1、習(xí)題 8.1 1. 設(shè)有一平面薄板 （不計其厚度）,占有 Oxy 平面上的閉區(qū)域 D ,薄板上分布著面密度為 , x y 的電荷,且 , x y 在 D 上連續(xù),試用二重積分表達(dá)該板上的全部電荷 Q ；解：據(jù)題意,薄板區(qū)域 D 是 Oxy平面上的有界閉域, , x y 是定義在 D上的面密度函數(shù),那么用任意曲線把 D 分成 n 個可求面積的小區(qū)域 1 , 2 , n,以 i 表示小區(qū)域的面積,這些小區(qū)域構(gòu)成了 D 的一個分割 T,在每個 i上任取一點(diǎn) n i , i,那么電荷 Q即為 D 上的一個積分和 Q u i , i i；當(dāng) d 足夠小時,i 1 nQi1ui,iiDu x y d2.

2、以下二重積分表達(dá)怎樣的空間立體的體積？試畫出以下空間立體的圖 形：（1）Dx2y21d,其中區(qū)域D是圓域x22 y1；解：（1）在圓域x22 y1上以拋物面z2x2y21 為頂?shù)那斨w的體積；（2）Dyd,其中區(qū)域 D 是三角形域x0,y0,xy1；解： 在三角形域 D上以平面z2y為頂?shù)闹w的體積；131.8I0.50-0.5-1-0.510.80.5000.20.40.60.811.60.6z軸0.41.41.20.210110.50y 軸x軸-1設(shè)12 xy（1）其中 D1 xy|1 x 12 y 2（2）23dD 1又I2D2x2y23d其中 D2 xy|0 x 1 0y 21 /

3、19試?yán)枚胤e分的幾何意義說明 I 1與 I 2 的關(guān)系解 I1表示由曲面 z x 2 y 2 3與平面 x 1 y 2 以及 z 0 圍成的立體 V 的體積I 2 表示由曲面 z x 2 y 2 3與平面 x 0 x 1 y 0 y 2 以及 z 0 圍成的立體 V1的體積明顯立體 V關(guān)于 yOz面、 xOz面對稱因此 V 1 是 V位于第一卦限中的部分故V 4V1即 I 1 4I 23利用二重積分的定義證明1d 其中為 D的面積D證明 由二重積分的定義可知nDf x y dlim 0i1fi,ii其中i 表示第 i 個小閉區(qū)域的面積此處 f x, y1, 因而 f 1, 所以nDdlim

4、 0i1ilim0fi,ii2kf x y dkf x y d 其中 k 為常數(shù) DDnn證明Dkf x y dlim 0i1kfi,iilim 0ki1n1i 和2i , klim 0i1fi,iikDf x y d3f x y df x y df x y dDD 1D 2其中 D D1D2D1、D2為兩個無公共內(nèi)點(diǎn)的閉區(qū)域證明 將 D1和 D2分別任意分為 n1和 n2個小閉區(qū)域n1 n2 n, 作和令各nfn 1i 1n 21fi 2,i 2i21,2, 就有i1i,iii 11fi1,i 1i21i 和2i 的直徑中最大值分別為1 和2, 又max2 / 19即nin 1n 2i2,i

5、2i2lim 0i1f ,ilim 1 0i 11fi 1,i 1i 1lim 2 0i21ff x y df x y df x y d4y 軸與直線DD 1D2依據(jù)二重積分的性質(zhì)比較以下積分大小1xy 2d與, xy 3d其中積分區(qū)域 D是由 x 軸DDx y 1 所圍成解 區(qū)域 D為D xy|0 x 0 yx y 1因此當(dāng) xyD時有2 2 x y3 x y2 從而xy 2dxy d 3DxDy3 d其中積分區(qū)域 D是由圓周 x 22 y 12xy 2d與DD所圍成解 區(qū)域 D如下列圖 由于直線 x y 1 與圓 x 2 2 y 1 2 2 相切,故 D位于直線 x y 1 的上方 所以當(dāng)

