1、邏輯代數(shù)基礎(chǔ)用第1頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三3.1 概 述數(shù)字電路要研究的是電路的輸入輸出之間的因果關(guān)系,也就是邏輯關(guān)系，所以數(shù)字電路又稱邏輯電路，相應(yīng)的研究工具是邏輯代數(shù)（邏輯代數(shù)是19世紀(jì)中葉英國數(shù)學(xué)家布爾首先提出的，所以又叫布爾代數(shù)）。邏輯關(guān)系是如何來表述的呢？第2頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三3.2 邏輯函數(shù)3.2.1 基本邏輯關(guān)系與邏輯代數(shù)如果決定某一件事F發(fā)生或成立與否的條件有多個(gè),分別用A、B、C表示，并規(guī)定：F“1” 代表事件發(fā)生（或成立)，F(xiàn)“0” 代表事件不發(fā)生（或不成立)；第3頁，共37頁，2022年，5月20日

2、，19點(diǎn)42分，星期三ABC“1” 代表?xiàng)l件具備，ABC“0 ”代表?xiàng)l件不具備；那麼F與ABC之間就有以下三種基本的邏輯關(guān)：第4頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三1.“與”邏輯A、B、C都具備時(shí)，事件F才發(fā)生。EFABC&ABCF邏輯符號(hào)AFBC00001000010011000010101001101111邏輯式：F=ABC邏輯乘法邏輯與真值表邏輯函數(shù)邏輯變量第5頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三2. “或”邏輯A、B、C只有一個(gè)具備時(shí)，事件F就發(fā)生。1ABCF邏輯符號(hào)AEFBCAFBC00001001010111010011101101111

3、111邏輯式：F=A+B+C邏輯加法邏輯或真值表第6頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三3. “非”邏輯A具備時(shí) ，事件F不發(fā)生；A不具備時(shí)，事件F發(fā)生。邏輯符號(hào)AEFRAF邏輯非邏輯反真值表AF0110第7頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三4. 幾種常用的邏輯關(guān)系邏輯“與”、“或”、“非”是三種基本的邏輯關(guān)系，任何其它的邏輯關(guān)系都是在此基礎(chǔ)上發(fā)展的。與非：全1則0，任0則1。&ABCF第8頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三或非：任1則0，全0則1。 1ABCF異或：條件A、B有一個(gè)具備，另一個(gè)不具備則F 發(fā)生。=1ABCF

4、第9頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)慣用符號(hào)國外符號(hào)&ABCFABCFABCF1ABCF+ABCFABCF1AFAFAF1ABFABFABF第10頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三5. 幾種基本的邏輯運(yùn)算從三種基本的邏輯關(guān)系，我們可以得到以下邏輯運(yùn)算：0 0=0 1=1 0=01 1=10+0=00+1=1+0=1+1=1第11頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三3.3 邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則一、基本運(yùn)算規(guī)則A+0=A A+1=1 A 0 =0 A=0 A 1=A第12頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)

5、42分，星期三二、基本代數(shù)規(guī)律交換律結(jié)合律分配律A+B=B+AA B=B AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA (B C)=(A B) CA(B+C)=A B+A CA+B C=(A+B)(A+C)普通代數(shù)不適用!第13頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三三、吸收規(guī)則1.原變量的吸收：A+AB=A證明：A+AB=A(1+B)=A1=A利用運(yùn)算規(guī)則可以對(duì)邏輯式進(jìn)行化簡(jiǎn)。例如：被吸收第14頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三2.反變量的吸收：證明：例如：被吸收第15頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三3.混合變量的吸收

6、：證明：例如：1吸收第16頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三3. 反演定理：可以用列真值表的方法證明：提供了一個(gè)求反函數(shù)的途徑所以是一條重要的定律異或求反第17頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三注意：ABACAB = AC未必有BC未必有BC邏輯代數(shù)中沒有減法與除法。第18頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三3.4 邏輯函數(shù)的表示法將輸入、輸出的所有可能狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)地列出。3.3.1 真值表注意：n個(gè)變量可以有2n個(gè)組合，一般按二進(jìn)制的順序，輸出與輸入狀態(tài)一一對(duì)應(yīng)，列出所有可能的狀態(tài)。第19頁，共37頁，2022年，5月20

