1、夯實(shí)四基，培養(yǎng)四能 例談數(shù)學(xué)新課標(biāo)理念的落實(shí)人民教育出版社小學(xué)數(shù)學(xué)室 丁國(guó)忠關(guān)于數(shù)學(xué)課程目標(biāo)獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力。了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，具有初步的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度。夯實(shí)四基基本知識(shí)、基本技能過(guò)去的“雙基”通常是指：數(shù)學(xué)的基本概念、基本公式、基本運(yùn)算、基本性質(zhì)、基本法則、基本程式、基本定理、基本作圖、基本推理、基本語(yǔ)言、基本方法、基本

2、操作、基本技巧，等等。在“知識(shí)爆炸”的時(shí)代，對(duì)于過(guò)去數(shù)學(xué)“雙基”的某些內(nèi)容，如繁雜的計(jì)算、細(xì)枝末節(jié)的證明技巧等，需要有所刪減；而對(duì)于估算、算法、數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、收集和處理數(shù)據(jù)、概率初步、統(tǒng)計(jì)初步、數(shù)學(xué)建模初步等，又要有所增加。數(shù)學(xué)的基本思想數(shù)學(xué)抽象的思想。數(shù)學(xué)推理的思想。數(shù)學(xué)模型的思想。 （史寧中）數(shù)學(xué)審美的思想。 （顧沛） 重大而關(guān)鍵的問(wèn)題是活的血液，是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要?jiǎng)恿υ慈?希爾伯特？發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題嘗試一下：假如，從A島出發(fā)，過(guò)橋1到B，過(guò)橋2回到A，過(guò)橋6到C，過(guò)橋7回到A，過(guò)橋4到D。此時(shí)，若選擇橋3，要回到A，必然要經(jīng)過(guò)橋1和橋2中的其中一座。若選擇橋5，要回到A，必然要經(jīng)過(guò)橋

3、6和橋7中的其中一座。都不能滿足“每座橋都只許通過(guò)一次并且回到起始地點(diǎn)”的要求。不管選擇A、B、C、D中哪個(gè)地點(diǎn)作為起點(diǎn)，人們都無(wú)法找到一條符合條件的行走路線。經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次失敗的嘗試之后，人們開(kāi)始懷疑這樣一條路線的存在性，可又無(wú)法證明它的不存在性。在數(shù)學(xué)的探究過(guò)程中，嘗試錯(cuò)誤是人們最常使用的方法之一，往往也是最先使用的策略。當(dāng)人們面對(duì)一個(gè)全新的問(wèn)題時(shí)，如果找不到一個(gè)現(xiàn)成的解決方案，經(jīng)常會(huì)把各種可能的途徑都嘗試一遍。雖然試誤的過(guò)程看起來(lái)比較低效，但有時(shí)卻是最有意義的策略。一些便捷、高效的數(shù)學(xué)方法往往是在試誤的基礎(chǔ)上逐步提煉出來(lái)的。1234567數(shù)學(xué)推理的思想（歸納、演繹）：具體問(wèn)題一般化、通過(guò)解決

4、一般性問(wèn)題來(lái)解決特殊問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的思想：從七橋問(wèn)題到一筆畫(huà)問(wèn)題數(shù)學(xué)審美的思想：所以一筆畫(huà)問(wèn)題都可用此法解決 歐拉把這樣的點(diǎn)與線的組合稱為一個(gè)圖，把A、B、C、D稱為圖的頂點(diǎn)，把連接頂點(diǎn)的線段或曲線稱為圖的邊。他注意到，一筆畫(huà)成一個(gè)圖的情況只有兩類。第一類，起點(diǎn)和終點(diǎn)不重合，與起點(diǎn)相連的只有一條出來(lái)的邊，與終點(diǎn)相連的只有一條進(jìn)去的邊，而對(duì)其他各個(gè)頂點(diǎn)而言，如果有進(jìn)去的邊，就必須有出來(lái)的邊，否則就不能滿足“走過(guò)的路線不能重復(fù)”這一條件。第二類，起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，在這種情況下，與每個(gè)頂點(diǎn)相連的邊都必須是偶數(shù)條。為此，歐拉提出了奇點(diǎn)和偶點(diǎn)的概念，即與奇數(shù)條邊相連的頂點(diǎn)稱為奇點(diǎn)，與偶數(shù)條邊相連的點(diǎn)稱為偶點(diǎn)

