果組成。上一頁(yè)下一頁(yè)返 回樣本空間：隨機(jī)試驗(yàn)E的所有基本結(jié)果組成的集合。記為。樣本空間的元素,即試驗(yàn)E的每個(gè)基本結(jié)果,稱(chēng)為樣本點(diǎn).2、樣本空間與隨機(jī)事件基本結(jié)果：上一頁(yè)下一頁(yè)返 回樣本空間：上一頁(yè)下一頁(yè)返 回隨機(jī)事件(簡(jiǎn)稱(chēng)事件)： 隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間的子集.通常用大寫(xiě)的字母A,B,C,表示.事件A發(fā)生：在每次試驗(yàn)中,當(dāng)且僅當(dāng)集合A中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí).特殊事件：1)基本事件：由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集.2

3、)必然事件：每次試驗(yàn)中都必然發(fā)生的事件. 3)不可能事件：每次試驗(yàn)中不可能發(fā)生的事件. 上一頁(yè)下一頁(yè)返 回隨機(jī)事件(簡(jiǎn)稱(chēng)事件)：事件A發(fā)生：在每次試1)如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生,則稱(chēng)事件A包含于事件B,記作3、事件間的關(guān)系及其運(yùn)算2)”事件A與事件B中至少有一個(gè)事件發(fā)生”的事件稱(chēng)為事件A與事件B的并（和）, 記為上一頁(yè)下一頁(yè)返 回注:對(duì)于任意事件A注:對(duì)于任意事件A,兩個(gè)事件1)如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生,則稱(chēng)事件A包含于事件B3)”事件A與事件B同時(shí)發(fā)生”的事件稱(chēng)為事件A與事件B的交（積），記為 。上一頁(yè)下一頁(yè)返 回注:對(duì)于任意事件A,兩個(gè)事件4)”事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”的

4、事件稱(chēng)為事件A與事件B的差，記為 。注:對(duì)于任意事件A,3)”事件A與事件B同時(shí)發(fā)生”的事件稱(chēng)為事件A與事件B的交（5)如果兩個(gè)事件A和B不可能同時(shí)發(fā)生,則稱(chēng)事件A與事件B為互不相容(互斥),記作 。注:基本事件是兩兩互不相容的。上一頁(yè)下一頁(yè)返 回6)若 ,則稱(chēng)事件A與事件B互為逆事件(對(duì)立事件). A 的對(duì)立事件記為 ,表示A不發(fā)生. 在一次試驗(yàn)中,兩事件 有且只能有一個(gè)事件發(fā)生.注:對(duì)立事件必為互不相容事件,反之不真.5)如果兩個(gè)事件A和B不可能同時(shí)發(fā)生,則稱(chēng)事件A與事件B為互事件的運(yùn)算律（1）交換律：（2）結(jié)合律:（3）分配律：（4）上一頁(yè)下一頁(yè)返 回可以推廣到有限或可數(shù)無(wú)限多個(gè)情況（5

5、）事件的運(yùn)算律（1）交換律：（2）結(jié)合律:（3）分配律：（4）例1.1 設(shè)A，B，C為3個(gè)事件，用A，B，C的運(yùn)算式表示下列事件：（1）A發(fā)生而B(niǎo)與C都不發(fā)生；（2）A與B都發(fā)生而C不發(fā)生；（3）A，B，C至少有一個(gè)事件發(fā)生；（4）A，B，C至少有兩個(gè)事件發(fā)生;（5）A，B，C恰好有兩個(gè)事件發(fā)生；（6）A，B，C恰好有一個(gè)事件發(fā)生;（7）A，B至少有一個(gè)發(fā)生而C不發(fā)生; (8) A，B，C都不發(fā)生.上一頁(yè)下一頁(yè)返 回例1.1 設(shè)A，B，C為3個(gè)事件，用A，B，C的運(yùn)算式上一頁(yè)下一頁(yè)返 回例1.2 在數(shù)學(xué)系的學(xué)生中任選一名學(xué)生.若事件A表示被選學(xué)生是男生,事件B表示被選學(xué)生是三年級(jí)學(xué)生,事件C表

