1、（一）高中數(shù)學(xué)概率學(xué)問要點3.1 隨機大事的概率3.1.1 隨機大事的概率1、必定大事：一般地,把在條件 S 下,肯定會發(fā)生的大事叫做相對于條件 S的必定大事；2、不行能大事：把在條件 S 下,肯定不會發(fā)生的大事叫做相對于條件 S的不行能大事；3、確定大事：必定大事和不行能大事統(tǒng)稱相對于條件 S的確定大事；4、隨機大事：在條件 S 下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的大事,叫相對于條件 S 的隨機大事；5、頻數(shù)：在相同條件 S下重復(fù) n 次試驗,觀看某一大事 A 是否顯現(xiàn),稱 n 次試驗中大事 A顯現(xiàn)的次數(shù) nA為大事 A顯現(xiàn)的頻數(shù)；6、頻率：大事 A 顯現(xiàn)的比例 f n = nn A；7、概率：隨機大事

2、 A 的概率是頻率的穩(wěn)固值,反之,頻率是概率的近似值 . 3.1.2 概率的意義1、概率的正確說明：隨機大事在一次試驗中發(fā)生與否是隨機的,但隨機性中含有規(guī)律性；熟悉了這種隨機中的規(guī)律性,可以比較精確地猜測隨機大事發(fā)生的可能性；2、嬉戲的公正性：抽簽的公正性；3、決策中的概率思想：從多個可選答案中選擇出正確答案的決策任務(wù),那么“ 使得樣本出現(xiàn)的可能性最大” 可以作為決策的準就；極大似然法、小概率大事4、天氣預(yù)報的概率說明：明天本地降水概率為70%說明是“ 明天本地下雨的機會是70%” ；5、試驗與發(fā)覺：孟德爾的豌豆試驗；6、遺傳機理中的統(tǒng)計規(guī)律；3.1.3 概率的基本性質(zhì)1、大事的關(guān)系與運算（1

3、）包含；對于大事 A與大事 B,假如大事 A 發(fā)生,就大事 B 肯定發(fā)生,稱大事 B 包含事件 A（或大事 A 包含于大事 B）,記作 B A 或A B ；不行能大事記作；（2）相等；如 B A 且 A B,就稱大事 A 與大事 B 相等,記作 A=B；（3）大事 A 與大事 B 的并大事（和大事） ：某大事發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)大事 A 發(fā)生或大事 B發(fā)生；（4）大事 A 與大事 B 的交大事（積大事） ：某大事發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)大事 A 發(fā)生且大事 B發(fā)生；（5）大事 A 與大事 B 互斥： A I B 為不行能大事,即 A I B =,即大事 A 與大事 B 在任何一次試驗中并不會同時發(fā)生；（6）大事

4、A 與大事 B 互為對立大事：AIB為不行能大事,AUB為必定大事,即大事A與大事 B 在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生；2、概率的幾個基本性質(zhì)（1） 0P A1. （2）必定大事的概率為1.P E1. 0. （3）不行能大事的概率為0. P F（4）大事 A 與大事 B 互斥時, PA U B=PA+PB 概率的加法公式；（5）如大事 B 與大事 A 互為對立大事, ,就 AUB為必定大事,P AUB1. 3.2 古典概型3.2.1 古典概型1、基本領(lǐng)件：基本領(lǐng)件的特點： （1）任何兩個大事是互斥的；（2）任何大事（除不行能大事）都可以表示成基本時間的和；2、古典概型： （1）試驗中全部可能