5、。在此基礎(chǔ)上，歐拉得出了關(guān)于一筆畫(huà)的結(jié)論，即可以一筆畫(huà)成的圖，或者沒(méi)有奇點(diǎn)（起點(diǎn)與終點(diǎn)重合的情況），或者只有兩個(gè)奇點(diǎn)（起點(diǎn)與終點(diǎn)不重合的情況）。除此之外，沒(méi)有其他可能性。 在得出這一結(jié)論以后，“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”就迎刃而解了。分析和解決問(wèn)題論文哥尼斯堡七橋問(wèn)題，直接開(kāi)創(chuàng)了一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支圖論 圖論在解決運(yùn)籌學(xué)、網(wǎng)絡(luò)理論、信息論、控制論、博弈論及計(jì)算機(jī)科學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域的問(wèn)題時(shí)，發(fā)揮出越來(lái)越重要的作用。 圖論中的“圖”并不僅僅是指幾何中的圖，而可泛指現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)活動(dòng)以及科學(xué)研究中各種事物之間的關(guān)系。用點(diǎn)表示事物，用點(diǎn)之間的連線表示事物之間的某種關(guān)系，這樣，點(diǎn)與點(diǎn)之間的若干條連線就構(gòu)成了圖。事實(shí)上，

6、任何一個(gè)包含了某種二元關(guān)系的系統(tǒng)都可以用圖來(lái)模擬。促進(jìn)了另一個(gè)幾何學(xué)分支拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展 拓?fù)鋵W(xué)研究的是幾何圖形在連續(xù)改變形狀時(shí)還能保持不變的一些特性，它只考慮物體間的位置關(guān)系而不考慮它們的距離和大小。七橋問(wèn)題帶來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展 歐拉解決“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”，并不僅僅是解決了生活中的一個(gè)實(shí)際問(wèn)題那么簡(jiǎn)單，他跨出了數(shù)學(xué)發(fā)展史上革命性的一大步。現(xiàn)實(shí)問(wèn)題為數(shù)學(xué)家提供了思考與探索的動(dòng)力和源泉，而數(shù)學(xué)家對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的研究又推動(dòng)著數(shù)學(xué)不斷往前發(fā)展，成為解決新的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的有力工具。如此不斷往復(fù)，才有了今天數(shù)學(xué)科學(xué)的輝煌成就。河岸小島模型的應(yīng)用一班8面紅旗，二班比一班多4面，二班多少面？一班88面紅旗，二班比一班

7、多44面，二班多少面？和一班同樣多的88面一班有88面比一班多44面數(shù)學(xué)的抽象乘法（加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算）：除法（乘法的逆運(yùn)算）：“包含除”：12個(gè)桃，每3個(gè)一份，可以分幾份？“等分除”：12個(gè)桃，平均分成4份，每份幾個(gè)？分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算和整數(shù)四則運(yùn)算的意義在本質(zhì)上完全一致。常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系購(gòu)物問(wèn)題：?jiǎn)蝺r(jià)數(shù)量=總價(jià)行程問(wèn)題：速度時(shí)間=路程工程問(wèn)題：工作效率工作時(shí)間=工作總量糧食問(wèn)題：?jiǎn)萎a(chǎn)量面積=總產(chǎn)量油耗問(wèn)題：百公里油耗路程=總油耗 單位量數(shù)量=總量25個(gè)點(diǎn)80個(gè)點(diǎn)不分主客場(chǎng)北京濟(jì)南南京上海n個(gè)點(diǎn)：1+2+3+4+（n-1）n個(gè)點(diǎn)：21+2+3+4+（n-1）(n-1)n追及問(wèn)題：客車每小時(shí)行40千米，小

8、汽車每小時(shí)行50千米?，F(xiàn)在客車在小汽車前25千米的地方，同時(shí)沿筆直的公路行駛，多長(zhǎng)時(shí)間小汽車能追上客車？?jī)?chǔ)蓄問(wèn)題：爸爸媽媽每月工資總和4500元，家里平均每月支出3000元，余下的錢(qián)存在銀行，幾個(gè)月后能買一臺(tái)價(jià)格6000元的電視機(jī)？【數(shù)學(xué)課本五大奇人】第五名：勻速行駛、從不晚點(diǎn)的勞?；疖囁緳C(jī)；第四名：分工明確、合作默契的良心甲乙包工頭；第三名：一邊注水、一邊放水的瘋狂泳池管理員；第二名：把母雞和兔子裝進(jìn)一個(gè)籠子的變態(tài)老農(nóng)；第一名：早早出門(mén)、卻故意放慢腳步，只等哥哥趕上的傲嬌小明?；顒?dòng)過(guò)程：先動(dòng)手?jǐn)[：1顆、2顆、3顆在擺的過(guò)程中思考如何做到不重復(fù)、不遺漏，培養(yǎng)有序思考能力。如果不擺，能不能寫(xiě)出某