6、示被選學(xué)生是運(yùn)動(dòng)員. (1) 敘述 的意義. (2)在什么條件下 成立? (3)在什么條件下 成立? 解: (1)被選學(xué)生是三年級(jí)男生,但不是運(yùn)動(dòng)員. (2)全系運(yùn)動(dòng)員都是三年級(jí)男生. (3)全系女生都在三年級(jí).則故上一頁(yè)下一頁(yè)返 回例1.2 在數(shù)學(xué)系的學(xué)生中任選一名學(xué)上一頁(yè)下一頁(yè)返 回例1.3 設(shè)事件A表示”甲種產(chǎn)品暢銷(xiāo),乙種產(chǎn)品滯銷(xiāo)”,求 解:設(shè)B=“甲種產(chǎn)品暢銷(xiāo)”,C=“乙種產(chǎn)品滯銷(xiāo)”,則A=BC,故 “甲種產(chǎn)品滯銷(xiāo)或乙種產(chǎn)品暢銷(xiāo)”上一頁(yè)下一頁(yè)返 回例1.3 設(shè)事件A表示”甲種產(chǎn)品暢銷(xiāo),第二節(jié) 概率、古典概型1、頻率定義1.1: 設(shè)在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn).若隨機(jī)事件A在n次試驗(yàn)中

7、發(fā)生了k次，則比值 稱(chēng)為事件A在這n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，記為易見(jiàn)頻率具有下列性質(zhì)：(1)對(duì)任一事件A，有 (2)上一頁(yè)下一頁(yè)返 回第二節(jié) 概率、古典概型1、頻率定義1.1: 設(shè)在相同的條上一頁(yè)下一頁(yè)返 回 思考:事件A發(fā)生的頻率表示A發(fā)生的頻繁程度,頻率越大,說(shuō)明事件A發(fā)生的越頻繁,那么在一次試驗(yàn)中,A發(fā)生的可能性也會(huì)越大.反之亦然.這樣是否就能說(shuō)明可以用頻率來(lái)表示在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的可能性大小呢?為什么?上一頁(yè)下一頁(yè)返 回 思考:事件A發(fā)生的頻率表示A發(fā)生的頻 歷史上著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家蒲豐（Buffon）和皮爾遜（Pearson）曾進(jìn)行過(guò)大量拋硬幣的試驗(yàn)，其結(jié)果如表所示.實(shí)驗(yàn)者nkf德摩根2

8、04810610.5181蒲豐404020480.5069K皮爾遜1200060190.5016K皮爾遜24000120120.5006可見(jiàn),出現(xiàn)正面的頻率總在0.5附近擺動(dòng).隨著試驗(yàn)次數(shù)增加,它逐漸穩(wěn)定于0.5.這個(gè)0.5就能反映正面出現(xiàn)的可能性大小.上一頁(yè)下一頁(yè)返 回 歷史上著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家蒲豐（Buffon）和定義1.2: 設(shè)事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生了k次,當(dāng) n很大時(shí),頻率 在某一數(shù)值p的附近擺動(dòng),而隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增加，發(fā)生較大擺動(dòng)的可能性越來(lái)越小, 則稱(chēng)數(shù)p為事件A發(fā)生的概率，記為上一頁(yè)下一頁(yè)返 回注意:這個(gè)定義并沒(méi)有提供確切計(jì)算概率的方法,但我們可以根據(jù)這個(gè)定義給出某個(gè)事件A概率