6、 x y D時 x y 1 從而 x y 3 x y 2 因而2 3 x y d x y dD D3 ln x y d 與 x y 3d 其中 D是三角形閉區(qū)域 三角頂點(diǎn)分別為 1D D0, 1 1, 2 0解 區(qū)域 D如下列圖 明顯當(dāng) x y D時 1 x y 2 從而 0 ln x y 1 故有 ln x y 2 ln x y因而 ln x y 2d ln x y dD D4 ln x y d 與 x y 3d 其中 D x y|3 x 5 0 y 1D D解 區(qū)域 D如下列圖 明顯 D位于直線 x y e 的上方 故當(dāng) x y D時, x y e從而 ln x y 1因而 ln x y

7、2 ln x y, 故 ln x y d ln x y 2dD D5 利用二重積分的性質(zhì)估量以下積分的值3 / 191Ixy xy d其中 D xy| 0 x 1 0y 1D解 由于在區(qū)域 D上 0 x 1 0y 1所以 0 xy 1, 0 x y 2進(jìn)一步可得于是 0Dxy x y 2y dD2d0 dxy xD即0 xy xy d2D2I2 sinx2 sinyd, 其中 D x y| 0 x 0 yD解 由于 0 sin2x 1 0sin2y 1所以 0 sin2x sin2y 1 于是可得0 dsin2xsin2yd1 dDDD即02 sinxsin2yd2D3Ixy1 d, 其中 D

8、 xy| 0 x 1 0y 2D解 由于在區(qū)域D上 0 x 1 0 y 2 所以 1 x y 1 4 于是可得d x y 1 d 4 dD D D即 2 x y 1 d 8DI x 24 y 29 d , 其中 D x y| x 2 y 24D解 在 D上 由于 0 x 2 y 2 4 所以 9 x 2 4y 2 9 4 x 2 y 2 9 25于是 9 d x 24 y 29 d 25 dD D D2 2 2 29 2 x 4 y 9 d 25 2D即362 x42 y9 d100D4 / 19習(xí)題 8.2 1化二重積分f x y dxdy為二次積分 寫出兩種積分次序 DD 1D xy| |

9、x|1 | y|11 x y 2圍成的區(qū)域2x解 D為矩形區(qū)域所以Df x y dxdy1dx1f x y dy11Df x y dxdy1dy1f x y dx11 2D是由 y 軸y 1 及 y x 圍成的區(qū)域解 如將 D表示為 0 x 1x y 1就Df x y dxdy1dx1f x y dy0 x如將 D表示為 0 y 1 0 x y就Df x y dxdy1dyyf x y dx00 3D是由 x 軸y ln x 及 x e 圍成的區(qū)域解 如將 D表示為 1 x e 0y ln x就Df x y dxdyedxlnxf x y dy10如將 D表示為 0 y 1 e y x e 就

10、Df x y dxdy1dyef x y dx0ey 4D是由 x軸圓 x2 y2 2x 0在第一象限的部分及直線解 如將 D表示為y 0 x 10y2x2 x 及 1 x 2 0y 2 xx 2 y2 2x 0就f x y dxdy1dx02x x2f x y dy2dx2xf x y dyx y 2010O1如將 D表示為 0 y 111y2x2y就Df x y dxdy1dy2yy2f x y dx0115 / 19 5D是由 x 軸與拋物線 y 4 x2 在其次象限的部分及圓x2 y 2 4y 0 第一象限部分圍成的區(qū)域 解 如將 D表示為2 x 0 0y 4 x2及 0 x 2Oy

11、4 x21 yx 2 y2 4y 024x 2y24x2就Df x y dxdy0dx4x2f x y dy2dx24x 2f x y dy20024x2x1如將 D表示為 0y 44yx4yy2就Df x y dxdy4dy4yy 2f x y dx04yy 2交換二次積分的次序 提示交換二次積分的次序要先依據(jù)原積分寫出積分區(qū)域不等式再依據(jù)不等式畫出積分區(qū)域然后依據(jù)圖形寫出另一種形式的積分區(qū)域不等式最后由不等寫出二次積分 12dxx2f x y dy8dx8f x y dyO128x1x2x解 積分區(qū)域為D xy|1x 2 x y x2 xy|2x 8 x y 8積分區(qū)域仍可以表示為 D x

