1、常微分方程第1頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三10.1 常微分方程的一般概念10.1.1 常微分方程的一般概念10.1.2 微分方程的解第2頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三定義 1凡含有未知函數導數 (或微分) 的方程，稱為微分方程， 有時簡稱為方程，未知函數是一元函數的微分方程稱做常微分方程， 未知函數是多元函數的微分方程稱做偏微分方程. 本教材僅討論常微分方程，并簡稱為微分方程.10.1.1 常微分方程的一般概念第3頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三(1) y= kx, k 為常數；例如，下列方程都是微分方程

2、 (其中 y, q 均為未知函數).(2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0；(4)(5)(3)第4頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三微分方程中出現的未知函數最高階導數的階數，稱為微分方程的階. 例如，方程 (1) - (3) 為一階微分方程，通常，n 階微分方程的一般形式為F(x, y, y, , y(n) = 0，其中 x 是自變量， y 是未知函數，F(x, y, y, , y(n)是已知函數，而且一定含有 y(n).方程 (4) - (5) 為二階微分方程.10.1.2 微分方程的解第5頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星

3、期三定義 2 任何代入微分方程后使其左右兩端相等的函數，都叫做該方程的解. 若微分方程的解中含有任意常數C的個數與方程的階數相同， 且這些任意常數是相互獨立的（即不能合并），則稱此解為該方程的通解(或一般解). 若再給出若干個條件（稱為初始條件），以確定通解中的所有任意常數，所得到的解，稱為微分方程滿足初始條件的特解.第6頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三例如方程 y = 2x 的解 y = x2 + C 中含有一個任意常數且與該方程的階數相同， 因此，這個解是方程的通解； 如果求滿足條件 y(0) = 0 的解，代入通解 y = x2 + C 中，得 C = 0，那

4、么 y = x2 就是方程 y = 2x 的特解.第7頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三二階微分方程的初始條件是即 y(x0) = y0 與 y(x0) = y0，一個微分方程與其初始條件構成的問題，稱為初值問題.求解某初值問題，就是求方程的特解.通常一階微分方程的初始條件是第8頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三例 1 驗證函數 y = 3e x xe x 是方程y + 2y + y = 0的解.解 求 y = 3e x xe x 的導數，y = - 4e x + xe - x,y = 5e x - xe - x,將 y，y 及 y 代入原方

5、程的左邊，(5e x - xe - x) + 2(- 4e x + xe - x) + 3e x xe x = 0，即函數 y = 3e x xe x 滿足原方程，得有所以該函數是所給二階微分方程的解.第9頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三 得 C = 2，故所求特解為 y = 2x2 . 例 2 驗證方程 的通解 為 y = Cx2 (C 為任意常數)，并求滿足初始條件 y|x = 1 = 2 的特解.解 由 y = Cx2 得y = 2Cx,易證函數 y = Cx2 滿足原方程.又因為該函數含有一個任意常數， 所以 y = Cx2 是一階微分方程將初始條件 y|x

6、 = 1 = 2 代入通解，第10頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三例3. 列車在平直路上以的速度行駛, 獲得加速度求制動后列車的運動規(guī)律.解: 設列車在制動后 t 秒行駛了s 米 ,已知由前一式兩次積分, 可得利用后兩式可得因此所求運動規(guī)律為即求 s = s (t) .制動時第11頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三一般地，微分方程的每一個解都是一個一元函數 y = y(x) ，其圖形是一條平面曲線，我們稱它為微分方程的積分曲線. 通解的圖形是平面上的一族曲線，稱為積分曲線族， 特解的圖形是積分曲線族中的一條確定的曲線. 這就是微分方程的通解

7、與特解的幾何意義.第12頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三10.2 可分離變量的微分方程10.2.1 可分離變量的微分方程10.2.2 齊次微分方程第13頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三例如：形如的微分方程，稱為可分離變量的微分方程.(1) 分離變量該類微分方程可按照下面方法求解：10.2.1 可分離變量的微分方程(2) 兩邊積分第14頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三（3） 整理后即可得方程通解.我們約定在微分方程這一章中不定積分式表示被積函數的一個原函數，而把積分所帶來的任意常數明確地寫上.第15頁，共121頁

8、，2022年，5月20日，20點33分，星期三例 1 求方程解分離變量，得兩邊積分，得這就是所求方程的通解第16頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三例 2 求方程解兩邊積分，得化簡得分離變量，得當y = 0時， 原方程是成立的，綜上所述原方程的通解是第17頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三對數的一些運算公式：第18頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三(1)為了簡便起見，本章可采用下列不加絕對值的積分：(2)當左邊是y的對數時，不定常數通常取lnC .第19頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三求解過