9、的近似值.定義1.2: 設(shè)事件A在n次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生了k次,當(dāng) n很定義1.3：2、概率的公理化定義上一頁(yè)下一頁(yè)返 回定義1.3：2、概率的公理化定義上一頁(yè)下一頁(yè)返 回概率的性質(zhì)：上一頁(yè)下一頁(yè)返 回性質(zhì)2(有限可加性):若 為兩兩互不相容事件, 則有性質(zhì)3:設(shè)A,B是兩個(gè)事件,若 ,則有性質(zhì)4:對(duì)任一事件A,概率的性質(zhì)：上一頁(yè)下一頁(yè)返 回性質(zhì)2(有限可加性):若 上一頁(yè)下一頁(yè)返 回性質(zhì)5:對(duì)于任一事件A,有 證性質(zhì)6(加法公式):對(duì)于任一兩個(gè)事件A,B有公式推廣:上一頁(yè)下一頁(yè)返 回性質(zhì)5:對(duì)于任一事件A,有 證性質(zhì)6(加上一頁(yè)下一頁(yè)返 回例1.4 設(shè)A,B為兩事件, 求:(1) A發(fā)生但B不發(fā)

10、生的概率;(2) A不發(fā)生但B發(fā)生的概率;(4) A,B都不發(fā)生的概率;(3) 至少有一個(gè)事件發(fā)生的概率;(5) 至少有一個(gè)事件不發(fā)生的概率.解 (1)(2)(4)(3)(5)上一頁(yè)下一頁(yè)返 回例1.4 設(shè)A,B為兩事件, 3、古典概型 定義1.4 若隨機(jī)試驗(yàn)E滿(mǎn)足以下條件:試驗(yàn)的樣本空間只有有限個(gè)樣本點(diǎn)，即(2) 試驗(yàn)中每個(gè)基本事件的發(fā)生是等可能的, 即則稱(chēng)此試驗(yàn)為古典概型，或稱(chēng)為等可能概型.古典概型 中事件A的概率計(jì)算公式為上一頁(yè)下一頁(yè)返 回此時(shí)P(A)為事件A的古典概率.3、古典概型 古典概型 中事件A的概率計(jì)算公式為上一頁(yè)1.排列及計(jì)算公式 從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素按照一定的順序

11、排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列;從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),用符號(hào) 表示規(guī)定0!=1 2.組合及計(jì)算公式 從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素并成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合;從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),用符號(hào) 表示回顧排列組合及加法 乘法原理1.排列及計(jì)算公式 從n個(gè)不同元素中,任取m個(gè)元素按照 問(wèn)題1 從甲地到乙地,可以乘火車(chē),也可以乘汽車(chē),還可以乘輪船.一天中,火車(chē)有4個(gè)班次,汽車(chē)有2個(gè)班次,輪船有3個(gè)班次.那么一天中乘坐這些交通工具

12、從甲地到乙地,共有多少種不同的走法? 分析 因?yàn)橐惶熘谐嘶疖?chē)有4種走法,乘汽車(chē)有2種走法,乘輪船有3種走法,每種走法都可以完成由甲地到乙地這件事情,所以,一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有4+2+3=9種不同的走法.加法原理 做一件事情,完成它可以有幾類(lèi)方法,在第一類(lèi)辦法中有 種不同的方法,在第二類(lèi)辦法中有 種不同的方法,在第n類(lèi)辦法中有 種不同的方法.那么,完成這件事共有 種不同的方法. 每一類(lèi)中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù)；兩類(lèi)不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類(lèi)不重).加法 乘法原理 問(wèn)題1 從甲地到乙地,可以乘火車(chē),也可以乘汽車(chē),還可乘法原理 做一件事情,完成它需要分成幾個(gè)

13、步驟,做第一步有 種不同的方法,做第二步有 種不同的方法,做第n步有 種不同的方法,那么,完成這件事共有 種不同的方法.A村B村C村問(wèn)題2 分析 從A村到B村,有3種不同的走法,按這3種走法中的每一種走法到達(dá)B村后,再?gòu)腂村到C村又各有2種不同的走法,因此,從A村經(jīng)B村到C村共有3*2=6種不同的走法. 任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù).乘法原理 做一件事情,完成它需要分成幾個(gè)步驟,做第一步有 例1.5 將一枚硬幣拋擲3次,求:(1)恰有一次出現(xiàn)正面的概率;(2)至少有一次出現(xiàn)正面的概率.解 將一枚硬幣拋擲3次的樣本空間中包含有限個(gè)元素,且每個(gè)基本事件