9、個(gè)數(shù)量的珠子能擺出的數(shù)？實(shí)現(xiàn)從直觀到抽象的過(guò)渡。隨著珠子的變化，擺出的數(shù)有什么變化？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？珠子數(shù)從1到9，擺出的數(shù)有什么規(guī)律？珠子數(shù)超過(guò)10，這樣的規(guī)律還存在嗎？數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)十位個(gè)位11102211203312213044132231405514233241506615243342516011102211203312213044132231405514233241506615243342516077162534435261708817263544536271809918273645546372819011102211203312213044132231405514233241

10、506615243342516077162534435261708817263544536271809918273645546372819010192837465564738291111022112033122130441322314055142332415066152433425160771625344352617088172635445362718099182736455463728190101928374655647382911129384756657483921239485766758493134958677685941459687786951569788796167988971789

11、981899001110221120331221304413223140551423324150661524334251607716253443526170881726354453627180991827364554637281901019283746556473829111293847566574839212394857667584931349586776859414596877869515697887961679889717899818990102030405060708090111213141516171819121222324252627282923132333435363738393

12、414243444546474849451525354555657585956162636465666768696717273747576777879781828384858687888989192939495969798999教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：數(shù)的組成、位值制、進(jìn)位制數(shù)學(xué)思考：有序思考、模式、抽象問(wèn)題解決：無(wú)序到有序的過(guò)程、動(dòng)手到動(dòng)腦的過(guò)程、猜想和驗(yàn)證的過(guò)程態(tài)度情感：數(shù)學(xué)美感的滲透、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣、探究的欲望“四基”不應(yīng)僅僅看作是四個(gè)事物簡(jiǎn)單的疊加或混合，而應(yīng)是一個(gè)有機(jī)的整體，是互相聯(lián)系、互相促進(jìn)的。培養(yǎng)四能 概念界定應(yīng)用題？解決問(wèn)題？問(wèn)題解決？應(yīng)用問(wèn)題？數(shù)學(xué)應(yīng)用？從大綱到2001年課標(biāo)

13、到2011年修訂版的變化大綱（試用修訂版）2001年課標(biāo)2011年修訂版課標(biāo)內(nèi)容領(lǐng)域數(shù)與計(jì)算量與計(jì)量幾何初步知識(shí)統(tǒng)計(jì)初步知識(shí)代數(shù)初步知識(shí)比和比例應(yīng)用題實(shí)踐活動(dòng)數(shù)與代數(shù)空間與圖形統(tǒng)計(jì)與概率實(shí)踐與綜合應(yīng)用數(shù)與代數(shù)圖形與幾何統(tǒng)計(jì)與概率綜合與實(shí)踐一、總目標(biāo) 第2條 體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力。問(wèn)題解決初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力。獲得分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)。學(xué)會(huì)與他人合作交

14、流。初步形成評(píng)價(jià)與反思的意識(shí)。2011年修訂版課標(biāo)對(duì)“問(wèn)題解決”的界定強(qiáng)調(diào)基本過(guò)程第一學(xué)段第二學(xué)段一班8面紅旗，比二班多4面，二班多少面？8+4=12（面）到底誰(shuí)多？閱讀與理解回顧與反思四下 過(guò)去：以封閉性問(wèn)題、常規(guī)性問(wèn)題、演繹性問(wèn)題居多。曹飛羽（1994）：適當(dāng)出一些開(kāi)放性的題目，適當(dāng)出一些探索規(guī)律性的題目，適當(dāng)出一些非常規(guī)的題目。封閉性問(wèn)題開(kāi)放性問(wèn)題常規(guī)性問(wèn)題探索性問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題純數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單問(wèn)題綜合問(wèn)題經(jīng)典問(wèn)題緊跟時(shí)代的問(wèn)題 覆蓋的范圍大大擴(kuò)展三下：兩位數(shù)乘兩位數(shù)一下：找規(guī)律五下：長(zhǎng)方體和正方體五下：因數(shù)和倍數(shù)呈現(xiàn)一般性的問(wèn)題解決策略三上：測(cè)量三上：長(zhǎng)方形和正方形三下：四則運(yùn)算四下：數(shù)學(xué)廣

