1、擺列組合二項(xiàng)式概率統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)：1、擺列數(shù)：Pnmn(n1)(n2)(nm1)n!(nm)!mPnmn(n1)(n2)(nm1)n!2、組合數(shù)：CnPmmm!m!(nm)!，規(guī)定Cn01。3、組合數(shù)的性質(zhì)：CnmCnnm，CnmCnm1Cnm11，kCnknCnk11，CmmCmm1Cmm2CnmCnm11。4、擺列與組合的關(guān)系PnmCnmPmm5、二項(xiàng)式定理：(ab)nCn0anCn1an1bCn2an2b2CnranrbrCnnbn6、Tr1Cnranrbrb的指數(shù)與組合數(shù)的上標(biāo)一致。7、1二項(xiàng)睜開式的各二項(xiàng)式系數(shù)之和012nnCnCnCnCn22二項(xiàng)睜開式的奇數(shù)項(xiàng)之和024偶數(shù)項(xiàng)之和135n

2、1CnCnCnCnCnCn28、整體均勻數(shù)1(x1x2xN)N9、整體中位數(shù)的意義：從小到大的序次擺列，位于正中間地點(diǎn)的數(shù)是中位數(shù)，當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，中間地點(diǎn)的兩個(gè)數(shù)的均勻數(shù)是整體中位數(shù)10、整體方差21（x122（xN2N）（x2）=1（x12x22xN2）2N（22（xN211、樣本方差(總休標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)預(yù)計(jì)值)：sx1）（x2）N112、隨機(jī)抽樣(抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法):13、系統(tǒng)抽樣:等間隔抽樣，(每一個(gè)間隔抽取一個(gè))14、分層抽樣:按比率抽樣，比率k樣本數(shù)nn=整體數(shù)NN(一)擺列與組合1、在一塊并排10壟的田地中，選擇兩壟分別栽種A、B兩種作物，每種作物栽種一壟，為有益于作物生長，要求A、

3、B兩種作物的間隔不小于6，不一樣的栽種方法共有多少種？解：第一步：選壟，分類達(dá)成。如有第一壟，則有（1，8）、（1、9）、（1、10）共3種選法；如有第二壟，則有（2、9）、（2、10）共2種選法；如有第三壟，則有（3、10）共1種選法。故共有3+2+1=6種選法。第二步：栽種，對于選定的兩壟，有（A、B）、（B、A）兩各栽種方法。所以，不一樣的栽種方法共有62=12種。2、用五種不一樣的顏色給如圖A，B，C，D的四個(gè)地區(qū)涂色，假如每個(gè)地區(qū)涂一種顏色，相鄰地區(qū)不可以同色，那么涂色方法有多少種？ACDABDABCDBC(1)(2)(3)解：（1）挨次選擇A，B，C，D四個(gè)地區(qū)的顏色，涂色方法共有

4、：5444=320種（2）挨次選擇A，B，C，D四個(gè)地區(qū)的顏色，涂色方法共有：5434=240種3）分兩類A，C同色與A，C不一樣色，共有544+5433=80+180=260種方法3、正整數(shù)會(huì)合AK的最小元素為1，最大元素為2007，而且各元素能夠從小到大排成一個(gè)公差為K的等差數(shù)列，則并集A17A59中元素有多少個(gè)？分析：151個(gè)。A17中最小元素為1，公差為17，20071(n1)17對應(yīng)n20071111917A59中最小元素為1，公差為59，20071(n1)59對應(yīng)n200711355917與59互質(zhì)，最小公倍數(shù)為1759=1003，所以兩等差數(shù)列的公共項(xiàng)為：1，1004，2007共

5、有3個(gè)數(shù)，所以并集中元素為119+35-3=151個(gè)。4、六本不一樣的書，按以下要求，各有多少種不一樣的分法？1）分給甲乙丙三個(gè)，每人兩本；2）分為三堆，每堆兩本；3）分紅三堆，一堆一本，一堆兩本，一堆三本；（4）分給甲、乙、丙三人，一人一本，一本兩本，一人三本.解：（1）從6本不一樣的書取2安分給甲的分法有C62種，從余下4本書中拿出2本給乙的分法有C42,最后兩本給丙的分法有C22,故所求的不一樣分法有C62C42C22=90(種)（2）設(shè)分為三堆，每堆兩本的分法種數(shù)為x。因?yàn)閷?本書均勻分給甲、乙、丙三人，每人兩本可分紅兩步，第一步是把6本書分紅三堆，每堆兩本，第二步再把三堆書分給甲、乙