14、發(fā)生的可能性相同.設(shè)A表示”恰有一次出現(xiàn)正面”,則故有(2) 設(shè)B 表示”至少有一次出現(xiàn)正面”,則例1.5 將一枚硬幣拋擲3次,求:(1)恰有一次出現(xiàn)正面的例1.6 一口袋裝有6只球,其中4只白球,2只紅球.從袋中取球兩次,每次隨機(jī)地取一只.考慮兩種取球方式: (a) 第一次取一只球,觀察其顏色后放回袋中,攪勻后再任取一球.這種取球方式叫做有放回抽取. (b)第一次取一球后不放回袋中,第二次從剩余的球中再取一球.這種取球方式叫做不放回抽取.試分別就上面兩種情形求: (1)取到的兩只球都是白球的概率; (2)取到的兩只球顏色相同的概率; (3)取到的兩只球中至少有一只是白球的概率.例1.6 一口

15、袋裝有6只球,其中4只白球,2只紅球.從袋中取上一頁(yè)下一頁(yè)返 回解 設(shè)A表示事件”取到的兩只球都是白球”,B表示事件”取到的兩只球都是紅色”,C表示事件”取到的兩只球中至少有一只是白球”,則 表示事件”取到的兩只球顏色相同”,而而在袋中依次取兩只球,每一種取法為一個(gè)基本事件,顯然此時(shí)樣本空間中僅包含有限個(gè)元素,且每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同,因而可利用古典概型中事件的概率計(jì)算公式來(lái)計(jì)算概率. (a)有放回抽取的情形:第一次從袋中取球有6只球可供抽取,第二次也有6只球可供抽取.由乘法原理知共有 種取法,即基本事件總數(shù) 為 .對(duì)事件A而言,由于第一次有4只白球可供抽取,第二次也有4只白球可供抽取,

16、由乘法原理知共有 種取法即A中包含 個(gè)元素.同理,B中包含 個(gè)元素,于是上一頁(yè)下一頁(yè)返 回解 設(shè)A表示事件”取到的兩只球都是白球”,上一頁(yè)下一頁(yè)返 回而 故上一頁(yè)下一頁(yè)返 回而 (b)不放回抽取的情形:第一次從袋中取球有6只球可供抽取,第二次只有5只球可供抽取.由乘法原理知共有 種取法,即基本事件總數(shù) 為 .對(duì)事件A而言,由于第一次有4只白球可供抽取,第二次只有3只白球可供抽取,由乘法原理知共有 種取法即A中包含 個(gè)元素.同理,B中包含 個(gè)元素,于是而 故 (b)不放回抽取的情形:而 上一頁(yè)下一頁(yè)返 回例1.7 箱中裝有a只白球,b只黑球,現(xiàn)作不放回抽取,每次一只.求:(1)任取 m+n只,恰

17、有m只白球,n只黑球的概率 ;(2)第k次才取到白球的概率 ;(3)第k次恰取到白球的概率.解 設(shè)A=”任取 m+n只,恰有m只白球,n只黑球”,B=”第k次才取到白球”,C=“第k次恰取到白球”(1)在不放回抽取中,一次取一個(gè),一共取m次可看作一次取出m個(gè).從a+b只球中任取m+n只,所有可能的取法共有 種,每一種取法為一個(gè)基本事件且每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.從a只白球中取m只,共有 種不同的取法,從b只黑球中取n只,共有 種不同的取法.由乘法原理知,取到m只白球,n只黑球的取法共有 種,故上一頁(yè)下一頁(yè)返 回例1.7 箱中裝有a只白球,b只黑球,現(xiàn)作(2)事件B等價(jià)于事件”一共取k次,前

