1、2021高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽 C題輸油管線設計的數(shù)學模型 闡述的主要問題 某油田方案在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時在鐵路線上增建一個車站，用來運送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設計院希望建立管線建設費用最省的模型。針對這個問題，通過三個小問題進行解答：1.針對兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出設計方案。假設有共用管線，考慮其共用管線費用與非共用管線費用相同或不同的情形。2. 兩煉油廠的具體位置其中 廠位于郊區(qū)， 廠位于城區(qū)，兩個區(qū)域有明顯的分界線。假設所有管線的鋪設費用均相同， 鋪設在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用，根據(jù)三家工程咨詢公司

2、對此項附加費用的估計，為設計院給出管線布置方案及相應的費用。3. 為進一步節(jié)省費用，煉油廠根據(jù)生產(chǎn)能力，選用相適應的油管。這時的管線鋪設費用就各不相同，拆遷等附加費用同上。給出管線最正確布置方案及相應的費用。解決問題的前提管道直線鋪置，無彎道；各管道路況對管道鋪置無影響，因此管線的建設費用與管線的長度成正比；對煉油廠廠址和車站站點用點表示，對管道用線表示；車站可在鐵路上任意一點修建；鐵路為一條直線無彎道；區(qū)域分界線垂直于鐵路；共用管道和非共用管道的施工費用不予以考慮 問題一的解答：方案一圖一問題一的解答：利用幾何知識，用光學性質(zhì)建立模型：如圖一所示作點 關于直線 的對稱點 ，連接 交于點 ，得

3、所需輸油管線總長度為： 問題一的解答：方案二圖二如圖二所示虛線是平行 軸的直線，作點 關于直線 的對稱點 ， ，假設使 最小對 求導得 令 得問題一的解答：討論：1、當共用管線和非共用管線費用相同時只需考慮管線的距離：1當 ； 的最小值:當 時，那么 ；隨機取一組符合條件的數(shù)據(jù)，得 求得方案二最正確；同理，當 時；解得 ；即方案二最正確。 問題一的解答：2) 當 ； 的最小值為 同上的解法求得方案一最正確。問題一的解答：2、當共用管線和非共用管線費用不相同時要考慮方案二中的各局部管線的總費用并與方案一中的費用比照，得出最優(yōu)方案。經(jīng)過查閱資料得知某非共用管道5萬元/千米；共用管道8萬元/千米；方

4、案一的費用為 ；方案二的費用為：問題一的解答：問題一的解答：1當 時， ，隨機取一組符合條件的 值 ，解得 即方案二最正確。 當 時， 即選方案二。 2同理：當 時， 當 時，解得 。當 時，解得 。即方案一最正確。問題一的解答：問題二的解答：圖三 根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)和問題一中的結(jié)論綜合分析此時方案二最正確。但在城區(qū)內(nèi)鋪設管道既要管道費用又要附加費用。問題二的解答：公司一二三附加費用（萬元/千米） 根據(jù)他們的工作經(jīng)驗的權重確定附加費用為21.5萬元/千米。在 上取 ，設 總費用 將 分別對 進行求偏導數(shù)并求出最優(yōu)解。問題二的解答：解得解方程組問題二的解答：解得問題二的解答： 解得當 時，有最優(yōu)解為 萬元。問題二的解答：問題三的解答：在問題二的根底上進行改進，圖四 根據(jù)題中給出的共用管道和非共用管道的鋪設費用的不同對問題二的解答進一步優(yōu)化。設 ，所以 問題三的解答： 將 分別