1、趣談數(shù)列的通項問題及其思維方式-新課程理念下一種新型教學形式的嘗試數(shù)列問題在高考中常常出現(xiàn)兩類：一類是作為簡單題或中檔題出現(xiàn)的，往往是 緊扣等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項及求和問題，用的最多的是等差、等比數(shù)列的基本 公式，方程的思想（基本量）和常用的求和技巧；另一類是壓軸題，常常與函數(shù)、 方程、不等式、解析幾何、平面向量等綜合起來，或者以應用題的形式出現(xiàn)，而且 總與數(shù)列的遞推關系有關。給定初始條件和遞推關系是確定數(shù)列的一種方法，這類 問題是近年來高考中的重點、熱點問題。通過研究我們得到如下的一些認識：.遞推關系的形成：直接給出，函數(shù)給出，解析幾何給出，應用問題給出， 方程給出。.給出遞推關系求通項，

2、有時可以用歸納，猜想，證明的思路；而證明型的 問題用數(shù)學歸納法往往是一種比較簡單的方法；而給出鋪墊（轉化后的數(shù)列）的問 題常常可以用證明（變換，待定系數(shù)法等）處理，一般難度不大。.給定初始條件和遞推關系往往可以用演繹（推導）的方法求出它的通項公 式，其最主要的思想方法是生成、轉化、疊代。.給定初始條件和遞推關系，有時不一定能求出通項，卻也可以研究它的其他 性質。（如取值范圍，比較大小，其他等價關系等，無非等與不等兩類），這類問題 往往有一定的難度。本文主要采用風趣的“樓層式”講解，更易于理解 數(shù)列中求通項的問題。將n喻為樓的第一層，an喻為樓的第二層，&喻為樓的第三層，則數(shù)列中4,&之間的 關

3、系式可理解為這三層之間的走動關系，那么我們可以 用爬樓層的方式理解n,an，Sn之間的相互轉化關系- 我親切地稱它為“樓層式”的轉化方式。一、“二層”之間的關系式，即f（am,am i,|,am n,n）。型若數(shù)列an的連續(xù)若干項之間滿足關系f（am,ami,|，amn，n）。，由這個遞推 關系及n個初始值確定的數(shù)列，叫做遞推數(shù)列。它主要給出的是“二層”中連續(xù)幾 項之間的遞推關系式（如：an 1 an d、an an 1 f （n）、an 1 / an q、an g(n)、anani f(n)、anan1 g(n)、anpan1 q、anpan1 f(n)、a n 1an p（an1）q、an

4、 pan 1 qan 2等類型），這是數(shù)列的重點、難點問題。求遞推數(shù)列通項的方法較多，也比較靈活，基本方法如：迭加法、迭乘法、轉化為等差、等 比數(shù)列求通項法、歸納一一猜想一一證明法等，其中主要的思路是通過轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決問題。(一)由等差、等比演化而來的“差型”商型”遞推關系(1)由等差數(shù)列演化為“差型”，如：an an 1 f(n)生成：a? ai f(2) , a3 a2f(3),，an 1 an 2 f (n 1), an an 1 f (n)n累加：an(an an 1) (an 1 an 2) (a2 a1) a1= f (n) a1 ,于是只要 f(n)可2以求和就行

5、。(2)由等比數(shù)列演化為“商型”，如： g(n)a n 1生成：a2a1g(2) ,a3a2g(3),，an1an2 g(n 1),anan1 g(n)累乘：an 4亙工絲a1ng(n) a-于是只要g(n)可以求積就行。an 1an 2a12例題1:已知數(shù)列an滿足：a,2,an 2(2n 1,5 2)n求證：anC21nan是偶數(shù)(數(shù)學通訊2004年17期P44)證明：由已知可得:2(2n1)又an而 C21nan 1an an 1an 1 an 2(2n)!n! n!a22n 3 5(2n 1)a1=lan!2 4 6(2n 2)2n 13 5 (2n 1) 2n 3 5(2n 1)n!

6、 n!n!所以anC；n,而an C；。2c2nn 1為偶數(shù)(二)由“差型”、“商型”類比出“和型”、“積型”：即an an 1 f (n)和an 4 1 g(n)例題2:數(shù)列an中相鄰兩項an、an1是方程X2 3nx bn 0的兩根，已知出。17求b51的值。分析：由題意：an + an 13n ， 生成： an 1 +an 23(n 1) 由一得：an 2 an 3所以該數(shù)列的所有的奇數(shù)項成等差，所有的偶數(shù)項也成等差。其基本思路是:生成、相減；與“差型”的生成、相加的思路剛好相呼應。到這里本題的解決就不 在話下了。特例：若an+an 1 c ,則an 2 an,即該數(shù)列的所有的奇數(shù)項均相