5、顯現(xiàn)的基本領(lǐng)件只有有限個；（2）每個基本領(lǐng)件顯現(xiàn)的可能性相等；具有這兩個特點的概率模型稱為古典概型；3、公式：P A = A 包含的基本領(lǐng)件的個數(shù)基本領(lǐng)件的總數(shù)3.2.2 （整數(shù)值）隨機數(shù)的產(chǎn)生如何用運算器產(chǎn)生指定的兩個整數(shù)之間的取整數(shù)值的隨機數(shù)？書上例題；3.3 幾何概型3.3.1 幾何概型1、幾何概型：每個大事發(fā)生的概率只有與構(gòu)成該大事區(qū)域的長度（面積或體積）成比例的概率模型；2、幾何概型中,大事 A 發(fā)生的概率運算公式：構(gòu)成大事 A的區(qū)域長度（面積或體積）P A 試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）3.3.2 勻稱隨機數(shù)的產(chǎn)生常用的是 0,1 上的勻稱隨機數(shù),可以用運算器來產(chǎn)生

6、01 之間的勻稱隨機數(shù)；本章學(xué)問小結(jié)隨機大事頻率概率,概率的意應(yīng)用義與性質(zhì)概率 解決古典概型幾何概型實際問 題隨機數(shù)與隨機模擬（1）在詳細情境中,明白隨機大事發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)固性,進一步明白概率的意 義以及頻率與概率的區(qū)分；（2）通過實例,明白兩個互斥大事的概率加法公式；（3）通過實例,懂得古典概型及其概率運算公式,會用列舉法運算一些隨機大事所含的基 本領(lǐng)件數(shù)及大事發(fā)生的概率；（4）明白隨機數(shù)的意義,能運用模擬方法 （包括運算器產(chǎn)生隨機數(shù)來進行模擬）估量概率,初步體會幾何概型的意義（參見例 3）；（5）通過閱讀材料,明白人類熟悉隨機現(xiàn)象的過程；重難點的歸納：重點：1、明白隨機大事發(fā)生的

7、不確定性和頻率的穩(wěn)固性,正確懂得概率的意義2、懂得古典概型及其概率運算公式3、關(guān)于幾何概型的概率運算 4、體會隨機模擬中的統(tǒng)計思想：用樣本估量總體難點：1、懂得頻率與概率的關(guān)系 . 2、設(shè)計和運用模擬方法近似運算概率3、把求未知量的問題轉(zhuǎn)化為幾何概型求概率的問題（二）高考概率概率考試內(nèi)容： 隨機大事的概率等可能性大事的概率互斥大事有一個發(fā)生的概率相互獨立大事同時發(fā)生的概率獨立重復(fù)試驗考試要求：（1）明白隨機大事的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機大事概率的意義（2）明白等可能性大事的概率的意義,會用排列組合的基本公式運算一些等可能性大事的 概率；（3）明白互斥大事、相互獨立大事的意義,會用互斥大事的概率加

8、法公式與相互獨立大事 的概率乘法公式運算一些大事的概率（4）會運算大事在 n 次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生次的概率以下歸納 9 個常見考點：解析概率與統(tǒng)計試題是高考的必考內(nèi)容；它是以實際應(yīng)用問題為載體,以排列組合和概率 統(tǒng)計等學(xué)問為工具,以考查對五個概率大事的判定識別及其概率的運算和隨機變量概率分 布 列性質(zhì)及其應(yīng)用為目標的中檔師,估量這也是今后高考概率統(tǒng)計試題的考查特點和命題趨 向；下面對其常見題型和考點進行解析；考點 1 考查等可能大事概率運算；A 在一次試驗中可能顯現(xiàn)的結(jié)果有 n 個,而且全部結(jié)果顯現(xiàn)的可能性都相等；假如大事包含的結(jié)果有 m個,那么 P A m；這就是等可能大事的判定方法及其

9、概率的計 n 算公式；n 高考常借助不同背景的材料考查等可能大事概率的運算方法以及分析和解決實際問題 的才能；例 1 （2022 天津）從 4 名男生和 2 名女生中任3 人參與演講競賽. I 求所選 3 人都是男生的概率；II 求所選 3 人中恰有 1 名女生的概率；III 求所選 3 人中至少有 1 名女生的概率 . 考點 2 考查互斥大事至少有一個發(fā)生與相互獨立大事同時發(fā)生概率運算；不行能同時發(fā)生的兩個大事 A、B 叫做互斥大事,它們至少有一個發(fā)生的大事為 A+B,用概率的加法公式 PA+B=PA+PB 運算；A、B 叫做相互獨立 大事 A（或 B）是否發(fā)生對大事 B（或 A）發(fā)生的概率