6、、丙三人，故由分步計(jì)數(shù)原理，得=xP33，進(jìn)而x=C62C42C22=15（種）。P33（3）因?yàn)槊慷驯緮?shù)不一樣，所以可以為它是有確立對象的分線組，可分三步達(dá)成，由分步計(jì)數(shù)原理可知，所求的不一樣分法有C16C52C33=60（種）4）因?yàn)槲创_立準(zhǔn)得一本、兩本、三本，故可分紅兩步達(dá)成，第一步：先分堆，一堆一本，一攤兩本，一堆三本；第二步將分開的三堆分給甲、乙、丙三人，所以所求的不同的分法有C16C25C33P33=360（種）(二、二項(xiàng)式)5、求x1x9的二項(xiàng)睜開式中x3的系數(shù)；1r解：第r1為Tr1C9rx9r1rC9rx92rx令92r3r3所以，x3的系數(shù)是1384C936、求x1x18的

7、系數(shù)；的睜開式中x5解：在x18和x4的系數(shù)分別為C83和C84，的睜開式中x58的系數(shù)為C84C8314故x1x1的睜開式中x5137、求x2的睜開式中常數(shù)項(xiàng)；x3611解：x2xxx常數(shù)項(xiàng)為C6313208、求1x121x31x10 x的睜開式中x2項(xiàng)系數(shù)解：各項(xiàng)中x2項(xiàng)系數(shù)相加得：C22C32C42C102C33C32C42C102C1131659、.在二項(xiàng)式(12x)n的睜開式中，21）若第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求睜開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；2）若前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求睜開式中系數(shù)最大的項(xiàng)解:（1）Cn4Cn62Cn5n=7或n=14，當(dāng)n7時(shí)，睜開式中

8、二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T和T，45且314335341344；T4C7(2)(2x)2x,T5C7(2)(2x)70 x當(dāng)n14時(shí)，睜開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T，8,且TC7(1)7(2x)73432x7；8142（2）Cn0Cn1Cn279n=12設(shè)Tk+1項(xiàng)系數(shù)最大，(12x)12(1)12(14x)1222C12k4kC12k14k19.4k10.4k=10C12k4kC12k14k110證明133233n1能被26整除（n為大于1的偶數(shù)）解：證明：因?yàn)?33233n1133n133n1127n113221261n12nCn126n1Cnn126Cnn2601而2611Cn026nC02

9、6nC126n1Cn126nnn因?yàn)閚為大于1的偶數(shù)所以1261n1能被26整除2所以133233n1能被26整除11、求7nCn17n1Cn27n2Cnn17除以9所得的余數(shù)解：7nCn17n1Cn27n2Cnn177n19n1119nCn19n1Cn29n21n1nCnn191Cnn1.則當(dāng)n奇數(shù)時(shí)，9nCn19n1Cn29n2n1Cnn192,原式1它被9除的余數(shù)為7；當(dāng)n偶數(shù)時(shí)，原式9nCn19n1Cn29n21n1Cnn19,它被9除的余數(shù)是0，即能被9整除(三)、概率12、兩部不一樣的長篇小說各由第一、二、三、四卷構(gòu)成，每卷1本，共8本，將它們?nèi)我獾嘏懦梢慌牛髠?cè)4本恰巧都屬于同一

10、部小說的概率是_（2006年上海卷）2P44P441解：P883513、在五個(gè)數(shù)字1，2，3，4，5中，若隨機(jī)拿出三個(gè)數(shù)字，則剩下兩數(shù)字都是奇數(shù)的概率是_。C323（從剩下的兩個(gè)數(shù)剖析）解：210C514、在平面直角坐標(biāo)系中，從六個(gè)點(diǎn)：A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，2），E（2，2），F(xiàn)（3，3）中任取3個(gè)，則這3個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成三角形的概率是_。解：所給的六個(gè)點(diǎn)中，A、C、E、F四點(diǎn)共線，B、C、D三點(diǎn)共線，所以六個(gè)點(diǎn)共能構(gòu)成C3C3C3=15個(gè)三角形，643而從六個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)共有C3=20種狀況，6所以所求概率為153。20415、在會(huì)合0，1，2，3，4，5中任取3個(gè)不一

11、樣元素作為直線Ax+By+C=0的系數(shù)，在所有不一樣直線中任取一條直線，則該直線經(jīng)過原點(diǎn)的概率是_。解：6個(gè)元素中任取3個(gè)不一樣元素，共有P36種取法，此中三個(gè)元素為0，1，2與三個(gè)元素為0，2，4時(shí)對應(yīng)的直線重合，所以不一樣直線共有P3P3條，6直線過原點(diǎn)則C=0，共有P2P2條，所以所求概率為P52P23。5P63P31916、若A，B，C，D，E五人隨機(jī)地乘坐兩輛出租車，每輛車最多能乘坐4人，則A，B，C在同一輛車，D，E在另一輛車上的概率為多少？解：據(jù)題意，5人可能某4人在一車上，剩下的1人在另一輛上，也可能某3人在一車上，剩下的2人在另一車上，所以總的可能結(jié)果為：（C54C53)P2

