1、重積分的應(yīng)用一、立體的體積二、曲面的面積三、物體的重心四、平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力五、矩復(fù)習(xí)：區(qū)域連通性的分類(lèi) 設(shè)D為平面區(qū)域, 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D, 則稱(chēng)D為平面單連通區(qū)域, 否則稱(chēng)為復(fù)連通區(qū)域.復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域DD一、立體的體積二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積例1 計(jì)算由曲面及 xoy 面所圍的立體體積。解設(shè)立體在第一卦限上的體積為 V1。由立體的對(duì)稱(chēng)性，所求立體體積 V = 4V1 。立體在第一卦限部分可以看成是一個(gè)曲頂柱體，它的曲頂為立體在第一卦限部分可以看成是一個(gè)曲頂柱體，它的曲頂為它的底為于是，例2 求兩個(gè)圓柱面所圍的立體在第一卦限部分

2、的體積。解所求立體可以看成是一個(gè)曲頂柱體，它的曲頂為它的底為它的底為它的曲頂為于是，立體體積為V1 可以看成是一個(gè)曲頂柱體，它的曲頂為它的底D 由半圓周及 x 軸圍成。用極坐標(biāo)系表示于是,所求立體體積二、曲面的面積設(shè)曲面的方程為：如圖，設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：設(shè)曲面的方程為：曲面面積公式為：同理可得解設(shè)第一卦限部分的面積為 A1 ，則由對(duì)稱(chēng)性，所求的面積為例5 求兩個(gè)圓柱面所圍的立體的表面在第一卦限部分的面積 A。解所求表面分成和，如圖。第一塊（ ）在圓柱面第一塊（ ）在圓柱面由對(duì)稱(chēng)性，這兩塊曲面的面積相等，即 A=A。因此，A = 2 A。在 A上，曲面方程為A在 A上，曲面方程為因

3、此，A = 2 A。AAA于是所求面積，A = 2 A設(shè)在空間中有 n 個(gè)質(zhì)量分別是的質(zhì)點(diǎn)組，它們的坐標(biāo)分別為 由靜力學(xué)的知識(shí)可知，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心坐標(biāo)有如下的計(jì)算公式： 三、物體的重心設(shè) 為一塊可以度量的幾何體，它的密度函數(shù)為設(shè) 在 上連續(xù)，要求 的質(zhì)心坐標(biāo)。我們打算用質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心坐標(biāo)的公式來(lái)計(jì)算，但質(zhì)點(diǎn)組是離散分布的，而 是質(zhì)量連續(xù)分布的幾何體。因此，首先把 分劃成若干可度量的小塊：為了簡(jiǎn)化符號(hào)，也用表示小塊的度量。由于假設(shè) 連續(xù)，因此當(dāng) 比較小時(shí)，在 上 變化不大，于是可近似地看成不變，從而 的度量可近似計(jì)算為iiMDWiiMDW)(r這里 是 中的任意一點(diǎn)，設(shè)其在三維空間中的坐標(biāo)為 ，

4、于是幾何體 的質(zhì)心坐標(biāo) 可近似表示為上述和式的極限，正是我們?cè)诘诰耪碌谝还?jié)定義的黎曼積分，因此，得到這里如果幾何體 是三維空間中的一塊立體 ，則上述積分就是三重積分，從而質(zhì)心坐標(biāo)可表示為如果幾何體 是一塊平面區(qū)域，則上述積分就是二重積分；如果幾何體是一塊空間曲面，上述積分就成為第一型曲面積分；如果幾何體是一條曲線，上述積分就成為第一型曲線積分。解 由于立體 關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，并且立體是均勻的，即密度函數(shù) 為常數(shù)，所以有例 6 設(shè) 由上半球面和錐面（以 軸為軸，半頂角為 ）圍成的均勻立體，求 的質(zhì)心。 而 于是 平面薄片的重心當(dāng)薄片是均勻的，重心稱(chēng)為形心.由元素法閉區(qū)域 D 的面積解薄片對(duì) z 軸上單

5、位質(zhì)點(diǎn)的引力G 為引力常數(shù)四、平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力解由積分區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性知所求引力為五、矩設(shè) 為一塊可以度量的空間立體，它的密度函數(shù)在 上連續(xù)，分別稱(chēng) 為物體 關(guān)于坐標(biāo)平面 ，坐標(biāo)平面 ，坐標(biāo)平面 的 階矩 。 其中當(dāng) 的情形更為重要。當(dāng) 時(shí)稱(chēng)為零階矩，表示物體的質(zhì)量。當(dāng) 時(shí)稱(chēng)為靜矩，靜矩與物體質(zhì)量之比為該物體的質(zhì)心的坐標(biāo)。當(dāng) 時(shí)稱(chēng)為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。又分別稱(chēng) 為物體 關(guān)于 軸， 軸， 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。顯然有 其中 分別表示物體 關(guān)于坐標(biāo)平面 ，坐標(biāo)平面 ，坐標(biāo)平面 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。例9 計(jì)算由平面所圍成的均勻物體（設(shè) ）對(duì)于坐標(biāo)平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解 是一個(gè)直角三角形，兩直角邊的長(zhǎng)度分別為所以 同樣可得 解幾何應(yīng)用：立體的體積、曲面的面積物理應(yīng)用：重心、對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（注意審題，熟悉相關(guān)物理知識(shí)）六、小結(jié)( t 為時(shí)間) 的雪堆在融化過(guò)程中,其側(cè)面滿(mǎn)足方程設(shè)長(zhǎng)度單位為厘米, 時(shí)間單位為小時(shí), 1、設(shè)有一高度為已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(比例系數(shù) 0.9 ),問(wèn)高度為130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小時(shí)? 思考題提示:記雪堆體積為 V, 側(cè)面積為 S ,則(用極坐標(biāo)) 由題意知令得(小時(shí))因此高度為130cm的雪堆全部融化所需的時(shí)間為100小時(shí).2.設(shè)函數(shù) f (x) 連續(xù)且恒大于零, 其中(1)