10、沒有影響,就 大事,它們同時發(fā)生的大事為 AB；用概率的乘法公式 PAB=PAPB 運算；高考常結(jié)合考試競賽、 上網(wǎng)工作等問題對這兩個大事的識別及其概率的綜合運算才能進 行考查；例 2. （2022 全國卷）設(shè)甲、乙、丙三臺機器是否需要照料相互之間沒有影響；已知在某 0.05 ,甲、丙都需要照料的概率為 0.1 ,乙、丙都需 一小時內(nèi),甲、乙都需要照料的概率為 要照料的概率為 0.125 ,（）求甲、乙、丙每臺機器在這個小時內(nèi)需要照料的概率分別是 多少；（）運算這個小時內(nèi)至少有一臺需要照料的概率；考點 3 考查對立大事概率運算；必有一個發(fā)生的兩個互斥大事 PA=1-PA 運算其概率；A、 B叫

11、做互為對立大事；用概率的減法公式高考常結(jié)合射擊、電路、交通等問題對對立大事的判定識別及其概率運算進行考查；例 3 2022 福建卷文）甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為1和2；52（）甲、乙兩人在罰球線各投球一次,求恰好命中一次的概率；（）甲、乙兩人在罰球線各投球二次,求這四次投球中至少一次命中的概率；考點 4 考查獨立重復(fù)試驗概率運算；如 n 次重復(fù)試驗中, 每次試驗結(jié)果的概率都不依靠其它各次試驗的結(jié)果,就此試驗叫做n 次獨立重復(fù)試驗；如在 1 次試驗中大事 A 發(fā)生的概率為 P,就在 n 次獨立重復(fù)試驗中,事k k n k件 A 恰好發(fā)生 k 次的概率為 Pnk= P n C p 1

12、p ；高考結(jié)合實際應(yīng)用問題考查 n 次獨立重復(fù)試驗中某大事恰好發(fā)生 k 次的概率的運算方法和化歸轉(zhuǎn)化、分類爭論等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用；例 4 （2022 湖北卷）某會議室用5 盞燈照明,每盞燈各使用燈泡一只,且型號相同；假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關(guān),該型號的燈泡壽命為 1 年以上的概率為 p1,壽命為 2 年以上的概率為 p2；從使用之日起每滿 1 年進行一次燈泡更換工作,只更換已壞的燈泡,平常不換；（）在第一次燈泡更換工作中,求不需要換燈泡的概率和更換2 只燈泡的概率；（）在其次次燈泡更換工作中,對其中的某一盞燈來說,求該盞燈需要更換燈泡的概率；（） 當(dāng) p1=0.8 ,p2=0.

13、3 時,求在其次次燈泡更換工作,至少需要更換4 只燈泡的概率 （結(jié)果保留兩個有效數(shù)字）考點 5 考查隨機變量概率分布與期望運算；解決此類問題時, 第一應(yīng)明確隨機變量可能取哪些值,然后依據(jù)相互獨立大事同時發(fā)生概率的法公式去運算這些可能取值的概率值即可等到分布列,最終依據(jù)分布列和期望、方差公式去獲解；以此考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念和運用概率學(xué)問解決 實際問題的才能；例 5 （2022 湖北卷） 某地最近出臺一項機動車駕照考試規(guī)定；每位考試者一年之內(nèi)最多有4 次參與考試的機會,一旦某次考試通過,使可領(lǐng)取駕照,不再參與以后的考試,否就就一直考到第 4 次為止；假如李明打算參與駕照考試,設(shè)

