1、非線性有限元第9章 梁和殼 計算固體力學1第9章 梁和殼 引言梁理論基于連續(xù)體的梁CB梁CB梁的分析基于連續(xù)體的殼CB殼CB殼理論剪切和膜自鎖假設應變單元一點積分單元21 引言 第8章介紹了平面單元(二維)和實體單元(三維) 在二維問題中，最經(jīng)常應用的低階單元是3節(jié)點三角形和4節(jié)點四邊形。在三維單元中，是4節(jié)點四面體和8節(jié)點六面體單元。3結(jié)構(gòu)單元可以分類為：梁，運動由僅含一個獨立變量的函數(shù)描述；殼，運動由包含兩個獨立變量的函數(shù)描述；板，即平面的殼，沿其表面法線方向加載；膜，面內(nèi)剛度很大，面外剛度很小的薄殼。1 引言 41 引言 在工程構(gòu)件和結(jié)構(gòu)的模擬中，梁和殼及其他結(jié)構(gòu)單元是極為有用的。應用薄

2、殼，如汽車中的金屬薄板，飛機的機艙、機翼和風向舵；以及某些產(chǎn)品的外殼，如手機、洗衣機和計算機。 用連續(xù)體單元模擬這些構(gòu)件需要大量的單元，如采用六面體單元模擬一根梁沿厚度方向至少需要5個單元，而既便采用低階的殼單元也能夠代替5個或者更多個連續(xù)體單元，極大地改善了運算效率。 應用連續(xù)體單元模擬薄壁結(jié)構(gòu)常常導致較高的寬厚比，從而降低了方程的適應條件和解答的精度。 在顯式方法中，根據(jù)穩(wěn)定性的要求，采用連續(xù)體單元的薄壁結(jié)構(gòu)被限制在非常小的時間步。51 引言 通過兩種途徑建立殼體有限元：1 應用經(jīng)典殼方程的動量平衡(或平衡)的弱形式；2 結(jié)構(gòu)的假設直接由連續(xù)體單元建立基于連續(xù)體(CB)方法。 第一種途徑是

3、困難的，尤其是對于非線性殼，因為對于非線性殼的控制方程是非常復雜的，處理起來相當不方便；它們的公式通常由張量的曲線分量來表示，并且其特征，諸如厚度、連接件和加強件的變量一般也是難以組合。而且對于什么是最佳的非線性殼方程的觀點也不一致。 第二種CB方法(基于連續(xù)體)是直觀的，得到非常好的解答，它適用于任意的大變形問題并被廣泛地應用于商業(yè)軟件和研究中。因此，我們將關(guān)注CB方法。這種方法也稱為退化的連續(xù)體方法。61 引言 在大多數(shù)板殼理論中，通過強制引入運動假設建立平衡或者動量方程，然后應用虛功原理推導偏微分方程。 在CB方法中，在連續(xù)體弱形式的變分和試函數(shù)中強制引入運動假設。因此，對于獲得殼和其它

4、結(jié)構(gòu)的離散方程，CB殼方法更加直觀。在關(guān)于殼的CB方法中，由兩種途徑強化運動假設：1）在連續(xù)體運動的弱形式中，或者2）在連續(xù)體的離散方程。 由二維梁描述CB方法編程特點，應用第一種途徑的理論，檢驗CB梁單元。建立CB殼單元，編程，發(fā)展CB殼理論，結(jié)合由于大變形在厚度上變化的處理方法，給出在三維問題中描述大轉(zhuǎn)動的方法。 CB殼單元的兩點不足：剪切和膜自鎖。將描述假設應變場的方法防止發(fā)生自鎖，給出了緩和剪切和膜自鎖的單元例子。 描述應用在顯式程序中的4節(jié)點四邊形殼單元一點積分單元。這些單元是快速和強健的，并且適用于大規(guī)模問題的計算。7 當結(jié)構(gòu)一個方向的尺度(長度)明顯大于其它兩個方向的尺度，并且沿

5、長度方向的應力最重要時，可以用梁單元模擬。梁理論的基本假設是：由一組變量可以完全確定結(jié)構(gòu)的變形，而這組變量只是沿著結(jié)構(gòu)長度方向位置的函數(shù)。應用梁理論獲得可接受的結(jié)果，橫截面尺度必須小于結(jié)構(gòu)典型軸向尺度的1/10。典型的軸向尺度為： 支承點之間的距離； 橫截面發(fā)生顯著變化部分之間的距離； 所關(guān)注的最高階振型的波長。 梁單元假設在變形中垂直于梁軸線的橫截面保持平面。不要誤解橫截面的尺度必須小于典型單元長度1/10的提法。高度精細的網(wǎng)格中可能包含長度小于其橫截面尺寸的梁單元(盡管一般不建議這樣做)，在這種情況下實體單元可能更適合。2 梁理論82 梁理論梁理論的假設 運動學假設關(guān)注梁的中線(也稱為參考

