1、二次根式的概念及性質(zhì)內(nèi)容分二次根式是以實數(shù)中所學(xué)內(nèi)容為基礎(chǔ)，對開平方、開立方等運算進行擴展， 基本要求是知道二次根式的取值范圍掌握二次根式的求值二次根式中題目類 型多變，方法多種多樣重點是掌握二次根式的概念、性質(zhì)，難點是通過性質(zhì)進 行化簡和求值知識結(jié)模塊一：二次根式的概念知識精、次式概（1代數(shù)式 a （ 0 ）做二次根式，讀“根號 a ”，中 被開方數(shù) （2二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負數(shù)例題解【例】下列各式中，二次根式的個數(shù)有 ）1.2 ； ； ；x3； x 30 ； A B3 個4 個D5 個【答案】B【解析】 1.2 、 、 x 30 是二次根式， xy 、 根式，當(dāng) x 時不x3

2、、 一定是二次【總結(jié)】考查二次根式的概念，需滿足兩個條件：根指數(shù)為 2；被開方數(shù)為非負數(shù)【例】添加什么條件時，下列式子是二次根式？（1 ； （） 1 x |； （3） x ；（4 x 1【答案】（1） x ；2） ；（） ；（） 或 x 4【解析） x ， x ； （）由 ， ；（3）由 x ，得 ；（4由 ， 或 4【總結(jié)】本題考查二次根式有意義的條件，即被開方數(shù)為非負數(shù)即可【例】對于a下列說法中正確的是（ ）A 對于意實數(shù) 它表示的是 的算術(shù)平方根B 于任意的正實數(shù) a 它表示的是 的術(shù)方根 C對于任意的正實數(shù) a 它表示的是 的方根D 對于意的非負實數(shù) a ，表示的是 的算術(shù)平方根 【答

3、案D【解析】 ( a 0) 表示 的算術(shù)平方根【總結(jié)】本題考查算術(shù)平方根的概念【例】等式 xA x 成立的條件是（）B x C x D x 【答案D【解析】由 x ， ，得 x ， ， 【總結(jié)】式子有意義的條件：二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)；分母不為零【例】求使下列二次根式有意義的實數(shù) x 取值范圍（1 ； （22 1 x |【答案） x 或 ） 且 x 【解析） x ，得 或 ； （2）由 1 x 0，得 x 且 【總結(jié)】二次根式有意義的條件：二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)；分母不為零【例】實數(shù) x y 足， y 13 x 3 x3 ，求 的值 y【答案】【解析】由 x ， ，得 ； y 3 x；

4、 3 y33 3【總結(jié)】式子有意義的條件：二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)；分母不為零【例】已知 x x y 求 ( x y )的【答案】 x 2【解析】由題意得： ，解得： ， ( x y) -1 【總結(jié)】考查非負數(shù)相加和為零的模型，則這幾個式子都為零【例】如果代數(shù)式 1mn有意義，那么在平面直角坐標(biāo)系中P m 的置在( ) A第一象限B第二象限C三象限D(zhuǎn)四限【答案C【解析】mn ， m 且 n ， ， 又 ， n 點 P 在三象限【總結(jié)】二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)【例】如果 y x 3 ，求 xy 的 【答案】【解析】 ，x ， ， ， xy 【總結(jié)考查二次根式有意義的件互為相反數(shù)的式子作為被開

5、方數(shù)則這兩個式子必 然都等于零【例10 已 y ( y ) ，求 y 、 【答案】 ， ， z 【解析】由題意得： 2 x y y ， x y z ， 即 x ， z x y z ，【總結(jié)】本題主要考查利用配方將原式化為幾個非負數(shù)和為零的形式 【例11 若 ， b 3 ，求2 ) 的【答案】30【解析】a ，b 3， a 原式 = 2a = =7 3 =30【總結(jié)】本題主要考查三項完全平方式的運用以及二次根式的計算【例12 若 z 適 3 z 2 y y 2016 x ，求 z 的 【難度】 【答案】【解析】 2016 y ， 又2016 y ， x y ， x y 2 x y z 即 x y