12、y|1y 4yx y xy|4y 8 2x y于是原式4 1dyyyf x y dx8dyyf x y dx42 21dyyf x y dx2dy2yf x y dx0010解 積分區(qū)域為D xy|0y 1 0 x y xy|1y 20 x 2 y 積分區(qū)域仍可以表示為6 / 19 D xy|0 x 1 x y 2 xy04x2,;于是原式1dx2xf x y dy0 x（3）4dy1y4f x y dx；204y解：積分區(qū)域Dx ,y|0 x2 , 2x4Df x y d4dy1y4f x y dxdx4x2f x y dy204y22x4（4）1dx1x12 xf x y dy ；0解：積

13、分區(qū)域（5）D 1 , | 0y1,0 xy2D 2 , |1y2,0 x02yy 2y2原式D 1f x y dD 2f x y d1dyy2f x y dx2 1dy2yf x y dx002 2dx4x 2f x y dy ；x 2解： 積分區(qū)域3D1 , | 0y2,yD 2xyD2 , | 2y4,4yx4y原式D 1f x y df x y d=2dyy yf x y dx4dy4yf x y dx024y求證1dy0yy e f x dx1 ex e2f x dx00解 二重積分中的積分區(qū)域為D , |0y1, 0 xy 區(qū)域 D仍可以表示為于是D , |2 xy1, 0 x11

14、dy0yy e f x dx1dx1y e f x dy002 x1f x dx1y e dy0 x21 0ee2 xf x dx7 / 19即1dy0yy e f x dx1 ex 2e f x dxD1 可表示為00 4運(yùn)算以下曲線所圍成的面積 1y x2y x 2解 由 y x2 y x 2 所圍成的區(qū)域可表示為1 x 2x2 y x 2由 y x2 y x 2 所圍成的面積為Ddxdy2dxx2dy2 1x2x2dx1x 21x22x13 x2192322 y sin xy cos x x 0解 由 y sin xy cos xx 0 所圍成的第一象限區(qū)域0 x4 sin x y co

15、s x區(qū)域 D1的面積為dxdy4dxcosxdy0cosxsin x dxD2 可表示為0sinxD1sinxcos 4 021由 y sin xy cos xx 0 所圍成的其次、三象限區(qū)域3x0 sin x y cos x4區(qū)域 D2的面積為 5D2dxdy0dxcosxdy0cosxsin x dx3sinx344sinxcos 0314運(yùn)算以下曲面所圍成立體的體積 1z 1+x+yz 0 x+y 1x 0 y 0解 這是求以 z 1+x+y 為頂?shù)那斨w的體積積分區(qū)域為 D: 0 x 1 0y 1 x所求體積為8 / 19D1xy dxdy1dx1 0 x1xy dy01yxy1y

16、21 | 0 xdx0213x1x2dx02253x1x21x31 | 02266 2z x2+y2y 1 z 0y x2解 D1 x 1x 2 y 1所求體積為6Dx2y2dxdy1dx12 xy2dy1x 212 x y1y31 | x2dx1311x2x41y6dx13371 | 08821x1x31x51y33521105運(yùn)算以下二重積分x 1 0y 1 1xy xe dD xy|0D解 積分區(qū)域為矩形所以ex1exy1 | 0dx2Dxy xe d1dx1 0 xy xe dy001 0ex1 dx1 x | 0e錯誤會法Dxy xe d1dx1xy xe dy1dx1xy e dx

17、y1xy dx e1 000000 2D1x2yy23/2 dD xy| 0 x 1 0y 1解 積分區(qū)域為矩形所以9 / 19 3Dyy23/2 d1dx112 xy2 y3/2 dy p 0 圍成的區(qū)域1x20011 0 1x2y221 | 0dxx221x2 dx1110lnx1x2lnx2x2|10ln22D13D是由拋物線 y2 2px 和直線xp2 xy d2解 區(qū)域 D可表示為 4p y p1y2xp5y 5x x 1 所圍成的區(qū)域2p2D2 xy dpdypy 22 xy dx2 1p2ppy2x2p2 ydy2p212p1py2p2y42dy2p44p12 p y3y72 |

