1、量子力學(xué)講義第1頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四薛定諤ERWIN SCHRODINGER (1887-1961)第2頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋波粒二象性的矛盾和解釋 1. 波和粒子的關(guān)系波由粒子組成,波是大量粒子運(yùn)動的表現(xiàn) 與減少入射粒子流密度,讓粒子近似地一 個個從粒子源射出后仍有波動性的實(shí)驗(yàn)不符粒子由波組成,粒子=波包第3頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋反例:i)自由粒子平面波,占據(jù)整個空間 ii)色散 群速度: 相速度: 必有色散-粒子解體第4頁，共1

2、52頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋粒子性 顆粒性(V) 軌道(X)波動性 物理量周期分布(V and X) 將”粒子分布”視為物理量 疊加性-干涉,衍射(V)第5頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 時間為t時刻,粒子出在位置r的幾率第6頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)的討論 的平方可積除了個別孤立奇點(diǎn)外,波函數(shù)單值,有界,連續(xù)不確定性: i) 表示同一個態(tài)-歸一化 ii)相角不確定性(常數(shù)相角)經(jīng)典,態(tài)確定性 量子:幾率性=可用以

3、計(jì)算平均值第7頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)的討論平面波多粒子體系的推廣第8頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋動量幾率分布函數(shù) =Fourier變換頻譜展開第9頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 可描寫體系狀態(tài), 也可描寫體系狀態(tài) 是同一個態(tài),不同自變量第10頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 代表在 態(tài)中, 出現(xiàn)單色平面波 的幾率第11頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10

4、分，星期四2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋處在 的粒子,動量無確定值相當(dāng)于晶體衍射如若 則第12頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.1 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋坐標(biāo)表象和動量表象第13頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.2 態(tài)疊加原理波疊加 經(jīng)典 合成的波中有各種成分 相干性 量子 相干性 新特點(diǎn)第14頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.2 態(tài)疊加原理 新特點(diǎn)可能性和概率干涉項(xiàng)的概率性是粒子運(yùn)動狀態(tài)概率波自身的干涉,不是不同粒子之間的干涉第15頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.2 態(tài)疊加原理波疊加

5、原理的表述 a)如果 是可能態(tài) 則 也是一個可能態(tài) b)在 中,體系出現(xiàn) 的幾率是第16頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.2 態(tài)疊加原理討論 a) b)光子偏整態(tài):Malus定律第17頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.2 態(tài)疊加原理討論 但任何時候觀測到的都是一整個光子, 而不是 個光子 =概率相干第18頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.2 態(tài)疊加原理討論 c)線性疊加 d)疊加次序并不重要第19頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.3 薛定諤方程經(jīng)典力學(xué) 牛頓方程特點(diǎn):線性方程

6、二階全微分方程,只有一個獨(dú)立變量t唯一性方程系數(shù)不含狀態(tài)參數(shù),有普適性第20頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.3 薛定諤方程量子力學(xué) 要求:線性方程(態(tài)疊加原理的直接要求)系數(shù)也不含狀態(tài)參數(shù)t與x,y,z均為變量=只能是偏微分方程解的唯一性=兩階正規(guī)方程第21頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.3 薛定諤方程量子力學(xué) 進(jìn)入方程式,體現(xiàn)微觀世界的特點(diǎn)(量子化) -0,過渡到牛頓方程第22頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.3 薛定諤方程建立方程的啟示 自由粒子 已知解=方程式(不唯一)第23頁，共152頁，20

7、22年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.3 薛定諤方程已知解=方程式(不唯一)第24頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.3 薛定諤方程一般情況:第25頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.3 薛定諤方程說明: a)波動力學(xué)的基本假定,表征量子體系特征的量h進(jìn)入了方程式,薛定諤方程在量子力學(xué)中的地位與牛頓方程在經(jīng)典力學(xué)中的地位相當(dāng) b)算符形式第26頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.3 薛定諤方程力學(xué)量用算符表示兩個慣例 1)只在直角坐標(biāo)中適用,因?yàn)槲⑸滩粎f(xié)變 例:二維極坐標(biāo)下的薛定諤方程第27頁，共152頁

8、，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.3 薛定諤方程兩個慣例 2)將H分成三部分: i)與坐標(biāo)無關(guān)的動量二次式 ii)只依賴于坐標(biāo)的函數(shù) iii) 第28頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.3 薛定諤方程因?yàn)橛胁ê瘮?shù)統(tǒng)計(jì)解釋,因此概率流守恒定律自動包含在薛定諤方程中第29頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.3 薛定諤方程第30頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.3 薛定諤方程為什么 而與t無關(guān)?第31頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.3 薛定諤方程定態(tài)U=U(r), 不