6、線)的運動。由垂直于中線定義的平面稱之為法平面。 梁橫截面幾何形狀 9 廣泛應用的梁理論有兩種：其運動學假設是：Euler-Bernoulli梁：假設中線的法平面保持平面和法向；稱為工程梁理論，而相應的殼理論稱為Kirchhoff-Love殼理論。Timoshenko梁：假設中線的法平面保持平面，但不一定是法向；稱為剪切梁理論，相應的殼理論稱為Mindlin-Reissner殼理論。2 梁理論梁理論的假設 考慮一點P的運動，它在中線上的正交投影為點C。如果法平面轉(zhuǎn)動視為一個剛體，則P點的速度相對于C點的速度給出為102 梁理論Timoshenko梁理論在二維問題中，角速度的非零分量是z 分量，

7、所以法線的角速率 相對速度為 中線上任何一點的速度是 x 和時間 t 的函數(shù)，因此有即梁上任何一點的速度是相對速度和中線速度之和112 梁理論Timoshenko梁理論應用變形率的定義 變形率的非零分量只有軸向分量和剪切分量，后者為橫行剪切。 由于梁內(nèi)的變形率是有限的，非獨立變量 和 只要求C0 連續(xù)，位移（撓度）和截面轉(zhuǎn)動各自獨立，使截面發(fā)生剪切變形后保持平面。12Euler-Bernoulli理論 運動學假設是法平面保持平面和法向，因此，法線的角速度是由中線的斜率的變化率給出上式等價于要求剪切分量為零，表示在法線和中線之間的夾角沒有變化，即法線保持法向。軸向速度則給出為 變形率給出為 2

8、梁理論注意在上式中的兩個特征：1）橫向剪切為零；2）在變形率的表達式中出現(xiàn)了速度的二階導數(shù)，梁內(nèi)的變形率是有限的，即非獨立變量的速度場必須為C1連續(xù)。13Euler-Bernoulli理論 2 梁理論 E-B梁理論常稱為C1 理論，因為它要求C1 近似。轉(zhuǎn)角由位移對坐標的導數(shù)給出(區(qū)別于Tim梁位移與轉(zhuǎn)角相對獨立)。梁單元常常是基于E-B理論，在一維情況下，C1 插值是很容易構(gòu)造的。 Timoshenko梁有兩個非獨立變量(未知)，在E-B梁中只有一個非獨立變量。類似的簡化發(fā)生在相應的殼理論中：在Kirchhoff-Love殼理論中只有3個非獨立變量，而在Mindlin-Reissner殼理論

9、中有5個非獨立變量（經(jīng)常應用6個）。 E-B梁理論要求C1 近似是E-B和Kirchhoff-Love理論的最大缺陷，在多維空間中C1 近似是很難構(gòu)造的。由于這個原因，在軟件中除了針對梁之外很少應用C1 構(gòu)造理論。142 梁理論 橫向剪切在厚梁中是明顯的，在Timoshenko梁和Mindlin殼中常常應用。當梁趨于薄梁時，Timoshenko梁中的橫向剪切在理想性能單元情況將趨于零。因此，在數(shù)值結(jié)果中也觀察到了垂直假設，它隱含著對于薄梁橫向剪切為零。 這些假設主要是以實驗為依據(jù)的：這一理論預測與實驗測量相吻合。對于彈性材料，梁的閉合形式解析解也支持這一理論。 它帶來的好處是在有限元程序中，用

10、中厚殼代替薄殼，用鐵摩欽柯梁代替伯努利梁。 153 基于連續(xù)體的梁CB梁為什么要建立CB梁和CB殼：1 梁與板殼組合的偏置(offset)2 接觸問題的處理3 邊界條件的處理 通過指定一個偏置量，可以引入偏置。偏置量定義為從殼的中面到殼的參考表面的距離與殼體厚度的比值。梁作為殼單元的加強部件：（a）梁截面無偏置 （b）梁截面有偏置 163 基于連續(xù)體的梁CB梁 建立CB二維梁的公式，結(jié)構(gòu)的控制方程與連續(xù)體的控制方程是一致的：質(zhì)量守恒線動量和角動量守恒能量守恒本構(gòu)方程應變-位移方程17右為CB梁單元，左為母單元。連續(xù)體單元的節(jié)點僅在頂部和底部，在 方向的運動一定是線性的。這些節(jié)點稱為從屬節(jié)點 3

