1、電動(dòng)力學(xué)第二章郭碩鴻第三版第二章 靜電場(chǎng)靜電場(chǎng)：靜止電荷或電荷散布不隨時(shí)間變化產(chǎn)生的電場(chǎng)一.主要內(nèi)容 ：應(yīng)用電磁場(chǎng)基本理論解決最簡(jiǎn)單的問(wèn)題：電荷靜止或電荷散布不隨時(shí)間變化，產(chǎn)生的場(chǎng)不隨時(shí)間變化的 靜電場(chǎng)問(wèn)題。本章研究的主要問(wèn)題是：在給定自由電荷散布及介質(zhì)和導(dǎo)體散布的狀況下怎樣求解靜電場(chǎng)。 因?yàn)殪o電場(chǎng)的基本方程是矢量方程，求解很難，其實(shí)不直接求解靜電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)，而是經(jīng)過(guò)靜電場(chǎng)的標(biāo)勢(shì)來(lái)求解。第一依據(jù)靜電場(chǎng)知足的麥克斯韋方程，弓I入標(biāo)勢(shì)，議論其知足的微分方程和邊 值關(guān)系。在后邊幾節(jié)中陸續(xù)研究求解：分別變量法、鏡像法和格林函數(shù)法。最 后議論局部范圍內(nèi)的電荷散布所激發(fā)的電勢(shì)在遠(yuǎn)處的睜開(kāi)式知識(shí)系統(tǒng):1.靜電

2、場(chǎng)的微分方程:也引入電勢(shì)：E邊值關(guān)系：nE2Ei靜電場(chǎng)的能量:rD2rD1rDdVdV.靜電邊值問(wèn)題的組成:微分方程邊值關(guān)系邊值關(guān)系：nE2Ei靜電場(chǎng)的能量:rD2rD1rDdVdV.靜電邊值問(wèn)題的組成:微分方程邊值關(guān)系n S或S nS界FM條件(由獨(dú)一性定理給由).靜電邊值問(wèn)題的基本解法:鏡像法(2)分別變量法條件:電勢(shì)知足拉普拉斯方程:(3)電多極矩(P)(P)(x ) dVV 4 0 r電動(dòng)力學(xué)第二章郭碩鴻第三版(4)格林函數(shù)法二.內(nèi)容概要：1.靜電場(chǎng)的電勢(shì)及其微分方程：(1)電勢(shì)和電勢(shì)梯度因?yàn)殪o電場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)，即E 0 ,因此能夠引入標(biāo)量函數(shù)，弓I入后E電勢(shì)差：空間某點(diǎn)電勢(shì)無(wú)物理意義，但

3、兩點(diǎn)間電勢(shì)差存心義選空間有限兩點(diǎn)P QQQ PE dlp參照點(diǎn)：(1)電荷散布在有限地區(qū)，往常選無(wú)量遠(yuǎn)為電勢(shì)參照點(diǎn)0(Q)p E dl p(2)電荷散布在無(wú)窮地區(qū)不可以選無(wú)量遠(yuǎn)點(diǎn)作參照點(diǎn)，不然積分將無(wú)量 大。電荷散布在有限地區(qū)時(shí)的幾種狀況的電勢(shì)(1)真空中點(diǎn)電荷 r Qr r Q(P) P 4 0 r 連續(xù)散布電荷：無(wú)量遠(yuǎn)處為參照點(diǎn) dl 4 o 連續(xù)散布電荷：無(wú)量遠(yuǎn)處為參照點(diǎn)Q無(wú)窮人平均線性介質(zhì)中點(diǎn)電荷：4 r(2)電荷組 ：(P)- Qi -i 1 4 0 ri(2)電勢(shì)知足的微分方程和邊值關(guān)系電動(dòng)力學(xué)第二章郭碩鴻第三版泊松方程： 01此中 僅為自由電荷散布，合用于平均各向同性線性 介質(zhì)0

4、2對(duì) 0的地區(qū)：電勢(shì)知足拉普拉斯方程：2 0邊值關(guān)系A(chǔ).兩介質(zhì)界面上面值關(guān)系（S為分界面）（S為分界面）（n 由 12）B.與體與介質(zhì) 界面上的邊值關(guān)系const. TOC o 1-5 h z En d Q dS dS蜒.1sn sn SC.導(dǎo)體與導(dǎo)體 界面上的邊值關(guān)系S 2 s2n s此中1, 2是導(dǎo)體的電導(dǎo)率是自由電荷密度，而則是空間全部電是自由電荷密度，而則是空間全部電（3）靜電場(chǎng)的能量1w 一2用電勢(shì)表示：1 10r rE DdV1wdV2 v荷的電勢(shì)電動(dòng)力學(xué)第二章郭碩鴻第三版2dV只合用于靜電場(chǎng)。2 v2.獨(dú)一性定理：A.平均單調(diào)介質(zhì)V2（x）當(dāng)?shù)貐^(qū)V內(nèi)自由電荷散布已知，知足，若V界