18、pp1p21228p21x6 y dD是由 y xD解 區(qū)域 D可表示為 0 x 1x y 5x 6 y dyDx6 y d1dx5xx0 x1 0 xy3y25 x | xdx1762 x dx76x3 1 | 07603310 / 19 5x22 ydD是由 y xy x a y aDy 3a a 0 所圍成的區(qū)域解 D可表示為a y 3a y a x yy2dxDx2y 2d3adyyx2ay a3a1x32 y xy | y adya33 a1y31ya3ay2dya33 4 14a1y41ya41ay3|3aa12123習(xí)題 8-3 1. 求由曲面 z x 22 y 及 z 6 2

19、x 2 y 所圍成的立體的體積解 所求立體在 xOy 面上的投影區(qū)域為2 2D x y , | x y 2所求立體的體積等于兩個曲頂柱體體積的差：V62x2y2dx22y2d表示為極坐標(biāo)形式的二次積分,其中DD32d d632 x3y2d6DDf x y , d2d02632d6.02. 畫出積分區(qū)域,把積分D積分區(qū)域 D 是：1 , |x2y22 a a0； 2 x y , |x2y22 x ；13 , |a22 xy2b2,其中0ab ； 4 x y , |0y1x , 0 x2,故 d .解1 在極坐標(biāo)中,D, |0a ,0Df x y , dDfcos ,sind d2 dafcos

20、,sin0011 / 19 2 在極坐標(biāo)中,D, | 02cos , 2,故2Df x y , dDfcos ,sin d dd2cosfcos ,sind .2 022,故 3 在極坐標(biāo)中,D, |ab,0Df x y , dDfcos ,sind d2dbfcos ,sin d .0a4 在極坐標(biāo)中,直線xy1的方程為sin1cos,故D, |0sin1cos,0 2,于是Df x y , dDfcos ,sin d ddsin1fcos ,sind .2cos003. 化以下二次積分為極坐標(biāo)形式的二次積分：1 1d x1f x y , d y ； 2 D 、2 0d xx3 xf x y

21、 , d y；003 1d x11x2f x y , d y ； 4 1d xx 2f x y , d y0 x00解1 用直線 yx 將積分區(qū)域 D 分成D 兩部分：D 1, |0sec ,0 4,D2, |0cs c , .2,4于是和原式4dsecfcos ,sind2dcscfcos ,sin d .2sec , 40040 2 在極坐標(biāo)中,直線x2,yx 和y3x 的方程分別是3；因此D, | 02sec , 3,又fx2y2f,于是4原式d2secfd .3程為0sin1cos,圓y1x 的方4 3 在極坐標(biāo)中,直線y1x 的方程為1,因此D, |sin1cos1,0 2,故12

22、/ 19sin原式d11cosfcos ,sind . 4；因20sin4 在極坐標(biāo)中,直線x1的方程為sec ,拋物線yx 的方程為22 cos,即tansec ；兩者的交點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的方程是此D, | tan secsec ,0 4,故原式dsecsecfcos ,sind .40tan4. 把以下積分化為極坐標(biāo)形式,并運(yùn)算積分值1 2adx02ax x2x2y2d y； 2 ad xx2 xy2dy ；0003 1 0d xxx2y21dy ； 4 ad y0a2y2x2y2d x 2x20解1 在極坐標(biāo)中,D, |02 cos ,0 2,故原式d2acos2d3 a4.204 4,故

23、0 2 在極坐標(biāo)中,D, | 0asec ,0原式dasecda32ln21.40622 cos,即tan sec0 3 在極坐標(biāo)中, 拋物線yx 的方程為sin直線 yx 的方程是 4,故D, | 0tan sec ,0 4,故原式dtansec1d21.4004 在極坐標(biāo)中,積分區(qū)域D, |0a ,0 2,于是原式da2da4.20805. 利用極坐標(biāo)運(yùn)算以下各題 . 1 x e2y2d,其中 D 是由圓周x2y24所圍成的閉區(qū)域；D2 Darctanyd,其中 D 是由圓周x2y24,x2y21及直線y0, yxx13 / 19所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域. 2,2,0 42,故解1 在