11、 基于連續(xù)體的梁CB梁為常數(shù)的線稱為纖維，沿著纖維的單位矢量稱為方向矢量 為常數(shù)的線稱為迭層 主控節(jié)點 183 基于連續(xù)體的梁CB梁從屬節(jié)點 主控節(jié)點 在纖維將從屬節(jié)點與參考線連接的內(nèi)部截面上，引入主控節(jié)點，其自由度描述了梁的運動。以主控節(jié)點的廣義力和速度建立運動方程。在一條纖維上，每一主控節(jié)點聯(lián)系一對從屬節(jié)點，三點共線。193 基于連續(xù)體的梁CB梁假設： 1 纖維保持直線； 2 橫向正應力忽略不計，即平面應力條件 ； 3 纖維不伸縮。 第一個假設與經(jīng)典的Mindlin-Reissner假設中要求法線保持直線是不同的，纖維可以不垂直于中線，稱其為修正的M-R假設。 如果CB梁單元近似地為Tim

12、oshenko梁，其纖維方向盡可能地接近中線的法線方向是必要的，通過指定從屬節(jié)點的初始位置可以實現(xiàn)這一點。否則，CB梁單元的行為將從根本上偏離Timoshenko梁，并且可能與所觀察到的梁的行為不一致。 203 基于連續(xù)體的梁CB梁 注意到纖維的不可伸縮僅適用于運動學描述，不適用于動力學描述。不可伸縮性與平面應力的假設相矛盾：纖維通常接近于y方向，如果 ，則必須考慮速度應變 。 通過不使用運動，而是由本構(gòu)方程來計算 ，消除了這種矛盾。令 ，由 計算沿厚度方向的變化。這等價于由物質(zhì)守恒獲得厚度，因為平面應力的本構(gòu)方程與物質(zhì)守恒有關(guān)。然后修正節(jié)點內(nèi)力以反映沿厚度方向的變化。這樣，不可伸縮性的假設僅

13、僅適用于運動。 假設：1 纖維保持直線； 2 橫向正應力忽略不計，即平面應力條件 ； 3 纖維不伸縮。213 基于連續(xù)體的梁CB梁運動：通過主控節(jié)點的平移x(t), y(t)和節(jié)點方向矢量的旋轉(zhuǎn)描述運動從x 軸逆時針旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)角為正通過對連續(xù)體單元的標準等參映射，由從屬節(jié)點運動給出梁的運動 連續(xù)體的標準形函數(shù)（在節(jié)點指標中*代表上節(jié)點或下節(jié)點） 為了使上面的運動與修正的M-R假設相一致，基本連續(xù)體單元的形函數(shù)在 方向必須是線性的。因此，母單元在該方向只有兩個節(jié)點，沿著纖維方向只能有兩個節(jié)點。速度場為223 基于連續(xù)體的梁CB梁運動在從屬節(jié)點的運動中，現(xiàn)在強制引入不可伸縮條件和修正的M-R假設 p

14、I為主控節(jié)點的方向矢量，h0 是偽厚度(初始厚度)，因為它是沿著纖維方向在單元的頂部與底部之間的距離。這是連續(xù)體單元向CB梁單元轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵一步。 當前節(jié)點的方向矢量給出為 總體基矢量 233 基于連續(xù)體的梁CB梁從屬節(jié)點的速度是坐標的材料時間導數(shù)，服從由每個節(jié)點的三個自由度描述主控節(jié)點的運動 運動寫出矩陣的形式為上標slave和mast強調(diào)連續(xù)體節(jié)點是從屬節(jié)點，梁節(jié)點為主控節(jié)點。243 基于連續(xù)體的梁CB梁由于從屬節(jié)點速度是與主控節(jié)點速度相關(guān)的，所以節(jié)點力的關(guān)系為節(jié)點力與主控節(jié)點的速度是功率耦合的，在I 處 節(jié)點力 可以看出25 為了將標準連續(xù)體單元轉(zhuǎn)化為CB梁單元，必須強化平面應力假設。采用