5、限上 S已知，或V界限上 已知，則V內(nèi)場(chǎng)（靜電場(chǎng)）獨(dú)一確立。 n sB.平均單調(diào)介質(zhì)中有導(dǎo)體V當(dāng)?shù)貐^(qū)內(nèi)有導(dǎo)體存在， 給定與體以外的電荷散布（x）,當(dāng)。1 S或-6知，n S2 O 每個(gè)導(dǎo)體電勢(shì)i或?qū)忞娏?，則V內(nèi)電場(chǎng)獨(dú)一確上。靜電邊值問(wèn)題的組成：211 S 2 S或Sn靜電邊值問(wèn)題的組成：211 S 2 S或Sns-微分方程邊值關(guān)系界限條件3.靜電邊值問(wèn)題的基本解法：（1）鏡像法：理論依照：獨(dú)一性定理，采納嘗試解的方法。1 . 鏡像法觀點(diǎn)、條件鏡像法：用設(shè)想點(diǎn)電荷來(lái)等效地取代導(dǎo)體或介質(zhì)界限面上的面電荷散布，而 后用空間點(diǎn)電荷和等效點(diǎn)電荷迭加給出空間電勢(shì)散布。條件：所求地區(qū)內(nèi)只好有少量幾個(gè)點(diǎn)電荷（

6、只有點(diǎn)電荷產(chǎn)生的感覺(jué)電荷 才能用點(diǎn)電荷取代。）或是簡(jiǎn)單的連續(xù)散布。導(dǎo)體界限面形狀規(guī)則，擁有必定對(duì)稱性。Q大小不Q大小不要求：做代替時(shí)，不可以改變?cè)须姾缮⒉迹醋杂牲c(diǎn)電荷地點(diǎn)、電動(dòng)力學(xué)第二章郭碩鴻第三版能）。泊松方程不可以改。因此設(shè)想荷必 放在所求地區(qū)以外。不可以改 原有界條件，通界條件確立設(shè)想荷的大小和地點(diǎn)一旦用了設(shè)想等效荷，不可以再考 界面上的 荷散布。坐系依據(jù) 界形狀來(lái)。（2）倒量法：條件：足拉普拉斯方程： . 坐系和參照點(diǎn)坐系 主要依據(jù)地區(qū)中分界面形狀 . 坐系和參照點(diǎn)坐系 主要依據(jù)地區(qū)中分界面形狀參照點(diǎn)主要依據(jù) 荷散布是有限 是無(wú)窮A.空0 ,自由荷只散布在某些介（如體）表面上，將些

7、表面地區(qū)界，背第用拉普拉斯方程。若個(gè)自由荷散布在真空中,生的B.在所求地區(qū)介 中有自由 荷散布,若個(gè)自由荷散布在真空中,生的0已知，地區(qū)V中可表示兩部分的和不足 20，但表面上的荷生的0足,仍可用拉S而不可以用S而不可以用0的通解：注意：關(guān)系要用拉普拉斯方程稱通解:n bn稱通解: TOC o 1-5 h z (R, ) (an R n 1 )Pn (cos )nR勒德函數(shù)，1Pn (COS ) P0 1P (COS ) COSP2 (cos ) (3cos21) ?2球稱通解：若與,均沒(méi)關(guān)，即 擁有球 稱性，通解：b(R) aR電動(dòng)力學(xué)第二章郭碩鴻第三版剖析對(duì)稱性，分地區(qū)寫出拉普拉斯方程在所

8、選坐標(biāo)系中的通解依據(jù)詳細(xì)條件確立常數(shù)外界限條件：電荷散布有限0)導(dǎo)體界限可視為外界限，s給定，或給定總電荷 Q,或給定0)(接地電荷散布無(wú)窮，一般在平均場(chǎng)中，E E0 ezEor cosEo z (直角坐標(biāo)或柱坐標(biāo))內(nèi)部邊值關(guān)系：介質(zhì)分界而上1s2s1-122表面無(wú)自由電荷n sn s電多極矩議論電荷散布在小地區(qū)內(nèi),而場(chǎng)點(diǎn)又距電荷散布區(qū)較遠(yuǎn)，印議論電荷散布在小地區(qū)內(nèi),而場(chǎng)點(diǎn)又距電荷散布區(qū)較遠(yuǎn)，印lr(1)電勢(shì)的多極睜開(kāi)：urr 1 x TOC o 1-5 h z xdvr40 V 4 0012L2Q 1 ur 11 11P lR4 oR 40 R 40 6 ij Dij X XjQdv系統(tǒng)的總

9、電荷VururPx dv系統(tǒng)的電偶極矩VurDjV 3x i x j x dv電四極矩電動(dòng)力學(xué)第二章郭碩鴻第三版(1)意義：小地區(qū)內(nèi)電荷系統(tǒng)在遠(yuǎn)處的電勢(shì)能夠當(dāng)作是位于原點(diǎn)的點(diǎn)電荷，偶極子，電四極子, 電八極子等產(chǎn)生的勢(shì)的疊加。電偶極夕LurP對(duì)點(diǎn)電荷系統(tǒng)urx dv urPi依靠于原點(diǎn)的選用，但當(dāng)系統(tǒng)中正、負(fù)電荷數(shù)目同樣多時(shí),urqi 電偶極夕LurP對(duì)點(diǎn)電荷系統(tǒng)urx dv urPi依靠于原點(diǎn)的選用，但當(dāng)系統(tǒng)中正、負(fù)電荷數(shù)目同樣多時(shí),urqi Xi,ur ur3 qi Xi Xii當(dāng)電荷散布對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)urP 0ur 一 t與原點(diǎn)沒(méi)關(guān)p(2)小地區(qū)電荷系統(tǒng)在外電場(chǎng)中的互相作用能WirWiX edV此中Wi 0 qWi 12Wiur1 t一此中Wi 0 qWi 12Wiur1 t一D:6ur ur p EeWi urWi1Wi 2 L Lx dV是點(diǎn)電荷在外電場(chǎng)中的互相作用能0是電偶極子在外電場(chǎng)中的互相作用