9、程可簡化為：兩邊積分，得整理即得通解：其中 C 為任意常數.分離變量，得例 2 求方程第20頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三例 3 求方程 dx + 2xydy = y2dx + 2ydy 滿足初始條件 y(4) =2 的特解.解將方程整理為分離變量，得兩邊積分，有化簡，得原方程的通解：即第21頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三將初始條件 y(4) =2 代入，得 C = 1.故所求特解為第22頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三例 4解分離變量得即兩邊積分，得因此方程的通解為第23頁，共121頁，2022年，5月2

10、0日，20點33分，星期三作業(yè)：P1982P2001（1）（3）（5）（7） 2 (2)(4)第24頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三知識回顧：（1）微分方程中出現的未知函數最高階導數的階數，稱為微分方程的階；（2）通解、特解；（3）可分離變量微分方程的求解：分離變量；兩邊積分；整理即得微分方程的通解。第25頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三形如的方程叫做齊次微分方程 .令代入原方程得解法:10.2.2 齊次微分方程此類方程可通過變換轉化為可分離變量的微分方程.第26頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三兩邊積分, 得積

11、分后再用代替 u,便得原方程的通解.分離變量，得第27頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三例 1 求解微分方程解代入方程得，積分得，代回原變量，即得通解，第28頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三原方程可寫成 解 例2 求解方程代入上式，得第29頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三兩邊積分 得或寫成分離變量 得 第30頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三例 3 求解微分方程解原方程可轉化為：第31頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三微分方程的解為第32頁，共121頁，2022

12、年，5月20日，20點33分，星期三10.3 一階線性微分方程10.3.0 一階線性微分方程10.3.1 一階線性齊次微分方程的通解10.3.2 一階線性非齊次微分方程的通解第33頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三形如的方程稱為一階線性微分方程，簡稱一階線性方程. “線性”是指在方程中含有未知函數y和它的導數的一次項，的項都是關于y、10.3.0 一階線性微分方程其中q(x)稱為自由項。第34頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三稱為一階線性齊次微分方程，簡稱線性齊次方程， 0，則稱方程 為一階線性非齊次微分方程，簡稱線性非齊次方程. 通常方程

13、稱為方程 所對應的線性齊次方程.若 q (x)若 q (x) 0，則方程成為第35頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三一階線性齊次方程是可分離變量方程.兩邊積分，得所以，方程的通解公式為分離變量，得10.3.1 一階線性齊次微分方程的通解第36頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三例 1 求方程 y + (sin x)y = 0 的通解.解所給方程是一階線性齊次方程，且 p(x) = sin x，由通解公式即可得到方程的通解為則一階線性齊次方程的通解公式為第37頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三例 2求方程 (y - 2x

14、y) dx + x2dy = 0 的通解.解將所給方程化為如下形式：這是一個線性齊次方程，則由通解公式得該方程的通解第38頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三作業(yè)：P2001（2）(4) (6)（8）2（1）（3）(5)第39頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三知識回顧：(1)形如的方程叫做齊次微分方程 .令代入原方程得解法:下面按照分離變量方程來求解。第40頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三（2）形如的方程稱為一階線性微分方程， 其中q(x)稱為自由項。稱為一階線性齊次微分方程； 0，則稱為一階線性非齊次微分方程；若

15、q (x)若 q (x) 0，則方程成為(3)一階線性齊次方程的通解公式為第41頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三對比發(fā)現只差自由項不同，10.3.2 一階線性非齊次微分方程的通解已知一階線性齊次方程的通解公式為因此猜想將齊次方程通解中的C改為函數u(x),第42頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三第43頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三這就是一階線性非齊次方程的通解。第44頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三上述討論中所用的方法，是將常數 C 變?yōu)榇?再通過確定u(x) 而求得方程解的方法，

16、稱為常數變易法.函數 u(x)，第45頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三例 1 求方程 2y - y = ex 的通解.解法一 使用常數變易法求解將所給的方程改寫成下列形式：這是一個線性非齊次方程，它所對應的線性齊次方程為設所給線性非齊次方程的通解為第46頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三將 y 及 y 代入該方程，得于是，有因此，原方程的通解為第47頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三解法二將所給的方程改寫成下列形式：例 1 求方程 2y - y = ex 的通解.第48頁，共121頁，2022年，5月20日，20點

17、33分，星期三則原方程的通解為第49頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三例 2 求解初值問題：解將所給的方程改寫成下列形式：則第50頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三因此，所給線性非齊次方程的通解為第51頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三將初始條件 y(p) = 1 代入，所以，所求的特解為得 C = p，第52頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三解將所給的方程改寫成下列形式：例 3 求方程 的通解.第53頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三因此，所給線性非齊次方程的通解

18、為第54頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三一階線性非齊次方程的通解為第55頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三例 4求方程 y2dx + (x - 2xy - y2)dy = 0 的通解.解將原方程改寫為則q(y) = 1.第56頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三代入一階線性非齊次方程的通解公式，有即所求通解為第57頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三作業(yè)：P2021（1）(要求用2種方法求解)（3）(5)2 （2）（4）第58頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三(1)一