14、他每次參與考試通過的概率依次為 0.6 ,0.7 ,0.8 ,0.9 ,求在一年內(nèi)李明參與駕照考試次數(shù) 的分布列和 的期望,并求李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率；考點 6 考查隨機變量概率分布列與其他學(xué)問點結(jié)合1、考查隨機變量概率分布列與函數(shù)結(jié)合；例 6. （2022 湖南卷）某城市有甲、乙、丙3 個旅行景點,一位客人游玩這三個景點的概率分別是 0.4 ,0.5 ,0.6 ,且客人是否游玩哪個景點互不影響,設(shè)表示客人離開該城市時游玩的景點數(shù)與沒有游玩的景點數(shù)之差的肯定值；（）求 的分布及數(shù)學(xué)期望；A,求大事A 的（）記“ 函數(shù)fx x23 x 1 在區(qū)間 2 , 上單調(diào)遞增” 為大事概率；2、考查隨

15、機變量概率分布列與數(shù)列結(jié)合；例 7 甲乙兩人做射擊嬉戲,甲乙兩人射擊擊中與否是相互獨立大事,規(guī)章如下：如射擊一次擊中,原射擊者連續(xù)射擊,如射擊一次不中,就由對方接替射擊；已知甲乙兩人射擊一次擊中的概率均為 7,且第一次由甲開頭射擊；（1）求前 4 次射擊中,甲恰好射擊 3 次的概率；（2）如第 n 次由甲射擊的概率為 an ,求數(shù)列 an 的通項公式；求 lim an ,并說明極 n限值的實際意義；3、考查隨機變量概率分布列與線形規(guī)劃結(jié)合；例 8 （2022 遼寧卷）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,每種產(chǎn)品都是經(jīng)過第一和其次工序加工而成, 兩道工序的加工結(jié)果相互獨立,每道工序的加工結(jié)果均有 A、B

16、兩個等級對每種產(chǎn)品,兩道工序的加工結(jié)果都為 A 級時,產(chǎn)品為一等品,其余均為二等品；（） 已知甲、 乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為 A級的概率如表一所示,分別求生產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概 P甲 、P 乙 ；（） 已知一件產(chǎn)品的利潤如表二所示,用 、 分別表示一件甲、 乙產(chǎn)品的利潤, 在（ I ）的條件下,求 、 的分布列及 E 、E ；（）已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資金額如表三所示 . 該工廠有工人 40 名,可用資金60 萬元； 設(shè) x、y 分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量, 在（II ）的條件下, y 為何值時, z=xE + yE x 最大？最大值是多少？（解答時須給出圖示）考查隨

17、機變量概率分布列性質(zhì) 性質(zhì)應(yīng)用考點 7 考查隨機變量概率分布列性質(zhì)應(yīng)用；離散型隨機變量在某一范疇內(nèi)取值的概率等于它取這個范疇內(nèi)各個值的概率之和 . ,高考常結(jié)合應(yīng)用問題對隨機變量概率分布列及其性質(zhì)的應(yīng)用進行考查；例 92022 年全國高考題 某同學(xué)參與科普學(xué)問競賽 , 需回答三個問題 , 競賽規(guī)章規(guī)定：每題回答正確得 100 分,回答不正確得 0 分；假設(shè)這名同學(xué)每題回答正確的概率均為 0.8, 且各題回答正確與否相互之間沒有影響 . ；求這名同學(xué)回答這三個問題的總得分的概率分布和數(shù)學(xué)期望；求這名同學(xué)總得分不為負分 即 0 的概率；考點 8 樣本抽樣識別與運算；簡潔隨機抽樣, 系統(tǒng)抽樣, 分層