7、等，所有的偶數(shù)項也相等。右an an i 2 ,貝U an i an 2 2 由+得：包2 2an所以該數(shù)列的所有的奇數(shù)項成等比，所有的偶數(shù)項也成等比。其基本思路是： 生成、相除；與“商型”的生成、相乘的思路剛好相呼應。特例：若an an 1 c,則an 2 an,即該數(shù)列的所有的奇數(shù)項均相等，所有的偶數(shù)項也相等。(三)可以一次變形后轉化為“差型”、“商型”。如：an pan 1 f(n)、an p(ani)q、an pan 1 qan2 等類型。例題3:設ao是常數(shù)，且an2an i 3n 1 , n N*證明：an(2)n1aonn 1 n3(1)25(2003年新課程理科,22題)分析：

8、這道題目是證明型的，最簡單的方法當然要數(shù)數(shù)學歸納法，現(xiàn)在我們考慮用 推導的方法來處理an2an 1 3n 1的三種方法：方法(1):構造公比為一2的等比數(shù)列an3n ,用待定系數(shù)法可知方法(2):構造差型數(shù)列an(2)n,即兩邊同時除以(2)n得:an(2)n4斤1 ( 3)n ,從而可以用累加的方法處理。(2)32方法(3):直接用疊代的方法處理：an 2an1 3n1 2( 2a023n 2) 3n 1(2)a2( 2)3n 2 3n 1(2)2( 2an 33n 3) ( 2)23n 2 3n 1(2)3an 3 ( 2)23n 3 ( 2) 3n 2 3n 1(2)na0(2)n130

9、( 2)n231( 2)n332( 2)23n 3( 2)3n2 3n 1._.n 3n( 2) a0 一(1)n 1 2n說明：當f(n) c或f(n) an b時，上述三種方法都可以用；當f(n) n2時，若用方法1,構造的等比數(shù)列應該是 an pn2 qn r而用其它兩種方法做則都比較難；用疊代法關鍵是找出規(guī)律，除含 ai外的其它式子，常常是一個等比數(shù)列的求和問題。(四)數(shù)學歸納法：例題4:已知數(shù)列an中，an pan i q,(ai a),求通項公式 TOC o 1-5 h z 解析：利用歸納、猜想、數(shù)學歸納法證明方法也可求得通項公式a。即 a2 pa q22a3pa2 qp apqq

10、 p aq(p 1)a4pa3 qp3ap2qq p3aq(p2p 1)n 1n 2 n 3an pan 1 q p a q(p p p 1)再利用數(shù)學歸納方法證明最后的結論：當n 3時，a2 pa q顯然成立；假設當 n k(k 2)時，ak pk 1a q(pk 2 pk 3 . p 1)成立，由題設知 ak 1 pak q p pk 1a q(pk 2 pk 3 . p 1) qkk 1 k 2pa q(p p . p 1)即當 n k(k 2)時，ak 1 pka q( pk 1 pk 2 . p 1)成立根據(jù)，當n 2時an pn 1a q(pn 2 pn 3 . p 1),然后利用

11、等比數(shù)列求和公式來化簡這個通項an0二、“三層”之間的關系式，即f(Sn，Sm) 0型若數(shù)列an滿足關系f(Sn,Sn 1) 0,由這個關系式及初始值確定的數(shù)列，也可理解為遞推數(shù)列。它主要給出的是“三層”中連續(xù)幾項之間的遞推關系式，解決途徑是利用anSnSn 1將“三層”問題全部走下“二層”，回到f (am,am 1,|,am n,n) 0型或直接能求出Sn ,以下過程依同上述例題5:已知數(shù)列an的首項ai 1 ,前n項和Sn滿足關系式3tSn (2t 3)& i3t (t為常數(shù)且 t 0,n 2,3,4, H|)(1)求證：數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)設數(shù)列斗的公比為f(t),作數(shù)列bn ,1

12、.、使bl 1 , bnf()(n 2,n N ),求 bnbn 112t 3 (1 a2) (2t 3) 3t,a2 .a2 2_,又 3tSn (2t 3)Sn 1 3t , 3tSn 1 (2t 3)Sn 2 3ta1 3t得 3t an (2t3)ana /日 an10 ,行an 1丁 n 3刈an是一個首項為1,公比為2的等比數(shù)列n3t2t 3 2 1 七、(2)由 f(t)，有 bn3t3 t一一 2 一bn是一個首項為1,公差為4的等差數(shù)列，. H3類比例題：已知數(shù)列an滿足a1 2a2 3a3 na1 3(n 1)2n 13n(n 1)(n 2),求 a0的通項公式解析：記 T