7、日，19點(diǎn)42分，星期三3.3.2 邏輯函數(shù)式邏輯代數(shù)式：把邏輯函數(shù)的輸入、輸出關(guān)系寫成與、或、非等邏輯運(yùn)算的組合式。也稱為邏輯函數(shù)式，通常采用“與或”的形式。例：最小項(xiàng)：若表達(dá)式中的乘積包含了所有變量的原變量或反變量，則這一項(xiàng)稱為最小項(xiàng)。邏輯相鄰：若兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量以原、反區(qū)別，則稱它們邏輯相鄰。 上例中每一項(xiàng)都是最小項(xiàng)。第20頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三邏輯相鄰邏輯相鄰的項(xiàng)可以合并，消去一個(gè)因子第21頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三3.3.3 卡諾圖卡諾圖是邏輯函數(shù)最小項(xiàng)的圖形表示。1最小項(xiàng)的定義：對(duì)于n個(gè)變量的邏輯函數(shù)，若某一

8、與項(xiàng)中，包含了全部的n個(gè)變量，且每個(gè)變量都是以原變量或反變量的形式僅出現(xiàn)一次，則稱這個(gè)與項(xiàng)為該邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)。2最小項(xiàng)的數(shù)目：n個(gè)變量共有2n個(gè)最小項(xiàng)，即n個(gè)變量的每一種取值組合都是一個(gè)最小項(xiàng)。如3個(gè)變量有8個(gè)最小項(xiàng)，分別是 3最小項(xiàng)的表示：最小項(xiàng)常用mi表示，其中i為最小項(xiàng)取值所對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。如3個(gè)變量的最小項(xiàng)還可表示成：m0，m1，m2，m3，m4，m5，m6，m7。第22頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三 卡諾圖的構(gòu)成：將n個(gè)輸入變量的全部最小項(xiàng)用小方塊陣列圖表示，并且將邏輯相臨的最小項(xiàng)放在相臨的幾何位置上，所得到的陣列圖就是n變量的卡諾圖。卡諾圖的每一個(gè)方塊

9、（最小項(xiàng)）代表一種輸入組合，并且把對(duì)應(yīng)的輸入組合注明在陣列圖的上方和左方。第23頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三ABCD0001111000011110四變量卡諾圖編號(hào)為0010的單元對(duì)應(yīng)于最小項(xiàng)：ABCD=0100時(shí)函數(shù)取值函數(shù)取0、1均可，稱為無所謂狀態(tài)。只有一項(xiàng)不同AB0101兩變量卡諾圖ABC0001111001三變量卡諾圖第24頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三有時(shí)為了方便，用二進(jìn)制對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制表示單元格的編號(hào)。單元格的值用函數(shù)式表示。ABC0001111001F( A , B , C )=( 1 , 2 , 4 , 7 )1,2,4

10、,7單元取1，其它取0ABCD0001111000011110四變量卡諾圖單元格的編號(hào)第25頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三3.3.4 邏輯圖把相應(yīng)的邏輯關(guān)系用邏輯符號(hào)和連線表示出來，就構(gòu)成了邏輯圖。&AB&CD1FF=AB+CD第26頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三3.5 邏輯函數(shù)的兩種化簡(jiǎn)法3.5.1 利用邏輯代數(shù)的基本公式例1：反變量吸收提出AB=1提出A第27頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三例2：反演配項(xiàng)被吸收被吸收第28頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三AB=ACB=C?A+B=A+

11、CB=C?請(qǐng)注意與普通代數(shù)的區(qū)別！第29頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三3.5.2 利用卡諾圖化簡(jiǎn)ABC0001111001第30頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三ABC0001111001ABBCF=AB+BC化簡(jiǎn)過程：第31頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三利用卡諾圖化簡(jiǎn)的規(guī)則1. 相鄰單元的個(gè)數(shù)是2N個(gè)，并組成矩形時(shí)，可以合并。ABCD0001111000011110ADABCD0001111000011110第32頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三2. 先找面積盡量大的組合進(jìn)行化簡(jiǎn)，可以減少每項(xiàng)的因子數(shù)。3. 各最小項(xiàng)可以重復(fù)使用。3. 注意利用無所謂狀態(tài)，可以使結(jié)果大大簡(jiǎn)化。5. 所有的1都被圈過后，化簡(jiǎn)結(jié)束。6. 化簡(jiǎn)后的邏輯式是各化簡(jiǎn)項(xiàng)的邏輯和。第33頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三例1：化簡(jiǎn)F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11, 12,13,14,15)ABCD0001111000011110A第34頁，共37頁，2022年，5月20日，19點(diǎn)42分，星期三例2：化簡(jiǎn)ABCD0001111000011