12、2，所求概率P=21。(C54C53)P221517、已知直線L：x+3y+1=0，A=n|0n0）中的a，b，r，則使圓心與原點(diǎn)的連線恰巧垂直于L的概率為_。解：當(dāng)圓心與原點(diǎn)的連線垂直于L時(shí)，b3，a此時(shí)可能a=1，b=3；a=2，b=6；a=3，b=9三種搭配，當(dāng)a，b確立后，半徑r有7種選擇，所以知足條件的圓有37=21個(gè)，所以概率P=371。P9324(四)、抽樣與方差18、數(shù)據(jù)x1,x2,.,x8均勻數(shù)為6，標(biāo)準(zhǔn)差為2，則數(shù)據(jù)2x16,2x26,.,2x86的平均數(shù)和方差分別為_.解：均勻數(shù)為6，方差為16.（注意標(biāo)準(zhǔn)差與方差的關(guān)系）19、某校在高中三個(gè)年級采納分層抽樣法抽取與一個(gè)簡

13、單為45人的樣本，已知高一年級被抽取20人，高三年級補(bǔ)抽取10人，高二年級共有學(xué)生300人，則該校高中學(xué)生的總數(shù)為_。解：此題明顯屬于分層抽樣，所以，抽取的樣本簡單與整體之間存在著比率關(guān)系，先求出高二年級被抽取的人數(shù)，進(jìn)而獲得抽樣時(shí)每一個(gè)人被抽取的概率。依題意，高二年級被抽取的人數(shù)為452010=15(人)。抽樣中每一個(gè)人被抽取的概率為15120300，于是高一年級有400(人)；高三年20120級有10200(人)。故該校共有高中學(xué)生900人。12020、一個(gè)容量為20的樣本，數(shù)據(jù)的分組與幾個(gè)組的頻數(shù)以下：10,20,2;20,30,3;30,40,4;40,50,5;50,60,4;60,

14、70,2.則樣本在區(qū)間10,50上的頻次為_.解：所求頻次為2345140.7202021、甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員參加某大型運(yùn)動(dòng)會(huì)的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次，成績?nèi)缦卤恚▎挝唬涵h(huán)）甲108999乙1010799假如甲、乙兩人只有一人當(dāng)選，則當(dāng)選的應(yīng)是_.解：甲的均勻數(shù)為x1=1（10+8+9+9+9）=9，乙的均勻數(shù)為x2=1（10+10+7+9+9）=9，55s1=21212甲的方差為1095895，乙的方差5s210921279216.s2s1，說明乙的顛簸性大，故甲當(dāng)選。55522、從一個(gè)養(yǎng)魚池中捕得m條魚，作上記號(hào)后再放入池中，數(shù)往后又捕得n條魚，此中k條有記號(hào)，預(yù)計(jì)池中有_條魚。解：

15、設(shè)池中有N條魚，第一次捕得m條做上記號(hào)后放入水池中，則池中有記號(hào)的魚占m；N第二次捕得n條，則這n條魚是一個(gè)樣本，此中有記號(hào)的魚占k。我們用樣原來預(yù)計(jì)總n體散布，令k=m，所以N=mn.nNk設(shè)有同樣本x1、x2、.xn，其標(biāo)準(zhǔn)差為sx,另同樣本y1、y2、.yn，此中yi3xi（2i，1，2n）sy,求證:sy3sx.,其標(biāo)準(zhǔn)差為證明：xx1x2.xn,yy1y2.yn3x123x22.3xn2nnn3x1x2.xn2n3x2.ns21y2y2.y2213x223x22.3x222ny2nn3x2yn12nn119x12x22.xn212x1x2.xn4n212x4n9xn9x12x22.x