6、 ， z （） 解得： 3358【總結(jié)本先根據(jù)二次根式有意義的條件出 為零時，則這兩個式子必然都等于零 2016又查當(dāng)兩個非負數(shù)的和模塊二：二次根式的性質(zhì)知識精、次式性（1二次根式的性質(zhì)：性質(zhì) ： a ( ；性質(zhì) ： ( a ) ( 0) ；性質(zhì) ： ab （ ， b a a性質(zhì) ： （ a ， b b （2與 a 的關(guān)系：a a ( 例題解【例13 計下列各式的值：（1 ；（2 ；（3） ( ；（4 ( 3)；（5 )；（6 x x 【答案】（1） 3 （2 ； （） ； （）； （） ） 【解析】根據(jù)二次根式性質(zhì) 2 即得出結(jié)果【總結(jié)】考查二次根式性質(zhì) 2 的用【例14 化 ：（1 20

7、( a ；（2） 20 ；（3 c( 0) ；（4） ( a ) （ a ， 【答案】（1）2 5a；（）2ab 5；（3b；（4） 【解析）= 4 5 2 5 ；（2原= a 5b 2ab b （3）原式 abc cb ；（4） ， a ，原式=a 【總結(jié)】考查二次根式的被開方數(shù)的非負性和二次根式的性質(zhì) 質(zhì) 3，先將根號中的平方 數(shù)或平方式找出來以對值的式寫出來然后根據(jù)式子確立相關(guān)隱含條件去絕對值解 題 【例15 化：（1 ( a ；（2 ( ；（3 a( )；（4 ( x ( (2 5) 【答案】（1） ；（） ( a ；3 ；（）3 【解析） ( 222 ； （） ( a ) a ； （

8、3） a 2a ； （4） ( 2 ( 2 【總結(jié)】考查二次根式的被開方數(shù)的非負性和二次式的性質(zhì) 質(zhì) 3先將根號中的平方 數(shù)或平方式找出來以對值的式寫出來然后根據(jù)式子確立相關(guān)隱含條件去絕對值解 題【例16 化：（1 x x 0) ；（2 x x x 【答案】（1） ； （） x 【解析） x ；（2）x ， 原式x x x = 【總結(jié)】考查二次根式的被開方數(shù)的非負性和二次根式的性質(zhì) 質(zhì) 3，先將根號中的平方 數(shù)或平方式找出來以對值的式寫出來然后根據(jù)式子確立相關(guān)隱含條件去絕對值解 題【例17 把列各式中根號外面的因式移到根號內(nèi)，并使原式的值不變 （1 1 ） ） ） ( x 2 1 【答案】（1

9、） ； （） a ；（3） a ；） 【解析） ；（2 a a a ； （3 a 2 6 ；（4 ( 1 . 【總結(jié)把式子移入根號中要保持式子的正負值不變化時注意題目中的隱含條件的發(fā) 掘【例18 化：（1 ( ab ，bc ；（2 a ( 【答案】（1） abc ；（） a【解析】（1）原式= a abc ；（2）原式 2222【總結(jié)】考查二次根式的化簡，注意被開方出來的結(jié)果一定非負【例19 已 3 y ， ( y ) 【答案】的值 x y 【解析】由題意得： 3 x ， 【總結(jié)考查二次根式有意義的件互為相反數(shù)的式子作為被開方數(shù)則這兩個式子必 然都等于零、y、y【例20 已 是數(shù)，且y 1 1

10、 |1 ，求2 的值【答案】 【解析】由題意得： ， |1 ； y 【總結(jié)考查二次根式有意義的件互為相反數(shù)的式子作為被開方數(shù)則這兩個式子必 然都等于零，再利用去絕對值的知識就可以解決【例21 已 x x 求 x 的值范圍【答案】 1 【解析】由題意得： x ；點分段法分類討論即可【總結(jié)】考查二次根式的被開方數(shù)的非負性和二次根式的性質(zhì) 質(zhì) 3，先將根號中的平方 數(shù)或平方式找出來以對值的式寫出來然后根據(jù)式子確立相關(guān)隱含條件去絕對值解 題【例22 如 x y x 立，求 的【答案】30【解析】由題意得： ， ， xy 【總結(jié)考查二次根式有意義的件互為相反數(shù)的式子作為被開方數(shù)則這兩個式子必 然都等于零