19、階線性非齊次方程的通解：知識回顧：（2）一階線性非齊次方程的通解：第59頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三10.4 幾種可降階的二階微分方程型的微分方程型的微分方程型的微分方程第60頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三觀察微分方程型的微分方程可知該方程右端僅含有自變量x的函數。若令則有同理，可依次求出第61頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三例1 解微分方程 解 積分一次得 再積分一次得 第62頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三例2 解微分方程 解 原方程整理后得 第63頁，共121頁，2022

20、年，5月20日，20點33分，星期三這個方程的特點是右端不顯含未知函數y，. 的一階方程如果能求出上述方程的通解 再由方程 可求得原方程的通解型的微分方程可設代入原方程，可得則 第64頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三例3 求微分方程 的通解。解 這是不顯含 y 的方程，令 則 于是原方程為 第65頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三第66頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三例4. 求解解代入方程得分離變量積分得第67頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三利用于是有利用因此所求特解為第68頁，共12

21、1頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三此類方程的特點是不顯含 x ，這里的 p是y 的函數，是x 的復合函數。 則 于是原方程化為： 這是以y為自變量, p為未知函數的一階方程型的微分方程可設 ，第69頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三假設能求出該方程的通解： 即 利用分離變量法可進一步求得原方程的通解為 第70頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三例5 求微分方程 的通解 解 令 代入原方程得分離變量，得 兩邊積分得 則第71頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三分離變量，得 兩邊積分得 即得原微分方程的通解：

22、 第72頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三作業(yè)：P2051(1)(3)2（2）3 （2）第73頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三(1)知識回顧：（2）型的微分方程;解法：積分n次可設型的微分方程;（3）解法：型的微分方程;解法：可設則第74頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三10.5.1 二階線性微分方程解的結構10.5二階線性微分方程10.5.2 二階線性常系數齊次微分方程10.5.3 二階線性常系數非齊次微分方程10.5.0 二階線性微分方程的基本概念第75頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期

23、三二階微分方程的如下形式y(tǒng) + p(x)y + q(x)y = f (x) 稱為二階線性微分方程，簡稱二階線性方程. f (x) 稱為自由項。 方程中 p(x)、 q(x) 和 f (x) 都是自變量的已知連續(xù)函數. 這類方程的特點是：右邊是已知函數或零，左邊每一項含 y 或 y 或 y， 且每項均為 y 或 y 或 y 的一次項。例如 y + xy + y = x2 就是二階線性方程.而 y + x(y)2 + y = x2 就不是二階線性方程.10.0 二階線性微分方程的基本概念第76頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三y + p(x)y + q(x)y = f (

24、x) 當 f (x) 0 時，稱為二階線性非齊次微分方程，當 f (x) 恒為 0 時，稱為二階線性齊次微分方程，y + p(x)y + q(x)y = 0即第77頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三定理 1 (1)如果函數 y1 線性齊次方程的解，y = C y1也是該方程的解，證因為 y1 方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解，所以有其中 C是任意常數.則函數證畢！10.5.1 二階線性微分方程解的結構第78頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三(2)如果函數y1與y2是線性齊次方程的兩個解，y = y1 + y2也是該方程的

25、解.證因為 y1 與 y2 是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0和所以有則函數兩式相加得的兩個解，第79頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三如果函數 y1 與 y2 是線性齊次方程的兩個解，y = C1 y1 + C2 y2也是該方程的解，其中 C1， C2 是任意常數.則它們的線性組合由上面的定理，我們可以綜合得到如下結論：第80頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三定義如果存在n個不全為 0 的常數使在區(qū)間 I 上恒成立.則稱函數 在區(qū)間I上是線性相關的，否則稱為線性無關.例如，函數和函數因為不存在兩個不全為 0 的常數 k1和

26、k2，使得對所有的x都有是線性無關.第81頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三事實上, 因此，如果兩個函數的比是常數，則它們線性相關；如果不是常數，則它們線性無關.當 y1(x) 與 y2(x) 線性相關，第82頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三定理 2如果函數 y1 與 y2 是二階線性齊次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的兩個線性無關的特解，y = C1 y1 + C2 y2是該方程的通解，由前面結論知 y = C1 y1 + C2 y2 也是該方程的解.又因為 y1 與 y2 線性無關，即 y1 與 y2 之比不為常數，

27、故C1 與C2不能合并為一個任意常數，因此 y = C1 y1 + C2 y2 是二階線性齊次方程的通解.則其中 C1, C2為任意常數.所以它們中任一個都不能用另一個 ( 形如 y1 = ky2 或 y2 = k1 y) 來表示.第83頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三求二階線性齊次方程通解的一般步驟為：求線性齊次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的線性無關的兩個特解 y1 與 y2；則該方程的通解 y=C1 y1 + C2 y2.第84頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三定理 3如果函數 y* 是線性非齊次方程的一個特解，則