16、n2nx29sx2.n而sx0,sy0,所以sy3sx.以下問題中，分別采納什么抽樣方法抽取樣本較為適合？從20臺(tái)彩電中抽取4臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量查驗(yàn)；科學(xué)禮堂有36排座位，每排各有40個(gè)座位，座位號(hào)為140，一次報(bào)告會(huì)坐滿了聽眾，會(huì)后為了聽取建議，抽取一個(gè)簡單為36的樣本；某學(xué)校共有教師250人，此中不到40歲的150人，40歲及以上的100人，為了認(rèn)識(shí)一般話在該校教師中的推行普及狀況，抽取一個(gè)簡單為45的樣本。解：因?yàn)檎w的個(gè)體數(shù)較少，所以可用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本。因?yàn)榭側(cè)藬?shù)許多，且各排人數(shù)同樣多，所以用系統(tǒng)抽樣的方法較為適合（用簡單隨機(jī)抽樣的方法在第一排抽取一個(gè)觀眾，而后將其余各排與第一排抽

17、出的觀眾座位號(hào)同樣的觀眾都抽出）。因?yàn)椴灰粯幽昙o(jì)層次的教師的一般話水平存在差別，所以宜采納分層抽樣的方法抽取樣本（在不到40歲的教師中抽出1504527人，在40歲以上的教師中抽250出18人，在兩層中抽樣時(shí)采納簡單隨機(jī)抽樣的方法）。25.班40人隨機(jī)分為兩組，第一組18人，第二組22人，兩組學(xué)生在某次數(shù)學(xué)測試中的成績以下：分組均勻成績標(biāo)準(zhǔn)差第一組906第二組804求全班的均勻成績和標(biāo)準(zhǔn)差。解：設(shè)全班均勻成績?yōu)閤，全班成績的方差為s2，則2122218236,s1x1x2.x.18901821222216.所以s2x19x2.0.x.40228022x101698091840421x.x22.

18、xx2122.2.sx1x.x814012186219108364441199049.75.所以s=1997.05.=24026某班50名學(xué)生在一次百米測試中，成績所有介于13秒與19秒之間，將測試結(jié)果按如下方式分紅六組：第一組，成績大于等于13秒且小于14秒；第二組，成績大于等于14秒且小于15秒；?，第六組，成績大于等于18秒且小于19秒右圖是按上述分組方法獲得的頻次散布直方圖設(shè)成績小于17秒的學(xué)生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為x，成績大于等于15秒且小于17秒的學(xué)頻次/組距0.360.34生人數(shù)為y，則從頻次散布直方圖中可剖析出x0.18和y的值分別是解：x0.020.180.360.340

19、.9y(0.360.34)50350.060.04秒0.02O1314151617181927如圖是某學(xué)校抽取的學(xué)生體重的頻次散布直方圖，已知圖中從左到右的前的頻次挨次成等差數(shù)列，第2小組的頻數(shù)為15，則抽取的學(xué)生人數(shù)為3個(gè)小組解：設(shè)前三小組的頻次挨次為ad,a,ad，則3a1(0.03750.0125)50.75,a0.25，所以由150.25x60，得，x即抽取的學(xué)生人數(shù)是60.28北京市2016年12個(gè)月的PM2.5均勻濃度指數(shù)如右圖所示.由圖判斷，四個(gè)季度中PM2.5的均勻濃度指數(shù)方差最小的是第一季度B.第二季度C.第三季度D.第四時(shí)度解：從題設(shè)中供給的圖像及數(shù)據(jù)剖析能夠看出：第二季度

20、的三個(gè)月中指數(shù)較為緩和，差別不大較為齊整，所以其方差最小，答案B。PM2.5的均勻濃度29為了響應(yīng)教育部公布的對于推動(dòng)中小學(xué)生研學(xué)旅游的建議,某校計(jì)劃開設(shè)八門研學(xué)旅游課程,并對全校學(xué)生的選課意愿進(jìn)行檢查(檢查要求全員參加，每個(gè)學(xué)生一定從八門課程中選出獨(dú)一一門課程).本次檢查結(jié)果以下.圖中,課程為人文類課程，課程為自然科學(xué)類課程.為進(jìn)一步研究學(xué)生選課意愿，聯(lián)合上邊圖表，采納分層抽樣方法從全校抽取1%的學(xué)生作為研究樣本組(以下簡稱“組M”).()在“組M”中，選擇人文類課程和自然科學(xué)類課程的人數(shù)各有多少？()某地自然科學(xué)活，學(xué)校要求：參加活的學(xué)生只好是“M”中F程或G程的同學(xué)，而且些同學(xué)以自發(fā)名的方式參加活.F程的學(xué)生中有人參加科學(xué)活，每人需2000元，G程的學(xué)生中有人參加活，每人需1000元.F程和G程的學(xué)生自發(fā)名人數(shù)的狀況，參加活的學(xué)生用和S元.()當(dāng)S=4000，寫出的所有可能??；()若G程的同學(xué)都參加科學(xué)活，求4500元的概率.S解：()人文程的人數(shù)(100+200+400+200+300)1%=12(人)；自然科