1、有關(guān)數(shù)列求通項題的歸類分析優(yōu)秀獲獎科研論文 近年的高考題中考查數(shù)列的題越來越注重綜合，突出能力，其中求通項公式的題比較多.下面將近年的一些高考數(shù)列題中關(guān)于求通項的部分歸納總結(jié). 一、利用數(shù)列的前n項和，求通項的表達式 1.已知數(shù)列的前n項和求通項公式的解法是利用當(dāng)n=1時n=S，當(dāng)n2時a=S-Sn-1，注意驗證a是否在數(shù)列中. 例1 已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過原點，其導(dǎo)函數(shù)f（x）=6x-2，數(shù)列a的前n項和為S，點（n，S）（nN）均在y=f（x）的圖象上.求a的通項公式. 解：依題意設(shè)f（x）=ax+bx（a0），則f（x）=2ax+b， 因為a=3，b=-2，即f（x）=3x-

2、2x所以S=3n-2n. 當(dāng)n2時，a=S-Sn-1=（3n-2n）-3（n-1）+2（n-1）=6n-5； 當(dāng)n=1時，a=S=f（1），滿足上式所以a=6n-5 2.a與S的關(guān)系問題.（1）一般情況下可用n-1代替原式中的n，聯(lián)立兩式相減后通過關(guān)系式a= （n=1），S-Sn-1（n2） 求解，轉(zhuǎn)化成數(shù)列中相鄰兩項如a與an-1之間的遞推關(guān)系.（2）將a換成S-Sn-1，轉(zhuǎn)化成前n項如S與Sn-1之間的遞推關(guān)系.（3）可先算前幾項，猜測其規(guī)律，用數(shù)學(xué)歸納法證明. 例 正項數(shù)列a前n和為S，S 1，6Sn=（a+1）（a+2），nN，求a. 解:由a =S = （a +1）（a +2），解得

3、a =1或a =2因為S 1，所以a =2 因為6S= 23a+2， 所以6Sn-1=2+3an-1+2. -得（a+an-1）（a-an-1-3）=0（n2）. 因為a0，所以a-a-1=3即a是公差為3，首項為2的等差數(shù)列. 所以a=3n-1. 二、根據(jù)遞推關(guān)系求通項 1. 迭乘法和迭加法: 形如a-an-1=f（n）（n2），迭加后為a-a = f（n）=（a-a ）+（a-a ）（a-an-1）.形如 =f（n）（n2） 迭乘后為 =f（2）f（3）f（n）= .一般而言，迭加即為右側(cè)可求和數(shù)列共n-1項的和，迭乘即為右側(cè)可求積數(shù)列共n-1項的積.但仍需根據(jù)實際問題確定迭加或迭乘項是否

4、為（a-a）或 . 例 數(shù)列a，a2，an+1=a+cn，a，a，a成公比不為1的等比數(shù)列，求a. 解：由題意a=2，a=2+c，a=2+3c，2 =aa，（2+c）=2（2+3c），解得c=0或c=2 因為公比不為1，所以c=2 故an+1-a=2n，a-a=（a-a）+（a-an-1）=2+4+2（n-1）=n（n-1）. 即a=n-n+2（n2）當(dāng)n=1時，上式也成立.所以a=n-n+2. 2. 構(gòu)造特殊數(shù)列.形如an+1=ca+f（n）（c0），一般采用待定系數(shù)法構(gòu)造等差或等比數(shù)列來求出通項.（1）f（n）為常函數(shù)時，則構(gòu)造a+x為以（a+x）為首項，以c為公比的等比數(shù)列.（2）f（n）為一次函數(shù)時，則構(gòu)造a+kn+b為以（a+k+b）為首項，以c為公比的等比數(shù)列.（3）f（n）為二次函數(shù)時，則構(gòu)造a+an+以（a+a+b+）為首項，以c為公比的等比數(shù)列.（4）f（n）為指數(shù)型函數(shù)