28、線性非齊次方程的通解是證依題意有y* + p(x)y* + q(x)y* = f (x)，是該方程所對應的線性齊次方程的通解，第85頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三將兩式相加，得 因此， 是線性非齊次方程的通解。第86頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三求二階線性非齊次方程通解的一般步驟為：(1) 求線性齊次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的線性無關的兩個特解 y1 與 y2，得該方程的通解 y=C1 y1 + C2 y2.(2) 求線性非齊次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的一個特解 y*.那么，

29、線性非齊次方程的通解為第87頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三如果二階線性齊次微分方程為y + py + qy = 0 ，其中 p、 q 均為常數， 則稱該方程為二階線性常系數齊次微分方程.10.5.2 二階線性常系數齊次微分方程第88頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三y + py + qy = 0 考慮到左邊 p，q 均為常數， 我們可以猜想該方程具有 y = ex 形式的解，其中 為待定常數.將由于ex 0，因此，只要 滿足方程y = ex 就是式的解.代入上式，得第89頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三代數方程

30、2 + p + q = 0，稱為微分方程特征方程的根稱為特征根.的特征方程；y + py + qy = 0 例如，其特征根是第90頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三特征方程是個一元二次方程，其解有三種可能，因而它的通解為所以 y1 與 y2 線性無關，都是 的解，則函數1 特征方程具有兩個不相等的實根 1 與 2；下面根據這三種可能分別討論齊次微分方程通解.第91頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三例 1求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解.解該方程的特征方程為 2 2 3 = 0, 其對應的兩個線性無關的特解為 y1 = e- x

31、與 y2 = e3x,所以方程的通解為它有兩個不等的實根 1 = - 1， 2 = 3,第92頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三例 2求方程 y - 5y + 6y = 0 的通解.解該方程的特征方程為 2 5 + 6 = 0, 所以方程的通解為它的特征根 是1 = 2， 2 = 3,第93頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三作業(yè)：P2122（1）（2）3（1）第94頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三知識回顧：（1）如果函數 y1 與 y2 是線性齊次方程的兩個解，y = C1 y1;都是該方程的解，其中 C1， C2

32、 是任意常數.則y + p(x)y + q(x)y = f (x) y + p(x)y + q(x)y = 0且如果函數 y1 與 y2 是線性無關，則方程的通解就是y = y1 + y2;y = C1 y1 + C2 y2y = C1 y1 + C2 y2第95頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三y + py + qy = 0（2）二階線性常系數齊次微分方程：（其中 p、 q 均為常數）.其特征方程是方程的通解為1 特征方程具有兩個不相等的實根 1 與 2,第96頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三y + py + qy = 010.5.2 二

33、階線性常系數齊次微分方程2 特征方程具有兩個相等的實根，這時，由特征根可得到常系數線性齊次方程的一個還需再找一個與 y1 線性無關的特解 y2，即特解 y1 = ex.其特征方程是第97頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三將 y2 及其一階導數y2 = ex (u(x) + 2u(x) + 2u(x)，為此，設 y2 = u(x)y1，其中 u(x)為待定函數.y2 = (uex) = exu(x) + u(x)，二階導數代入方程 y+ py + qy = 0 中，得注意到所以有 2 + p + q = 0及 2 + p = 0.ex 0且是特征方程的重根，第98頁，共

34、121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三因此只要 u(x) 滿足則 y2 = uex就是為簡便起見，取方程 u(x) = 0 的一個解 u = x，于是得到方程且與 y1 = ex 線性無關的解:因此，式的通解為式的解。第99頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三解該方程的特征方程是該方程有兩個線性無關的解：例1因該方程的通解是第100頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三解該方程的特征方程是例2因該方程的通解是第101頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三3 特征方程具有一對共軛復根這時有兩個線性無關的特解這是兩

35、個復數解，為了便于在實數范圍內討論問題，我們再找兩個線性無關的實數解. 由歐拉公式 可得第102頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三于是有 由定理 1 知，以上兩個函數 eax cosbx 與 eax sinbx均為 式的解，且它們線性無關.因此，這時方程的通解為第103頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三例 3求方程 2y + 2y + 3y = 0 的通解.解該方程的特征方程為 22 + 2 + 3 = 0，它有共軛復根所以方程的通解為第104頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三例 4求方程 y + 4y = 0 的通解.解所以方程的通解為2 + 4 = 0，該方程的特征方程為它有共軛復根 1,2 = 2i. 即a = 0，b = 2. 第105頁，共121頁，2022年，5月20日，20點33分，星期三 上述求二階常系數線性齊次方程通解的方法稱為特征根法，其步驟是