1、高等數(shù)學(xué)方明亮54廣義積分課件高等數(shù)學(xué)方明亮54廣義積分課件第四節(jié) 廣義積分 第五章 （Improper Integrals)二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分一、無(wú)窮限的廣義積分三、思考與練習(xí)9/14/20222第四節(jié) 廣義積分 第五章 （Improper Integ一、無(wú)窮限（Infinite Intervals）的廣義積分引例 曲線和直線及 x 軸所圍成的開(kāi)口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為 9/14/20223一、無(wú)窮限（Infinite Intervals）的廣義積分若存在 ,則稱此極限為 f (x) 的無(wú)窮限廣義積分, 記作這時(shí)稱廣義積分收斂 ;如果上述極限不存在,就稱廣義積分發(fā)散 .類似地

2、 , 若則定義定義1 設(shè)9/14/20224若存在 ,則稱此極限為 f (x) 的無(wú)窮限廣義積分, 記作則定義( c 為任意取定的常數(shù) )只要有一個(gè)極限不存在 , 就稱發(fā)散 .無(wú)窮限的廣義積分也稱為第一類廣義積分. 并非不定型 ,說(shuō)明: 上述定義中若出現(xiàn) 它表明該廣義積分發(fā)散 .9/14/20225則定義( c 為任意取定的常數(shù) )只要有一個(gè)極限不存在 , 引入記號(hào)則有類似牛 萊公式的計(jì)算表達(dá)式 :9/14/20226引入記號(hào)則有類似牛 萊公式的計(jì)算表達(dá)式 :9/10/20證:當(dāng) p =1 時(shí)有 當(dāng) p 1 時(shí)有 當(dāng) p 1 時(shí)收斂 ; p1 時(shí)發(fā)散 .因此, 當(dāng) p 1 時(shí), 廣義積分收斂

3、, 其值為當(dāng) p1 時(shí), 廣義積分發(fā)散 . 例1 證明第一類 p 積分（課本 例2）9/14/20227證:當(dāng) p =1 時(shí)有 當(dāng) p 1 時(shí)有 當(dāng) p 1 解:思考: 分析:原積分發(fā)散 !注意: 對(duì)廣義積分, 只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零” 的性質(zhì), 否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤 .例2 計(jì)算廣義積分9/14/20228解:思考: 分析:原積分發(fā)散 !注意: 對(duì)廣義積分, 只有在二、無(wú)界函數(shù)（Unbounded Functions）的廣義積分引例:曲線所圍成的與 x 軸, y 軸和直線開(kāi)口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為 9/14/20229二、無(wú)界函數(shù)（Unbounded Functions）

4、的廣而在點(diǎn) a 的右鄰域內(nèi)無(wú)界,存在 ,這時(shí)稱廣義積分收斂 ;如果上述極限不存在,就稱廣義積分發(fā)散 .類似地 , 若而在 b 的左鄰域內(nèi)無(wú)界,若極限數(shù) f (x) 在 a , b 上的廣義積分, 記作則定義則稱此極限為函 定義2 設(shè)9/14/202210而在點(diǎn) a 的右鄰域內(nèi)無(wú)界,存在 ,這時(shí)稱廣義積分收斂 ;如若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個(gè)第一類 而在點(diǎn) c 的無(wú)界函數(shù)的積分又稱作第二類廣義積分,無(wú)界點(diǎn)常稱鄰域內(nèi)無(wú)界 ,為瑕點(diǎn)(奇點(diǎn)) .例如,間斷點(diǎn),而不是廣義積分. 則本質(zhì)上是常義積分, 則定義說(shuō)明: 9/14/202211若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個(gè)第一類 而在點(diǎn) c 的無(wú)界的

5、計(jì)算表達(dá)式 : 則也有類似牛 萊公式的若 b 為瑕點(diǎn), 則若 a 為瑕點(diǎn), 則若 a , b 都為瑕點(diǎn), 則則可相消嗎?注意: 若瑕點(diǎn)9/14/202212的計(jì)算表達(dá)式 : 則也有類似牛 萊公式的若 b 為瑕點(diǎn),提示：例 3求積分x=0是瑕點(diǎn)故x=2是瑕點(diǎn)9/14/202213提示：例 3求積分x=0是瑕點(diǎn)故x=2是瑕點(diǎn)9/10/202證: 當(dāng) q = 1 時(shí),當(dāng) q 1 時(shí)收斂 ; q1 時(shí)發(fā)散 .當(dāng) q1 時(shí)所以當(dāng) q 1 時(shí), 該廣義積分收斂 , 其值為當(dāng) q 1 時(shí), 該廣義積分發(fā)散 .例5 證明廣義積分（課本習(xí)題54 4）9/14/202214證: 當(dāng) q = 1 時(shí),當(dāng) q 1 時(shí)

6、收斂 ; q內(nèi)容小結(jié) 1. 廣義積分積分區(qū)間無(wú)限被積函數(shù)無(wú)界常義積分的極限 2. 兩個(gè)重要的廣義積分9/14/202215內(nèi)容小結(jié) 1. 廣義積分積分區(qū)間無(wú)限被積函數(shù)無(wú)界常義積分的極相轉(zhuǎn)化 .例如 ,(2) 當(dāng)一題同時(shí)含兩類廣義積分時(shí),應(yīng)劃分積分區(qū)間,分別討論每一區(qū)間上的廣義積分.說(shuō)明: (1) 有時(shí)通過(guò)換元 , 廣義積分和常義積分可以互9/14/202216相轉(zhuǎn)化 .例如 ,(2) 當(dāng)一題同時(shí)含兩類廣義積分時(shí),應(yīng)劃分課外練習(xí)習(xí)題54 1 (2) , (4) , (6) , (7) ; 3 (2) , (4) 思考練習(xí)1. 習(xí)題54 5 解：9/14/202217課外練習(xí)習(xí)題54 1 (2) ,