18、k-1次取到黑球,第k次取到白球” .取k次共有 種取法,而前k-1次取到黑球,第k次取到白球共有 種取法(3)事件C等價(jià)于事件”一共取k次, 第k次取到白球” .取k次共 種取法,第k次取到白球共有 種取法(2)事件B等價(jià)于事件”一共取k次,前k-1次取到黑球,第k例1.8 有n個(gè)人,每個(gè)人都以同樣的概率 被分配在N 間房中的任一間中,求恰好有n個(gè)房間,其中各住一人的概率.解 每個(gè)人都有N種分法,這是可重復(fù)排列問(wèn)題,n個(gè)人共有 種不同分法.因?yàn)闆](méi)有指定是哪幾間房,所以首先選出n間房,有 種選法.對(duì)于其中每一種選法.每間房各住一人共有 種分法,故所求概率為例1.8 有n個(gè)人,每個(gè)人都以同樣的概

19、率 被分例1.9 12名新生中有3名優(yōu)秀生,將他們隨機(jī)地平均分配到3個(gè)班中去,試求:(1)每班各分配到一名優(yōu)秀生的概率;(2)3名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班的概率.解 設(shè)A=“每班各分配到一名優(yōu)秀生”, B=“3名優(yōu)秀生被分配到同一個(gè)班”(1)(2)例1.9 12名新生中有3名優(yōu)秀生,將他們隨機(jī)地平均分配到34、幾何概型若試驗(yàn)具有如下特點(diǎn):上一頁(yè)下一頁(yè)返 回稱(chēng)之為幾何概率.4、幾何概型若試驗(yàn)具有如下特點(diǎn):上一頁(yè)下一頁(yè)返 回稱(chēng)之為幾何上一頁(yè)下一頁(yè)返 回例1.10 在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取兩個(gè)數(shù),求這兩個(gè)數(shù)的乘積小于1/4的概率.解 設(shè)在(0,1)內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)為 ,則即樣本空間是由點(diǎn) 構(gòu)成的邊長(zhǎng)為1的正方

20、形 ,其面積為1.上一頁(yè)下一頁(yè)返 回例1.10 在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取兩個(gè)第三節(jié) 條件概率、全概率公式1、條件概率的定義上一頁(yè)下一頁(yè)返 回定義1.5 設(shè)A,B為兩個(gè)事件,且P(B)0,則稱(chēng) 為事件B已發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率,記為即第三節(jié) 條件概率、全概率公式1、條件概率的定義上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)返 回易驗(yàn)證說(shuō)明 條件概率也是概率,概率的性質(zhì)都可以直接搬過(guò)來(lái)應(yīng)用比如上一頁(yè)下一頁(yè)返 回易驗(yàn)證說(shuō)明 條件概率也是概率,概率的性質(zhì)都概率 P(A|B)與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系聯(lián)系：事件A，B都發(fā)生了 區(qū)別： （1）在P(A|B)中，事件A、B發(fā)生有時(shí)間上的差異，B先A后；在P（AB）中，事件

21、A，B同時(shí)發(fā)生。（2）樣本空間不同，在P(A|B)中，事件B成為樣本空間；在P（AB）中，樣本空間仍為 。因而有 概率 P(A|B)與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系聯(lián)系：事件A，B都Sample space Reduced sample space given event B條件概率 P(A|B)的樣本空間Sample space Reduced sample sp例1.12 某電子元件廠(chǎng)有職工180人,男職工有100人,女職工有80人,男女職工中非熟練工人分別有20人與5人.現(xiàn)從該廠(chǎng)中任選一名職工,求: (1)該職工為非熟練工人的概率是多少? (2)若已知被選出的是女職工,她是非熟練工人的概率又是多