11、，再利用去絕對值的知識就可以解決【例23 已 ，代數(shù)式 4的值【答案】1 2【解析 x x 又 2 x 原式= 1 3 x 【總結(jié)】考查二次根式的化簡求值，注意被開方出來的結(jié)果一定非負【例24 已 求x x 的位數(shù)字 【答案】【解析】 x x， x x ， x 個位數(shù)字為 【總結(jié)】本題考查了完全平方公式的變形及計算【例25 （ 在 ABC 中 a 、 為邊，且滿足 36 ，最大 邊 c 的取值范圍；（2已知實數(shù) ，滿足 ( )與 x 互相反數(shù)，求 x的平方根【答案】（1） ；2 2 【解析）據(jù)題意，即為 a ，此 a ， 8 ，解得： ， ，據(jù)三角形三邊關(guān)系，且 為大邊，可知 b ， 8 （2

12、由題意得： ( x y )2 x y ， 2 8 5x x ，解得： ， 【總結(jié)考查非負數(shù)相加和為零模型這幾個式子都為零然根據(jù)三角形三邊關(guān)系即 可確定取值范圍【例26 已知： r ， 的大小【答案】 a 1 1 ，b ， r r r r r ( r r ，試比較 abc【解析】由題意得： a 1 1 1 ) ) )( r r r r r r ) ， r ， 1 1 1 ， r r 又 r r r ( r r r ( r r ， r r 1 r r r a 【總結(jié)部分題目不方便直接求在這個過程中一定要注意觀察應(yīng)用一些特別的等量關(guān) 系進行求解解決問題【例27 已 【答案】1b，求 的值（結(jié)果含 b

13、 的子表示【解析】 1 1 b1 b， 1 y ，原式= = 【總結(jié)部分題目不方便直接求在這個過程中一定要注意觀察應(yīng)用一些特別的等量關(guān) 系進行求解解決問題【例28 化： 2a a b ( 2 a a【答案】 【解析】原= aa=a = ，又a 2 ，原式= = 【總結(jié)部分題目不方便直接求在這個過程中一定要注意觀察應(yīng)用一些特別的等量關(guān) 系進行求解解決問題【例29 已：= 14 5 ， m m m 的值【答案】【解析】由題意得： m 5 5 3) 把 代原式，合并同類項得：原=8 ， ，【總結(jié)部分題目不方便直接求在這個過程中一定要注意觀察應(yīng)用一些特別的等量關(guān) 系進行求解解決問題隨堂檢【習(xí)題1】 下

14、計算中正確的是（A B )2C ( 2) 1 D ( ) 【答案A【解析】根據(jù)二次根式性質(zhì) 1 即得出結(jié)果 【總結(jié)】考查二次根式的性質(zhì) 1【習(xí)題2】 判下列哪些二次根式是二次根式？（1 4 （2 a （3 a （4 （5x x （6 ( 0)【答案】（1）是； （）不是 ； （3是； （4是； ）是；）是【解析】二次根式有意義的條件，即被開方數(shù)為非負數(shù)即可【總結(jié)】本題考查二次根式有意義的條件，即被開方數(shù)為非負數(shù)即可【習(xí)題3】 當(dāng)加什么條件時，下列二次根式有意義？（14 （2 （3） a （4 x（5 2 x（6） x2 【答案】（1） x 1 ；（） a ； （3 為意實數(shù)；（4） x ；（5

15、 ； 2 （6 【解析） 4 得 ； （）由 得 ； a 2（3） 為意實數(shù)； （4）由 得 x ； 3（5） ； （） 【總結(jié)】本題考查二次根式有意義的條件，即被開方數(shù)為非負數(shù)即可【習(xí)題4】 化： （1 ( ) （2） ( ( ) ) （3 4 x （4） ( a 【答案】（1） ； （） ； （） ； （） 0 【解析） ) 2 = ； 2） ( ( ) 2)2 a2； （3） x2 x x ； ） ( 2 【總結(jié)】考查二次根式的被開方數(shù)的非負性和二次根式的性質(zhì) 質(zhì) 3，先將根號中的平方 數(shù)或平方式找出來以對值的式寫出來然后根據(jù)式子確立相關(guān)隱含條件去絕對值解 題 【習(xí)題5】 化下列二次根式

16、：（1 75 y( x ，y ； （2 (3.14 ；（3） ( 0)【答案】（1） x ； （） 3.14 ； （3 【解析） 75 x2 y 3 xy ；（2） (3.14 2 ；（3） 2 【總結(jié)】考查二次根式的被開方數(shù)的非負性和二次根式的性質(zhì) 質(zhì) 3，先將根號中的平方 數(shù)或平方式找出來以對值的式寫出來然后根據(jù)式子確立相關(guān)隱含條件去絕對值解 題【習(xí)題6】 已 2 5 的數(shù)部分是 a，小數(shù)部分是 b，那么 (2 5) b 的是多? 【答案】【解析】 9 ， 2 4 5 a 5 ， 5)b 2 55 【總結(jié)對于一個無理數(shù)的小數(shù)分沒有辦法完整寫出來只能用一種整體思想相應(yīng)的表 示出來【習(xí)題7】