9、顯含t 第32頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.3 薛定諤方程 = 幾率流密度變不變?第33頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.3 薛定諤方程本征值方程第34頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.3 薛定諤方程邊界條件的討論:U連續(xù),波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)U不連續(xù),波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)U趨向無窮大 (一階)波函數(shù)連續(xù),一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)U趨向無窮大(二階及以上)波函數(shù)不連續(xù),一階導(dǎo)數(shù)亦不連續(xù)第35頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.4 一維方勢阱一維無限深勢阱第36頁，共152頁，20

10、22年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.4 一維方勢阱一維無限深勢阱第37頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.4 一維方勢阱一維無限深勢阱第38頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.4 一維方勢阱一維無限深勢阱第39頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四一維方勢阱波函數(shù)圖象第40頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四一維方勢阱波函數(shù)圖象第41頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.4 一維方勢阱思考題:將勢能為零的區(qū)間放大或者縮小一倍(分是足夠緩慢的變還是突變兩種情況)

11、時,波函數(shù)和能級怎么變?將勢場曲線正題右移a,波函數(shù)和能級怎么變?第42頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.4 一維方勢阱一維方勢阱第43頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.4 一維方勢阱一維方勢阱第44頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.4 一維方勢阱一維方勢阱第45頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.4 一維方勢阱a)偶宇稱 波函數(shù)為 cos(kx)關(guān)鍵:用 在 連續(xù)以代替波函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的連續(xù).好處在于去掉波函數(shù)中常數(shù)的影響第46頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10

12、分，星期四2.4 一維方勢阱 結(jié)論:無論Ua2取何值,都有解(見下一頁圖)第47頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四一維方勢阱偶宇稱能譜圖第48頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.4 一維方勢阱b)奇宇稱 波函數(shù)為sin(kx)結(jié)論:當(dāng) 時才有解(見下一頁圖)第49頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四一維方勢阱奇宇稱能譜圖第50頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.4 一維方勢阱c)當(dāng)勢場趨于無窮時,回到一維無限深勢阱的特例第51頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四具有

13、不同的深度但是寬度相同的方勢阱(1)第52頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四具有不同的深度但是寬度相同的方勢阱(2)第53頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四具有相同的深度但是寬度不同的方勢阱(1)第54頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四具有相同的深度但是寬度不同的方勢阱(2)第55頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.4 一維方勢阱思考題: 半壁無限勢阱時的解如何?第56頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.5 一維諧振子Motivation:物理上:勢場在平衡位置

14、附近展開 U(x)k(x-x0)2任何連續(xù)諧振子體系無窮多個諧振子集合輻射場簡諧波的疊加原子核表面振動,理想固體(無窮個振子)真正可以嚴(yán)格求解的物理勢(不是間斷勢)描述全同粒子體系產(chǎn)生,湮滅算符第57頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.5 一維諧振子Motivation:數(shù)學(xué)上:學(xué)會一套規(guī)范化的求解薛定諤方程的方案通過數(shù)學(xué),看物理第58頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.5 一維諧振子第59頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.5 一維諧振子求解1D Schrodinger Eq with harmonic os

15、cillator無量綱化優(yōu)點(diǎn)單位在物理學(xué)上并不重要,重要的是一些無量綱數(shù)可使方程的系數(shù)變得最簡單第60頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.5 一維諧振子第61頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.5 一維諧振子“抓兩頭,帶中間”抓兩頭:看方程在兩邊邊界上的漸進(jìn)行為 (三維:0點(diǎn)與無窮遠(yuǎn)點(diǎn),一維:正負(fù)無窮遠(yuǎn)點(diǎn))帶中間:使函數(shù)在兩頭有與漸近行為相同的形式第62頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.5 一維諧振子使之變成關(guān)于H的方程式第63頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.5 一維諧振子求級

16、數(shù)解,找遞推關(guān)系看解在無窮遠(yuǎn)處的漸近行為,”斬?cái)嗄ёΑ?無限求和截?cái)酁橛邢薜亩囗?xiàng)式,從而得到能譜及解求出波函數(shù)=歸一化第64頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四第65頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四第66頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四第67頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四第68頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四第69頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.5 一維諧振子厄米多項(xiàng)式的討論別名母系(母函數(shù))仇家(正交性)第70頁，共152頁

17、，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.5 一維諧振子厄米多項(xiàng)式的討論兄弟姊妹(遞推關(guān)系)對稱性節(jié)點(diǎn)第71頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.5 一維諧振子最低階的幾個厄米多項(xiàng)式及諧振子波函數(shù)第72頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.5 一維諧振子產(chǎn)生湮滅算符第73頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四第74頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四第75頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.5 一維諧振子思考題:半壁振子(兩種情況)(圖)(暫缺)第76頁，共15