15、角雞兔同籠二上：表內(nèi)乘法（二）體現(xiàn)問(wèn)題解決策略的多樣性一下：100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)一下：100以內(nèi)數(shù)的加減法解決同一問(wèn)題的不同層次的策略二下：有余數(shù)除法五上：簡(jiǎn)易方程突出本質(zhì)的數(shù)量關(guān)系六上：分?jǐn)?shù)除法培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的能力提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要，因?yàn)榻鉀Q問(wèn)題也許是一個(gè)數(shù)學(xué)上或?qū)嶒?yàn)上的技能而已，而提出新的問(wèn)題、新的可能性，從新的角度去看舊的問(wèn)題，卻需要?jiǎng)?chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步。 愛(ài)因斯坦發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題應(yīng)貫穿于問(wèn)題解決的整個(gè)過(guò)程。 過(guò)渡性問(wèn)題 輔助性問(wèn)題如果你不能解決所提出的問(wèn)題，可先解決一個(gè)與此相關(guān)的問(wèn)題。你能不能想出一個(gè)更容易著手的相關(guān)問(wèn)題？一個(gè)更普遍的問(wèn)題？一個(gè)更特

16、殊的問(wèn)題？一個(gè)類似的問(wèn)題？ 波利亞例如：三角形內(nèi)角和是否都是180度？ 直角三角形內(nèi)角和是否都是180度？發(fā)展性問(wèn)題問(wèn)題已知信息未知信息（問(wèn)題）已知信息未知信息（問(wèn)題）-六上：圓圓的外切正方形面積是4r2。外切正方形與圓之間的面積是0.86r2。內(nèi)接正方形的面積是2r2。圓與內(nèi)接正方形之間的面積是1.14r2。外切正方形的面積是內(nèi)接正方形面積的2倍。外切正方形與內(nèi)接正方形之間的面積正好是和內(nèi)接正方形面積相等，都是2r2。為什么鐘面、量角器的刻度要這樣設(shè)計(jì)？這個(gè)礦泉水瓶的容積是多少？六下：圓柱與圓錐這一部分的改革要著眼于數(shù)學(xué)思維品質(zhì)與數(shù)學(xué)精神的全面提高。三個(gè)層面的目標(biāo)： 獲得某個(gè)具體問(wèn)題的解答。

17、 一般性解決問(wèn)題能力的獲得。猜想的能力、探究的能力、推理的能力、調(diào)控的能力、反思的能力、課題研究的能力 數(shù)學(xué)精神的培養(yǎng)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心、理性思維、批判性思維 環(huán)節(jié)一：探索活動(dòng)，利用3顆珠子尋求移動(dòng)的方法7次環(huán)節(jié)二：繼續(xù)活動(dòng)，探索4顆珠子如何移動(dòng)？多少次？珠子顆數(shù) 3 4移動(dòng)次數(shù) 7 15環(huán)節(jié)三：出示梵塔金箔問(wèn)題 在貝拿勒斯的圣廟里，安放著一個(gè)黃銅板，板上插著三根寶石針。每根針像韭菜葉那樣粗細(xì)。印度神梵天在創(chuàng)造世界的時(shí)候，在其中一根針上從下到上放下了由大到小的64個(gè)金片，這就是所謂的梵塔。 不論白天黑夜，都有一個(gè)值班的僧侶把這些金片在三根針上移來(lái)移去：一次只能移一片，并且要求不管在哪根針上，小

18、片永遠(yuǎn)在大片的上面。當(dāng)所有的64片都從梵天創(chuàng)造世界時(shí)所放的那根針上移到另外一根針上時(shí)，世界就將在一聲霹靂中消滅，梵塔、廟宇和眾生都將同歸于盡。環(huán)節(jié)四：由簡(jiǎn)單問(wèn)題研究起珠子顆數(shù) 1 2 3 4移動(dòng)次數(shù) 1 3 7 15環(huán)節(jié)五：猜想珠子顆數(shù)與移動(dòng)次數(shù)之間的關(guān)系珠子顆數(shù) 1 2 3 4移動(dòng)次數(shù) 1 3 7 1512+132+172+122-1222-12222-1環(huán)節(jié)六：應(yīng)用規(guī)律，解決問(wèn)題珠子顆數(shù) 1 2 3 4 5 6移動(dòng)次數(shù) 1 3 7 15 ？ ？2222=2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222=222222222222222222222222222222222222222222222