1、課題：利用三角函數(shù)解決最值問題一、教學內(nèi)容分析：本節(jié)課以數(shù)學史中的一個經(jīng)典故事一一 “胡不歸問題”為載體開 展對“最短路徑問題”的研究，讓學生經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學的 線段和最小問題，再利用正弦函數(shù)將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為 “直線外 一點到直線垂線段最短”的問題.二、教學目標：1,能利用垂線段最短解決最短路徑問題；.在解題過程能總結(jié)出解題方法，能進行一定的延伸；.體會“正弦函數(shù)”的橋梁作用，感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想 .三、教學重點難點：重點：利用正弦函數(shù)將 PA+k- PB問題轉(zhuǎn)化為“直線外一點到直線垂 線段最短”問題.難點：如何找到合理的角將k PB轉(zhuǎn)化為另一線段.四、教學過程：1.【溫故知新】問

2、題：AB AC有什么數(shù)量關(guān)系？若/ B不變，移動點C位置，關(guān)系改變嗎?設(shè)計意圖：通過三個圖形分析，讓學生意識到角固定，它的正弦值就固定，對邊和斜邊關(guān)系就是固定，為后面學習做好準備 .2.【數(shù)學問題】如圖，點A是/MOW卜部定點，點P是OMk動點，過P作PBXON，如何確定點P位置使得PA+ PB最??？分析：直線外一點到直線所有連線垂線段最短.（作法如下圖）變式1:如圖，點A在/MO阱部，點P是OM動點,/MON=30,如何確定點P位置使得PA+ 1/2OP最?。糠治觯哼^ P 作 POL ON,則 PQ=1/2OP 那么 PA+ 1/2OP =PA PQ.利用30正弦將1/2OP轉(zhuǎn)化為PQ再利用

3、垂線段最短確定點 P.變式2:點P是射線AC上一動點，點B是射線AC外一點，如何 確定P點位置，使得 PB+ 1/2PA最小?分析：構(gòu)造30角，再利用30正弦將1/2PA轉(zhuǎn)化為PQ再利用垂線段最短確定點P.(如下圖)變式3:點P是射線AC上一動點，點B是射線AC外一點，如何 確定P點位置，使得2PA+4PB最小?點撥：轉(zhuǎn)化為2PA+4PB= 4 (PB+ 1/2PA),變成前一問題.變式4.:點P是射線AC上一動點，點B是射線AC外一點，如何確定P點位置，使得1/4PA+1/2PB最??？點撥：1/4PA+ 1/2PB=1/2 (PB+ 1/2PA)，轉(zhuǎn)化為前一問題.【反思】確定P位置的關(guān)鍵是什

4、么？利用正弦構(gòu)造 1/2PA線段.一般地：先將問題轉(zhuǎn)化為 PB+k PA,在PB另一側(cè)構(gòu)造角？，使 得sin ? =k.化折為直，利用垂線段最短.設(shè)計意圖：通過一組變式訓(xùn)練，體會這一類問題處理策略，發(fā)現(xiàn) 總結(jié)規(guī)律.三、【模型由來】歷史故事：一個身在他鄉(xiāng)的小伙子得知父親病危后日夜趕路回家。 然而當他氣喘吁吁地來到父親面前時，老人剛剛咽氣了 .人們告訴他， 在臨終之際，老人還在不斷的念叨：“胡不歸？胡不歸？”早期的科學家曾為這則古老的傳說中的小伙子設(shè)想了一條路線(如下圖)A是出發(fā)地，B是目的地，BC是一條驛道，而驛道靠目的 地的一側(cè)全是砂土地帶.為了急切回家，小伙子選擇了直線段 AB.他忽略了在驛

5、道上行走要比在砂土行走快的這一因素 .如果能選合適的路線（這條路線長一些，但速度可以加快），是 可以提前抵達家門的.那么這應(yīng)該是哪條路線呢？這就是風靡千百年的“胡不歸問題”數(shù)學語言表達就是：“已知在驛道和砂地上行走的速度分別為V1 、V2,且V1 =2V2,在BC上求點D,使得內(nèi)B的行走時間最短.”于是問題在于如何去找出D點.AD +BD ) vAD +BD ) vr 因1+二一V2 V1v2設(shè)計意圖：通過歷史典故，激發(fā)興趣，體會數(shù)學在生活中應(yīng)用和 將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的分析能力 四、【模型運用】如圖已知A、B分別坐標軸上定點，且 AB=2, /BAO=15 , P為y軸上動點。則 PB+ 1/2PA最小值=.提示:設(shè)計意圖：習題設(shè)置讓學生進一步鞏固解決最短路徑問題的基本策略和基本方法.五、【拓展思維】已知，正方形ABCDi提示:設(shè)計意圖：習題設(shè)置讓學生進一步鞏固解決最短路徑問題的基本策略和基本方法.五、【拓展思維】已知，正方形ABCDi長為2, P是對角線BD上動點，貝U PA+PB+PC變式：PB+，2/2PA最小值=最小值=思路1:旋轉(zhuǎn)利用兩點之間線段最短；思路2:利用胡不歸模型，點線垂線段最短解決問題六、【課堂小結(jié)】.本節(jié)課學了將實際問題抽象成數(shù)學模型，用數(shù)學知識解決實際問題;.利用正弦函數(shù)將PB+k- PA轉(zhuǎn)化為兩條線段，利用垂線段最短解決問題；.轉(zhuǎn)化思想