18、抽樣得共同特點是不放回抽樣,且各個體被抽取得概率相等,均為n N 為總體個體數(shù), n 為樣本容量 ；系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的實質(zhì)分別是等距抽N樣與按比例抽樣,只需依據(jù)定義,適用范疇和抽樣步驟進行,就可得到符合條件的樣本；高考常結(jié)合應(yīng)用問題,考查構(gòu)照抽樣模型,識別圖形,搜集數(shù)據(jù),處理材料等爭論性學(xué)習(xí)的才能；例 11 （2022 年湖北湖北高考題）某初級中學(xué)有同學(xué) 270 人,其中一年級 108 人,二、三年級各 81 人, 現(xiàn)要利用抽樣方法抽取 10 人參與某項調(diào)查, 考慮選用簡潔隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案,使用簡潔隨機抽樣和分層抽樣時,將同學(xué)按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為 1,2, ,

19、270；使用系統(tǒng)抽樣時,將同學(xué)統(tǒng)一隨機編號 1,2, , 270,并將整個編號依次分為 10 段. 假如抽得號碼有以下四種情形： 7,34,61,88, 115,142,169,196,223,250； 5,9,100,107,111,121,180,195,200,265； 11,38,65,92,119,146,173,200,227,254； 30,57,84, 111,138,165,192,219,246,270；關(guān)于上述樣本的以下結(jié)論中,正確選項（）A、都不能為系統(tǒng)抽樣B、都不能為分層抽樣C、都可能為系統(tǒng)抽樣D、都可能為分層抽樣考點 9 考查直方圖；這是統(tǒng)計的學(xué)問,不是概率的吧？例

20、 12. （2022 江西卷）為明白某校高三同學(xué)的視力情形,隨機地抽查了該校 100 名高三學(xué)生的視力情形, 得到頻率分布直方圖,如右,由于不慎將部分數(shù)據(jù)丟失,但知道前 4 組的頻數(shù)成等比數(shù)列,后6 組的頻數(shù)成等差數(shù)列,設(shè)最大頻率為a,視力在 4.6 到 5.0 之間的同學(xué)數(shù)為 b,就 a、b 的值分別為（）A0,27,78 B 0,27,83 C2.7,78 D2.7,83 方法小結(jié)：解決概率問題時,肯定要依據(jù)有關(guān)概念,判定問題是否是等可能性大事、互斥大事、相 互獨立大事, 仍是某一大事在 n 次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生 k 次的情形, 以便選擇正確的計 算方法, 同時留意上述各類大事的綜合問

21、題,要全面考慮, 特殊是近幾年高考概率與期望的 綜合,表達了高考對概率學(xué)問要求的進一步提高；下面僅以幾個例題作以小結(jié)；一、用排列組合求概率例 1 從 0 到 9 這 10 個數(shù)字中任取 能被 3 整除的概率為（）3 個數(shù)字組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),這個三位數(shù)不A19/54 B35/5 C38/54 D41/60 分析：等可能大事的概率關(guān)鍵是利用排列組合出基本領(lǐng)件數(shù)；答案： B 點評： 此題將等可能大事與對立大事的概率,以及分類爭論綜合在一起,表達了學(xué)問交匯點的命題精神,是高考的熱點；二、互斥大事有一個發(fā)生的概率例 2 某廠生產(chǎn) A產(chǎn)品 , 每盒 10 只進行包裝 , 每盒產(chǎn)品都需要檢驗合格

22、后才能出廠 , 規(guī)定以下 ,從每盒 10 只中任意抽 4 只進行檢驗 , 假如次品數(shù)不超過 1只 , 就認為合格 , 否就就認為不合格 ,已經(jīng)知道某盒 A 產(chǎn)品中有 2 只次品（1）求該盒產(chǎn)品被檢驗合格的概率（2）如對該盒產(chǎn)品分別進行兩次檢驗, 求兩次檢驗的結(jié)果不一樣的概率分析：對一個復(fù)雜大事的概率可以分拆成幾個互斥大事的概率或者轉(zhuǎn)化為求其對立大事的概 率；點評：求相互獨立大事同時發(fā)生的概率,要保證兩者確是“ 相互獨立” 大事；本例的“ 競賽 型” 題,分析比較簡潔,只要結(jié)合有關(guān)競賽規(guī)章即可解決,此類題也是高考的熱點題；三、對立重復(fù)試驗例 3一位同學(xué)每天騎自行車上學(xué), 從他家到學(xué)校有5 個交通