22、少?解 設(shè)A=“任選一名職工為女職工”, B=“任選一名職工為非熟練工人”則 AB=“任選一名職工為非熟練的女職工”(1)(2)例1.12 某電子元件廠(chǎng)有職工180人,男職工有100人,女例1.13 某科動(dòng)物出生之后活到20歲的概率為0.7,活到25歲的概率為0.56,求年為20歲的動(dòng)物活到25歲的概率.解 設(shè)A=“活到20歲以上”, B=“活到25歲以上”則而現(xiàn)年為20歲的動(dòng)物活到25歲的概率即故有例1.13 某科動(dòng)物出生之后活到20歲的概率為0.7,活到2例1.14 一盒中裝有5只產(chǎn)品,其中有3只正品,2只次品,從中取產(chǎn)品兩次,每次取一只,作不放回抽樣,求在第一次取到正品條件下,第二次取到

23、的也是正品的概率.解 設(shè)A=“第一次取到正品”, B=“第二次取到正品”而在第一次取到正品條件下,第二次取到的也是正品的概率即則 AB=“第一次,第二次都取到正品”故例1.14 一盒中裝有5只產(chǎn)品,其中有3只正品,2只次品,從定理1.1設(shè) ,則有2、乘法定理乘法定理可推廣至任意有限個(gè)事件的情形:上一頁(yè)下一頁(yè)返 回同樣,若 ,則有定理1.1設(shè) ,則有2、乘法例1.15 一批彩電,共100臺(tái),其中有10臺(tái)次品,采用不放回抽樣依次抽取3次,每次抽一臺(tái),求第3次才抽到合格品的概率.解例1.15 一批彩電,共100臺(tái),其中有10臺(tái)次品,采用不放3、全概率公式與貝葉斯公式上一頁(yè)下一頁(yè)返 回定義1.6注意:

24、若 是 的一個(gè)劃分,則對(duì)每次試驗(yàn),事件中有且僅有一個(gè)發(fā)生.3、全概率公式與貝葉斯公式上一頁(yè)下一頁(yè)返 回定義1.6注意: 設(shè)1 ，2 ，.，n是的一個(gè)劃分，且(i )0，i1，2，.，n，則對(duì)任一隨機(jī)事件，有 全概率公式全概率公式 設(shè)1 ，2 ，.，n是的一個(gè)劃分，且上一頁(yè)下一頁(yè)返 回上一頁(yè)下一頁(yè)返 回貝葉斯公式上一頁(yè)下一頁(yè)返 回貝葉斯公式(逆概率公式)證明:貝葉斯公式上一頁(yè)下一頁(yè)返 回貝葉斯公式(逆概率公式)證明:例1.18：某工廠(chǎng)生產(chǎn)的產(chǎn)品以100件為一批,假定每一批產(chǎn)品中的次品數(shù)最多不超過(guò)4件,且具有如下的概率:上一頁(yè)下一頁(yè)返 回一批產(chǎn)品中的次品數(shù) 0, 1, 2, 3, 4,概率 0.1

25、, 0.2, 0.4, 0.2, 0.1現(xiàn)抽樣檢驗(yàn),從每批中隨機(jī)取10件,若其中有次品,則認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格,求一批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概率.解:設(shè) “一批產(chǎn)品中有i件次品”, “一批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)”,則例1.18：某工廠(chǎng)生產(chǎn)的產(chǎn)品以100件為一批,假定每一批產(chǎn)品上一頁(yè)下一頁(yè)返 回上一頁(yè)下一頁(yè)返 回 例 設(shè)某工廠(chǎng)有甲、乙、丙三個(gè)車(chē)間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，已知各車(chē)間的產(chǎn)量分別占全廠(chǎng)產(chǎn)量的25 %， 35%， 40%，而且各車(chē)間的次品率依次為 5% ，4%， 2%現(xiàn)從待出廠(chǎng)的產(chǎn)品中檢查出一個(gè)次品，試判斷它是由甲車(chē)間生產(chǎn)的概率解 設(shè)1 ，2 ，3 分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙車(chē)間生產(chǎn)，表示產(chǎn)品為次品 顯然，1 ，2