17、已 x ，則 【答案】 值是多少？【解析】 x =x ，代入 x 原式= =1【總結(jié)部分題目不方便直接求在這個過程中一定要注意觀察應(yīng)用一些特別的等量關(guān) 系進行求解解決問題【習(xí)題8】 已 3 ，求 y 的 【答案】40 【解析】 ， 代入得： 2 x y= 【總結(jié)】本題主要考查當(dāng)兩個非負數(shù)的和為零時，則說明這兩個非負數(shù)均為零【習(xí)題9】 已非零實數(shù) 、 y 足條件 2 x ， x 的值 【答案】【解析】x y ， ， ， 2 x ， 2x y x ， ， ， 解： y 【總結(jié)考查二次根式有意義的件互為相反數(shù)的式子作為被開方數(shù)則這兩個式子必 然都等于零，另一方面考查了非負數(shù)和為零的基本模型【習(xí)題1】

18、 設(shè)式 a ( x ) a ( ) y 在實數(shù)范圍內(nèi)成立，且 a 、y是兩兩不同的實數(shù)，則 xy y xy y 值等于_ 【答案】 【解析】由題意知： y ， 解得： x 3 y y 【總結(jié)部分題目不方便直接求在這個過程中一定要注意觀察應(yīng)用一些特別的等量關(guān) 系進行求解解決問題【習(xí)題1】 求足 a 的自然數(shù) 、x y 的值 【答案】 x ，y ，a 或 x ， 【解析】由題意得： 6 y (1) 6是無理數(shù)，假設(shè) 是有理數(shù)，則 x y 是有理數(shù)，這與）式矛盾， xy 為無理數(shù)， ， 又 a y， y ，y ， 或 ， 【總結(jié)部分題目不方便直接求在這個過程中一定要注意觀察應(yīng)用一些特別的等量關(guān) 系進

19、行求解解決問題課后作【作業(yè)1】 判下列式子哪些是二次根式？（1x2；（22x；（3 x ；（4 ； （5 ；（6【答案】（1）不是； （2）是； （3不是； （4）是； （）不是； （）是 【解析】根據(jù)二次根式的概念，需滿足兩個條件：根指數(shù)為；被開方數(shù)為非負數(shù)，即 可判斷出來【總結(jié)】考查二次根式的概念，需滿足兩個條件：根指數(shù)為 2；被開方數(shù)為非負數(shù)【作業(yè)2】 將 x 移根號內(nèi)，不變原來的式子的值：（12xx ；（2 ( x ( 【答案】（1） ；（）1【解析） ） ( 【總結(jié)把式子移入根號中要保持式子的正負值不變化時注意題目中的隱含條件的發(fā)掘【作業(yè)3】 若 ( x 【答案】 x x 有意義，則

20、 的取范圍是_【解析】 x 1 x ， 得： 【總結(jié)】式子有意義的條件：二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)；分母不為零；零沒有零 次冪【作業(yè)4】 計： ( 5 5 【答案】 【解析】 ( 5 2)( 5 = 【總結(jié)當(dāng)碰到次數(shù)較大的時候到去用公式本題運用平方差公式和二次根式的計算即 可【作業(yè)5】 化：（1 xy( y ；（2 x【答案】（1） y x ； （2） 2 y【解析】（1）原式= y x 3 x ； （2）原式 xy x 3x ， x 【總結(jié)】考查二次根式的被開方數(shù)的非負性和二次根式的性質(zhì) 3、性質(zhì) ，先將根號中的平 方數(shù)或平方式找出來以絕對值形式寫出來然后根據(jù)式子確立相關(guān)隱含條件絕對值 解題【作業(yè)6】 已 為非零實數(shù)，且 x ，則xx【答案】 a 【解析】 a ， 1x ， ， x x ，x x 【總結(jié)】本題考查完全平方公式的變形和二次根式的綜合 【作業(yè)7】 若數(shù)式 | a 求 a 3 的立方根【答案】 34 【解析】由題意得： a ， a 【總結(jié)】本題主要考查當(dāng)幾個非負數(shù)的和為零時，