23、崗 , 假設(shè)他在交通崗遇到紅燈是相互獨立的 , 且首末兩個交通崗遇到紅燈的概率均為p,其余 3 個交通崗遇到紅燈的概率均為1 2；; 1 如 p=2/3 ,求該同學(xué)在第三個交通崗第一遇到紅燈的概率2 如該同學(xué)至多遇到一次紅燈的概率不超過5/18 ,求 p 的取值范疇；分析： 首末兩個交通崗遇紅燈的概率相同,其余 3 個交通崗遇紅燈的概率也相同,可看作獨立重復(fù)試驗；點評： 要留意恰有k 次發(fā)生和某指定的k 次發(fā)生的差異； 對獨立重復(fù)試驗來說,前者的概率為總結(jié)：概率初步的考題一般以（1）等可能大事； （ 2）互斥大事有一個發(fā)生； （3）相互獨立大事同時發(fā)生； （4）獨立重復(fù)試驗為載體；有的考題可能

24、綜合多個概率題型；在等可能大事的概率運算中,關(guān)鍵有二：一是誰是一次試驗（一次大事所含的基本領(lǐng)件的總數(shù)）；二是事件 A 所含基本領(lǐng)件數(shù)；當(dāng)然, 全部基本領(lǐng)件是等可能的是前提；善于將復(fù)雜的大事分解為互斥大事的和與獨立大事的積是解題的關(guān)鍵；（三）高考數(shù)學(xué)概率中的易錯題辨析一、概念懂得不清致錯例 1拋擲一枚勻稱的骰子,如大事A：“ 朝上一面為奇數(shù)”,大事 B：“ 朝上一面的點數(shù)不超過 3”,求 P（ A+B）錯誤會法 1：大事 A：朝上一面的點數(shù)是1,3,5；大事 B：趄上一面的點數(shù)為1,2,3,P（A+B）=P（A）+P（B）=3316621,3, 5；大事 B：趄上一面的點數(shù)為1,2,3,錯因分析

25、：大事A：朝上一面的點數(shù)是很明顯,大事A 與大事 B 不是互斥大事；即 P（A+B） P（A）+P（B）,所以上解是錯誤的；實際上：正確解法為： A+B包含：朝上一面的點數(shù)為P（A+B）=42631,2,3,5 四種情形錯誤會法 2：大事 A：朝上一面的點數(shù)為1,3,5；大事 B：朝上一面的點數(shù)為1,2,3,即以 A、 B大事中重復(fù)的點數(shù)1、 3 P（A+B）=P（A）+P（B） P（A B）= 1 1 1 1 32 2 2 2 4錯因分析： A、B大事中重復(fù)點數(shù)為 1、3,所以 P（A B）= 2 ；這種錯誤會法在于簡潔6地類比應(yīng)用容斥原理 Card A B Card A Card B Ca

26、rd A B 致錯正確解答： P（A+B）=P（A）+P（B） P（AB）= 1 1 2 22 2 6 3,1 當(dāng)?shù)?n 次擲出偶數(shù) 例 2某人拋擲一枚勻稱骰子,構(gòu)造數(shù)列 a n ,使 an,記,1 當(dāng)?shù)?n 次擲特別數(shù) S n a 1 a 2 a n 求 Si 0 i ,1 ,2 ,3 4 且 S 8 2 的概率；錯解：記大事 A：S 8 2,即前 8 項中, 5 項取值 1,另 3 項取值 1 S 8 2 的概率 P A C 8 5 1 82記大事 B：Si 0 i ,1 ,2 ,3 4 ,將 Si 0 i ,1 ,2 ,3 4 分為兩種情形：（1）如第 1、2 項取值為 1,就 3,4