26、，3 構(gòu)成完備事件組依題意，有 (1) 25% , (2)= 35% , (3) 40%,(|1) 5% , (|2)4% , (|3) 2%(1|) 例 設(shè)某工廠(chǎng)有甲、乙、丙三個(gè)車(chē)間生產(chǎn)同一種產(chǎn)例1.20： 由以往的臨床記錄,某種診斷癌癥的試驗(yàn)為:被診斷者有癌癥,試驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性的概率為0.95;被診斷者沒(méi)有癌癥,試驗(yàn)的反應(yīng)為陰性的概率為0.95.現(xiàn)對(duì)自然人群進(jìn)行普查,設(shè)被試驗(yàn)的人群中患有癌癥的概率為0.005。求:已知試驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性,該被診斷者確有癌癥的概率.解:設(shè)A“患有癌癥”， “沒(méi)有癌癥”，B“試驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性” 例1.20： 由以往的臨床記錄,某種診斷癌癥的試驗(yàn)為:被診斷本題結(jié)果表明,

27、 雖然這兩個(gè)概率都比較高, 但若將此試驗(yàn)用于普查, 則有P(A|B)=0.087, 亦即其正確性只有8.7%(平均1000個(gè)具有陽(yáng)性反應(yīng)的人中大約只有87人確患有癌癥), 如果不注意到這一點(diǎn), 將會(huì)得出錯(cuò)誤的診斷, 這也說(shuō)明, 若將P(A|B)和P(B|A)混淆了會(huì)造成不良的后果.本題結(jié)果表明, 雖然這兩個(gè)概率都比較高, 但若將此試驗(yàn)用于普第四節(jié) 獨(dú)立性1、事件的獨(dú)立性例1.21 某公司有員工100名，35歲以下的青年人40名，每天從員工中隨機(jī)選一人為當(dāng)天值班員，而不論其是否在前一天剛好值過(guò)班，求：（1）已知第一天選出的是青年人，試求第二天選出青年人的概率；（2）已知第一天選出的不是青年人，試

28、求第二天選出青年人的概率；（3）第二天選出青年人的概率。第四節(jié) 獨(dú)立性1、事件的獨(dú)立性例1.21 某公司有員工10上一頁(yè)下一頁(yè)返 回定義1.7 若事件 滿(mǎn)足則稱(chēng)事件 是相互獨(dú)立.定理1.4 若事件A與B相互獨(dú)立,則下列各對(duì)事件也相互獨(dú)立:上一頁(yè)下一頁(yè)返 回定義1.7 若事件 滿(mǎn)足概率論的基本概念上一頁(yè)下一頁(yè)返 回定義1.9上一頁(yè)下一頁(yè)返 回定義1.9關(guān)于獨(dú)立性的幾個(gè)結(jié)論：（可以直接應(yīng)用）2.推廣到任意有限個(gè): 個(gè)事件相互獨(dú)立,則將中任意多個(gè)事件換成對(duì)立事件,所得的n個(gè)事件仍相互獨(dú)立.3.若事件 相互獨(dú)立,則其中任意 個(gè)事件也相互獨(dú)立.4. 個(gè)事件相互獨(dú)立，則其中任何一個(gè)事件發(fā)生的可能性都不受其它一個(gè)或幾個(gè)事件發(fā)生與否的影響.1.5.若事件 相互獨(dú)立,則有實(shí)際問(wèn)題中，事件的獨(dú)立性可根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義來(lái)判斷關(guān)于獨(dú)立性的幾個(gè)結(jié)論：（可以直接應(yīng)用）2.推廣到任意有限個(gè):注意：1若 ,則”事件A與事件B相互獨(dú)立”和”事件A與事件B互不相容” 不能同時(shí)成立2.三個(gè)或以上的事件,兩兩相互獨(dú)立,未必獨(dú)立.例1.22:設(shè)一個(gè)盒中裝有4張卡片,4張卡片上依次標(biāo)有下列各組字母: XXY, XYX, YXX, YYY,從盒中任取一張