13、n a1 2a2 3a3 nan n(n 1)(n 2)Tn 1ai 2a2 3a3 (n 1聞 1 (n 1)n(n 1)(n 2)an 3(n 1),n N 。, nann(n 1) n 2 (n 1) (n 2)三、“一層”與“三層”的關系式，即 f(Sn，n)。型可利用公式：anSnSn1(n 2；直接求出通項a”例題6:已知數(shù)列an的前n項和為Sn2n2n &n2n 1 ,分別求數(shù)列an的通項公式。解析：當n 1時,當 n 2 時，經檢驗 n當 n 1 時，當 n 2 時，經檢驗 na1 S11an2n2 n 2(n1時 a1 1 也適合a1 S132ann2 n 1 (n1 時 a

14、11 不適合1)2 (n 1) 4n 3.二 an 4n 31)2(n 1) 1 2n3(n 1)ann 2n(n 2)“二層”與“三層”的關系式，即 f (Sn,an)0型若數(shù)列an 滿足關系f(Sn,an) 0 ， 由這個遞推關系及初始值確定的數(shù)列， 也是 遞推數(shù)列。它主要給出的是“二層”與“三層”之間的遞推關系式，解決途徑是利用 anSnSn 1 轉化為純粹的“二層”或“三層”問題，即 g(an,an 1) 0 型或h(Sn,Sn 1) 0型(也就是將混合型的轉化為純粹型的)例題7:已知數(shù)列an的前n項和S滿足Sn2an ( 1)n,n 1.(I)寫出數(shù)列an的前3項； (H)求數(shù)列an

15、的通項公式 TOC o 1-5 h z 解析：(I) Sn 2an ( 1)n,n 1. 由 a1 S1 2al 1,得 a11. 由 n 2得 a1 a2 2a2 1 ，得 a20 由 n 3得 a1 a2 a3 2a3 1 ，得 a3 2 (!). Sn2an ( 1)n,n 1. .用 n 1 代 n得 Sn 12an 1 ( 1)n 1 由一得：anSn Sn 1 2an 2an 1 2( 1)n即 an 2an 12( 1)n 由疊代法得 an 2an 1 2( 1)n 2 2an 2 2( 1)n 12(1)n22 n 1n2 an 2 2(1)2( 1)2n 1ai2n 1( 1

16、)2n22_ n(1)2( 1)2 2n 2( 0n 13例題8:數(shù)列an的前n項和記為S，已知4 1,an 12-Sn(n 1,2,3 ).證明：數(shù)列Sn是等比數(shù)列；（2004全國卷（二）理科 n19題)方法(D , an 1Sn11(n 2)Snn(SniSn),0, n整理得 nSn 12(n 1)Sn,方法（2）:事實上,2SnJ .，n故Sn是以2為公比的等比數(shù)列. n我們也可以轉化為Sns7磊，為一個商型的遞推關系,sn sn 1 s2n 1 n n 1 n 2 2n 1n 1田 sn - s1 = 2a1 na12n 2sn1sn2 s1n 1 n 2 n 3 1得Sn 2n 1

17、，下面易求證。n當然，還有一些轉化的方法和技巧，如基本式的變換，象因式分解，取倒數(shù)等 還是要求掌握的。五、二個（或多個）“樓層”（即數(shù)列）之間的遞推關系除以上的轉化方式外，還會出現(xiàn)多棟樓之間的聯(lián)系，即不同數(shù)列之間的遞推關 系，對于該類問題，要整體考慮，根據(jù)所給數(shù)列遞推公式的關系，靈活采用累加、 累乘、化歸等方法求解。例題9:甲、乙兩容器中分別盛有濃度為10% 20%勺某種溶液500ml，同時從甲乙 兩個容器中取出100ml溶液，將近倒入對方的容器攪勻，這稱為是一次調和，記 a1=10%,b=20%經（n-1）次調和后甲、乙兩個容器的溶液濃度為 an、bn，（1）試用 an-1、bn-1 表示

18、an、bn ；（2）求證數(shù)列a n-bn是等比數(shù)列，并求出an、bn的通項。分析：該問題屬于數(shù)列應用題，涉及到兩個不同的數(shù)列an和bn，且這兩者相互之間又有制約關系，所以不能單獨地考慮某一個數(shù)列，而應該把兩個數(shù)列相互聯(lián)系起來。解析：(1)由題意。400&1 100bn1 4。14000 1 100an 1 4K 1an - an 1 - bn 1 , bn - bn 1 - 4 1 TOC o 1-5 h z 5005550055333(2)an-bn= an1bn1 = ( an1bn1)(n2), a n-bnth等比數(shù)列。555又 ai-bi=-10%.an-bn=-10%(-) n-15(1)(2)又a