27、項的取值任意（2）如第 1 項為 1,第 2 項為 1,就第 3 項必為 1 第四項任意P（B）=12133228所求大事的概率為P=P（A）P（B）=3 C 851882錯因分析：iS0且S 82是同一大事的兩個關(guān)聯(lián)的條件,而不是兩個相互獨立大事；iS0對S82的概率是有影響的,所以解答應(yīng)為：P 1C3 618；正解：Si0 i,1 ,2,34 前 4 項的取值分為兩種情形如 1、3 項為 1；就余下 6 項中 3 項為 1,另 3 項為 -1 即可；即2如 1、2 項為正,為防止與第類重復(fù),就第3 項必為 -1 ,就后 5 項中只須 3 項為 1,余下 2 項為 -1 ,即P 2C3 51

28、8,2所求大事的概率為P C3 6C3 51815227二、有序與無序不分致錯例 3甲、乙兩人參與普法學(xué)問競賽,共有10 個不同的題目,其中選擇題6 個,判定題 4 個,甲、乙依次各抽一題；求：（1）甲抽到選擇題,乙提到判定題的概率是多少？（2）甲、乙兩人中至少有1 人抽到選擇題的概率是多少？錯誤會法：（1）甲從選擇題抽到一題的結(jié)果為C1 6；乙從判定題中抽到一題的結(jié)果為C1 4而甲、乙依次抽到一題的結(jié)果為C2 10所求概率為：C6 1 C1 48C2 1015錯因分析：甲、乙依次從10 個題目各抽一題的結(jié)果,應(yīng)當(dāng)是先選后排,所以應(yīng)為A 10 2為防止錯誤,對于基本領(lǐng)件總數(shù)也可這樣做：甲抽取一

29、道題目的結(jié)果應(yīng)為C1種,乙再抽取10余下的 9 道題中的任一道的結(jié)果應(yīng)為C 種,所以 1正確解答：C1C1464C 10 1C1159（2）錯誤會法：從對立大事考慮,甲、乙都抽到判定題的結(jié)果為C2 4種,所以都抽到判斷題的概率為C211,所求大事的概率為11144C1 10C1515159錯因分析： 指定大事中指明甲、乙依次各抽一題,那么甲、乙都提到判定題的結(jié)果應(yīng)為C1 4C1 3種,所以所求大事概率應(yīng)為1C1 4C1 32C1 10C1 915說明：對于第（2）問,我們也可以用這樣解答：1C2 42,這里啟示我們,當(dāng)基本領(lǐng)件是有序的,就指定大事是有序的（指定大事C2 1015包含在基本領(lǐng)件中

30、） ；當(dāng)基本領(lǐng)件是無序的,就指定大事也必?zé)o序；關(guān)鍵在于基本領(lǐng)件熟悉角度必需精確；例 4已知 8 支球隊中有3 支弱隊,以抽簽方式將這8 支球隊分為A、B 兩組,每組4支,求： A、 B兩組中有一組恰有兩支弱隊的概率；錯解：將 8 支球隊均分為 A、B 兩組,共有 C 8C 44 4種方法： A、B 兩組中有一組恰有兩支弱隊的分法為： 先從 3 支弱隊取 2 支弱隊,又從 5 支強隊取 2 支強隊,組成這一組共有 C 5C 23 2種方法,其它球隊分在另一組,只有一種分法；所求大事的概率為：CC 58 24 CC 24 24 37；錯因分析：從基本領(lǐng)件的結(jié)果數(shù)來看,分組是講求次序的,那么指定大事