24、極坐標(biāo)中,D, |0原式2 d2e2de41.0,故00 2 在極坐標(biāo)中,D, |1原式d2d32 .416406. 選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)運(yùn)算以下各題：1 Dx2x,其中 D 是由直線x2, y2x及曲線xy1所圍成的閉區(qū)域；2dy2 2y2d,其中 D 是由圓周xy21及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象1D1x2y2限內(nèi)的閉區(qū)域；3 Dx22 yd,其中 D 是由直線 yx , yxa , ya ,y3 a a0所圍成的閉區(qū)域；4 2 xy 2d,其中 D 是圓環(huán)形閉區(qū)域x y , |a2x2y2b2 D解1 選用直角坐標(biāo),D , |1yx ,1x2,故xx2d2dxxx2dy9.1Dy21y241 2,故

25、x 2 選用極坐標(biāo),D, |01, 01x2y2dD12d dd12d2D1x22 y120012112d2.202813 選用直角坐標(biāo),Dx2y2d3adyyax2y2dxb3a2ay222 a ya3dy14a4.0y03D, |01,0 2,故4 選用極坐標(biāo),x2y2dd d2 0d2d b3a3.a3DD14 / 197. 求由平面y0,ykx k0,z0以及球心在原點(diǎn)、半徑為R的上半球面所圍成的在第一卦限內(nèi)的立體的體積解VDR2Rx22y2d2DR22d darctan kdRdR3arctan .003習(xí)題 8.5 1. 求圓錐面 z x 2y 2被柱面 x 2 y 2 x 所割下

26、部分的曲面面積；解：曲面面積公式 S D 1 z x 2z dxdy ,其中 2 D x , y | x 2 y 2 x,所求曲面方程 z x 2y 2,得：z x 2 x2 , z y 2 y2x y x yS D 1 z x 2z y 2dxdy D 2 dxdy 2 D4 22. 求由旋轉(zhuǎn)拋物面 z x 2y 與平面 2 z 1 所圍成立體在第一卦限部分的質(zhì)量,假定其密度為 x y ；2 2 2 2解： 已知積分區(qū)域 , , | x y 1, x 0, y 0, x y z 1,m , , x y z dxdydz 0 2 d 0 1dr r 12 cos r sin rdz15 43.

27、 求圓 x 2y 2a 與 2x 2y 24 a 所圍的勻稱環(huán)在第一象限部分的重心；2解： 由于是勻稱圓環(huán),即p 是一個常數(shù),由重心坐標(biāo)公式知x1,D xd2,y1yd,由于在第一象限,故其中DDDD12ar1a23a2,令xrcos,yrsin,知此時有444D|a2,得r2 a , 0D xd22ar2cosdrd7a302cosd7a30a3315 / 19同理得Dyd22ar2sindrd7a328a,重心坐標(biāo)為28 a,28 a0a3y1Dx1Dxd28a,ydDz9D1999z4. 求橢圓拋物面x22 y 與平面所圍成的勻稱物體的重心；解： 由于是勻稱物體,p 是一個常數(shù),由重心坐

28、標(biāo)公式知Dx1VxdV,y 1r12rVydV,z1xVzdV,yrsin代入題給條件得VVVV|0V dVDxy2dxdy,令rcosr,2,故r,1012 drd22VV dV100用柱面坐標(biāo)可得VxdV2V11r2cosdzdrdV0,0,0,1VzdV200r2211r2sindzdrd同理可得ydV00r2VzdV2V11zrdzdrd3ydVz00r2x1 VxdV0,y1VV35. 求半徑為 a ,高為 h 的勻稱圓柱體對于過中心而平行于母線的軸的轉(zhuǎn)動慣量；（設(shè)密度為 1）；解：依據(jù)題意知轉(zhuǎn)動慣量是物體對于過中心平行于母線的軸的轉(zhuǎn)動慣量,建立坐標(biāo)系,以圓柱底面圓重心為坐標(biāo)原點(diǎn)就由轉(zhuǎn)動慣量公式可知JVxVx22y2dV,依據(jù)柱面坐標(biāo)公式令xrcos,yrsin,zz2ydV2ahr3 dzdrd1ha400026. 在勻稱的半