1、橢圓的焦點(diǎn)三角形一知識(shí)梳理定義：橢圓（雙曲線）上一點(diǎn)和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形叫焦點(diǎn)三角形；有一個(gè)角為直角的焦點(diǎn)三角形叫焦點(diǎn)直角三角形。性質(zhì)一：該三角形一邊長(zhǎng)為焦距，另兩邊的和為定值。因此周長(zhǎng)為定值2a+2c性質(zhì)二：已知橢圓方程為x2y21(ab0),兩焦點(diǎn)分別為F1,F2,設(shè)焦點(diǎn)三角a2b2形PF1F2中F1PF2,則SF1PF2b2tan.2y證明：記|PF1|r1,|PF2|r2，P由橢圓的第必定義得r1r22,(r1r2)242.aaF1OF222在F1PF2中，由余弦定理得：r1r22r1r2cos(2c)2x.配方得：(r1r2)22r1r222cos4c2.r1r即4a22r1r2(1

2、cos)4c2.由隨意三角形的面積公式得：1sin2sincosSF1PF2r1r2sin22222tan.2b1cosb2cos2b22性質(zhì)三：已知橢圓方程為x2y21(ab0),兩焦點(diǎn)分別為F1,F2,設(shè)焦點(diǎn)三角a2b2形PF1F2中F1PF2,則cos2b2112e2.而且點(diǎn)P在y軸上是張角最大。a2證明：設(shè)PF1r1,PF2r2,則在F1PF2中，由余弦定理得：2b212b2112e2.當(dāng)切僅當(dāng)r1r2，即點(diǎn)P在y軸r1r2)2a2(2是cos取的最小值，而角獲得最大值。二典型例題例1如圖把橢圓x2y21的長(zhǎng)軸AB分紅8分，2516過每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于P,P,P七個(gè)點(diǎn)

3、，F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則PFPF.PF_127127解：只要取橢圓的另一焦點(diǎn)與P1,P2,P7七個(gè)點(diǎn)分別連結(jié)，由結(jié)論1和對(duì)稱性可知例2若P是橢圓x2y21上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是其焦點(diǎn)，且F1PF260，1）10064求F1PF2的面積2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)例3已知F1、F2是橢圓x2y21(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)P使a2b2F1PF290，求橢圓離心率e的取值范圍。由焦點(diǎn)三角形性質(zhì)二，cos90012e2.e12練習(xí)題1.橢圓y2x21上一點(diǎn)P與橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2的連線相互垂直，則F1PF24924的面積為（）A.20B.22C.28D.242.橢圓x2y21的左右焦點(diǎn)為F1、F2，P是

4、橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)F1PF2的面積4為1時(shí)，PF1PF2的值為（）A.0B.1C.3D.63.橢圓x2y21的左右焦點(diǎn)為F1、F2，P是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)F1PF2的面積4最大時(shí)，PF1PF2的值為（）A.0B.2C.4D.24已知橢圓x2y21（a1）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，P為橢圓上一點(diǎn)，a2且F1PF260，則|PF1|PF2|的值為（）A1B1C4D2333已知橢圓的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，F(xiàn)1、F2為焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，直線PF與PF傾斜角的差為90，F(xiàn)PF的面積是，離心率為5，1212203求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.6x2y2PF2的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為？F1,F2是橢圓C:1的焦點(diǎn),在C上知足PF184A.0B.1C.3D.47橢圓x2y21的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)F1PF2為鈍角時(shí)，94點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是。8已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，過F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若F1PF2為等腰三角形，則橢圓的離心率為（）A22122D21B2C29已知ABC的極點(diǎn)B、C在橢圓x2+y2=1上,極點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),且橢圓的4此外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上,則ABC的周長(zhǎng)是.10設(shè)F1,F2是橢圓+=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)M在橢圓上,若MF1F2是直角三角形,則MF1F2的面積等于(