31、：“ A、B 組中有一組有 2 支弱隊” 應(yīng)分為兩種情形；即“A 組有” 或“B 組有” ,所以正確解答為：正解：2C C8 4 5 2C C4 4 2 267 或C 8 4 CC 5 24 4 C/ 2 2A 2 2 67說明：這道題也可從對立大事求解：3 支弱隊分法同一組共有：4 8C1 5C1 5種結(jié)果；所求大事概率為1C1 5C1 56CC4 47三、分步與分類不清致錯例 5某人有 5 把不同的鑰匙,逐把地試開某房門鎖,試問他恰在第 3 次打開房門的概率？錯誤會法： 由于此人第一次開房門的概率為1 ,如第一次未開, 第 2 次能打開房門的概 5率應(yīng)為 1 ；所以此人第 3 次打開房門的

32、概率為 1 ；4 3錯因分析： 此人第 3 次打開房門實際是第 1 次未打開,第 2 次未打開, 第 3 次打開 “ 這三個大事的積大事”,或者懂得為“ 開房門是經(jīng)過未開、未開、開” 這三個步驟,不能理解為此大事只有“ 開房門” 這一個步驟,所以,正確解答應(yīng)為：正解：第 1 次未打開房門的概率為 4 ；第 2 次未開房門的概率為 3 ；第 3 次打開房門5 4的概率為 1 ,所求概率為：P 4 3 1 1；3 5 4 3 5例 5某種射擊競賽的規(guī)章是：開頭時在距目標 100m處射擊,如命中記 3 分,同時停止射擊；如第一次未命中,進行其次次射擊,但目標已在 150m遠處,這時命中記 2 分,同

33、時停止射擊；如第 2 次仍未命中,仍可以進行第 3 次射擊,此時目標已在 200m遠處；如第3 次命中就記 1 分,同時停止射擊,如前 3 次都未命中,就記 0 分；已知身手甲在 100m處擊中目標的概率為 1 ,他命中目標的概率與目標的距離的平方成反比,且各次射擊都是獨立2的；求：射手甲得 k 分的概率為 Pk,求 P3,P2,P1,P0的值；：設(shè)射手射擊命中目標的概率 P 與目標距離 x之間的關(guān)系為 Px k2,由已知 12 100 k2 k 5000錯誤會法：P 3 125000 2P 2150 2 95000 11P200 2 81 2 1 49P 0 1 1 1 2 9 8 144錯

34、因分析：求 P2 時,將第 150m處射擊命中目標的概率作為第 2 次命中目標的概率,隔離了第 1 次射擊與第 2 次射擊的關(guān)系, 實際上, 第 2 次射擊行為的發(fā)生是在第 1 次未擊中的前提下才作出的；P2 應(yīng)為“ 第 1 次未擊中,第2 次擊中” 這兩個大事的積大事的概率；求P1 時也如此；正解：P 312P 2 11212991P 11 1217298144P 0 11121149298144四、考慮不周致錯例 6某運動員射擊一次所得環(huán)數(shù)x的分布列如下：10 ,求：的分x7 8 9 P 0.2 0.2 0.2 0.2 現(xiàn)進行兩次射擊,以該運動員兩次射擊中最高的環(huán)數(shù)作為他的成果記為布列；錯

35、誤會法：的取值為 8,9,10；=7,兩次環(huán)數(shù)為 7,7 ；=8,兩次成果為 7,8 或8,8；=9,兩次成果 7,9 或 8,9 或 9,9；=10,兩次隊數(shù)為 7,10 或 8,10 或 9, 10或 10,10；P70. 2.020. 040.152.0.0230. 2P80. 2.030.32P90. 20.30. 3.030. 3P10.020.30. 20. 30. 322（分布列略）錯因分析：P 8 , 即 兩 次 成 績 應(yīng) 為7 , 8或8 , 7或8 , 8實 際 為 三 種 情 形 ,8 20. 20. 3.0 32.021P 9兩 次 環(huán) 數(shù) 分 別 為7,9（ 或9,7）； 8,9（ 或9,8）,9.9 920. 20. 320.3.030. 32.039同理P10 .012220. 30. 240. 22.0 36例 7將 n 個球等可能地放入到N（n n）個有編號的盒子中（盒子中容納球的個數(shù)不限）；求 A：某指定的