18、2頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.5 一維諧振子思考題:對稱性 動量表象第77頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.5 一維諧振子思考題:n維諧振子體系等間距能級 n個粒子 元激發(fā)(elementary exitation) 集合產(chǎn)生湮滅算符第78頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì)一維非奇性勢薛定諤方程的束縛態(tài)無簡并第79頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì)第80頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.6 一維薛

19、定諤方程的普遍性質(zhì)一維束縛態(tài)波函數(shù)可取為實(shí)數(shù)第81頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì)一維束縛態(tài)本征函數(shù)的圖象(圖見后)第82頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì)一維束縛態(tài)本征函數(shù)的圖象第83頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì)一維束縛態(tài)本征函數(shù)的圖象第84頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì)能量本征函數(shù)性質(zhì),以x趨近正無窮大為例第85頁，共152頁，2022年，5月20日

20、，13點(diǎn)10分，星期四2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì)能量本征譜性質(zhì) 振蕩解,連續(xù)譜,二度簡并,散射態(tài) 指數(shù)衰減解 振蕩解 本征譜連續(xù),無簡并,非束縛態(tài)解第86頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì) 兩端均指數(shù)衰減,束縛態(tài)解,分立譜,無簡并第87頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.6 一維薛定諤方程的普遍性質(zhì)節(jié)點(diǎn)數(shù): 基態(tài)無節(jié)點(diǎn),第n個激發(fā)態(tài)有n個節(jié)點(diǎn)對稱性: 若U(x)=U(-x) 則波函數(shù)可具有確定的宇稱正交歸一性第88頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.6 一維薛定諤方程的普遍性

21、質(zhì)上述結(jié)論均可用 的性質(zhì)證明一維薛定諤方程的所有性質(zhì)都與其相應(yīng)的Wronskian行列式有關(guān)第89頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.7 勢壘貫穿經(jīng)典圖象:眼前無路好回頭 量子圖象:眼前無路穿著走勢阱有無穿透?什么條件下全透射無反射?勢壘高度和寬度的影響?第90頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.7 勢壘貫穿第91頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.7 勢壘貫穿第92頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.7 勢壘貫穿第93頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.

22、7 勢壘貫穿第94頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.7 勢壘貫穿第95頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.7 勢壘貫穿第96頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.7 勢壘貫穿在非相對論情況下,粒子不可能穿透無限高位壘第97頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.7 勢壘貫穿如果討論的是勢阱而不是勢壘,那么只需要作代換第98頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.7 勢壘貫穿共振透射的條件和共振能量第99頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2

23、.8 三維薛定諤方程(輳力場情況)輳力普遍性質(zhì)若U(r)處處有界=波函數(shù)處處有界若U(r)有極小值,則體系平均能量必大于勢場的極小值能量算符的本征值比大于勢場的極小值若無窮遠(yuǎn)處勢場為零,則能量本征值小于零的能譜必定是分立譜,對應(yīng)束縛態(tài)第100頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況)普遍性質(zhì)Landau fall第101頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況)Landau falls2: r趨于零,吸引力為主;r趨于無窮,斥力為主 Landau falls=2: 決定于c和alpha的

24、數(shù)值 alpha_critical=barh2/8m第102頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況)角度部分的解第103頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況)第104頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況)第105頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況)第106頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況)第107頁，共1

25、52頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況)勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)別名第108頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況)母系兄弟姊妹第109頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況)仇家對稱性第110頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況)幾個最低階的勒讓德多項(xiàng)式如下第111頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況)第112頁，共152頁，

26、2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況)第113頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況)綜上所述,球?qū)ΨQ場中薛定諤方程角度部分的解第114頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況)最低的幾個球諧函數(shù)是第115頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.8 三維薛定諤方程(輳力場情況)最低的幾個球諧函數(shù)是第116頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.9 氫原子二體問題質(zhì)心運(yùn)動相對運(yùn)動相當(dāng)于自由粒子運(yùn)動M

27、=m1+m2相當(dāng)于一個質(zhì)量為折合質(zhì)量m的粒子的運(yùn)動m=m1*m2/(m1+m2)Et=Ec+E第117頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.9 氫原子庫侖場中的徑向方程第118頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.9 氫原子 第119頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.9 氫原子 第120頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.9 氫原子 第121頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.9 氫原子作代換得到令第122頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分

28、，星期四2.9 氫原子第123頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.9 氫原子為切斷無窮級數(shù),取由得到第124頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.9 氫原子第125頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.9 氫原子第126頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四最低階的幾個徑向波函數(shù)第127頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.9 氫原子第128頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四2.9 氫原子第129頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四徑向分布函數(shù)與半徑的關(guān)系(a)第130頁，共152頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)10分，星期四徑向分布