15、應力和速度應變的層間分量是方便的。構(gòu)造每層的基矢量為 3 基于連續(xù)體的梁CB梁與迭層正切 垂直于迭層 本構(gòu)更新 263 基于連續(xù)體的梁CB梁 在迭層分量上加“帽子”，它們隨著材料轉(zhuǎn)動，因此考慮是共旋的。變形率的迭層分量給出：在應力計算中，必須觀察平面應力約束如果本構(gòu)方程是率的形式，則約束是例如，對于各向同性次彈性材料，應力率分量給出為求解得到273 基于連續(xù)體的梁CB梁求解得到 對于更為一般的材料(包括模型中缺少對稱性的定律，諸如非關(guān)聯(lián)塑性的材料)，本構(gòu)率關(guān)系可以寫成為為切線模量，最后一個方程強調(diào)了平面應力條件，求解 Dyy 283 基于連續(xù)體的梁CB梁節(jié)點內(nèi)力 除了強制平面應力條件外，從屬節(jié)

16、點內(nèi)力采用與連續(xù)體單元節(jié)點內(nèi)力相同的計算。積分由數(shù)值積分求得。在CB梁中既不應用完全積分公式，也不應用選擇減縮積分公式(4-5-33)。這兩種方法都會導致剪切自鎖(見第7節(jié))。 在2節(jié)點單元中，在處采用單一束積分點，可以避免剪切自鎖。 這種積分方法也稱為選擇減縮積分。它能精確地積分求得軸向正應力，但是不能準確地積分求得橫向切應力 293 基于連續(xù)體的梁CB梁 沿方向的積分點數(shù)目依賴于材料定律和對精度的要求。1 平滑的超彈性材料定律，3個積分點是足夠的。2 彈-塑性材料，應力分布不是連續(xù)可導至少需要5個積分點。 對于彈-塑性材料定律，沿方向的Gauss積分并不是最佳選擇，因為這些積分方法是基于高

17、階多項式的插值，其默認假設數(shù)據(jù)是平滑的。所以，對于非光滑函數(shù)，常常采用梯形規(guī)則，其運算效率更高。303 基于連續(xù)體的梁CB梁 為了說明在剪切自鎖情況下，選擇減縮積分的過程，考慮一個基于4節(jié)點四邊形連續(xù)體單元的2節(jié)點梁單元。通過對在處一串積分點的積分得到節(jié)點力：質(zhì)量矩陣 CB梁單元的質(zhì)量矩陣可以由轉(zhuǎn)換公式得到：運動方程 對于對角化質(zhì)量矩陣，在一個主控節(jié)點的運動方程為314 CB梁的分析例9.1 2節(jié)點梁單元 應用CB梁理論建立基于4節(jié)點四邊形連續(xù)體的2節(jié)點CB梁單元，將參考線(中線)置于上下表面的中間位置，將主控節(jié)點放置在參考線與單元邊界的交點處，從屬節(jié)點是角點。主控節(jié)點 從屬節(jié)點 324節(jié)點連

18、續(xù)體單元的運動上述的運動得到 令 也給出4節(jié)點連續(xù)體單元的運動 例9.1 2節(jié)點梁單元 334 CB梁的分析所有纖維的不可伸長性 盡管節(jié)點的纖維是不可伸長的，在一個單元中的其它纖維可能發(fā)生長度的變化。通過圖示的指定條件，不用任何方程就可以看到：在中點處的纖維明顯變短了。節(jié)點力：主控節(jié)點力由從屬節(jié)點力給出 344 CB梁的分析計算上式得到這個變換給出了平衡的結(jié)果：主控節(jié)點力是從屬節(jié)點力的合力；主控節(jié)點力矩是從屬節(jié)點力繞主控節(jié)點的力矩。Green應變 以PK2應力和Green應變的形式應用于本構(gòu)方程。 35從屬節(jié)點的位置 4 CB梁的分析通過取節(jié)點坐標的差值得到從屬節(jié)點的位移。通過給出的連續(xù)體位移

19、場，則可以得到任何點的位移。通過本構(gòu)關(guān)系和PK2應力則可以計算Green應變。 初始和當前構(gòu)形的方向矢量給出為 36矩形單元的速度應變 當基本連續(xù)體單元為矩形，并且梁的中線沿著x軸時，由于方向矢量是沿著y方向 4 CB梁的分析用一維形式寫出上式的分量，線性形狀函數(shù)給出其中速度應變分量則給出為：由平面應力條件計算分量37剪切自鎖 4 CB梁的分析 為了檢驗剪切自鎖的原因，考慮例9.1的2節(jié)點梁單元。令單元位于x 軸方向，線性響應，因此在運動學中，用線性應變代替用位移代替速度。由公式的對應部分給出橫向剪切應變：考慮在純彎狀態(tài)下的單元有對于這些節(jié)點位移，給出由平衡方程，當力矩為常數(shù)時，剪力為零。 但

20、是在大多數(shù)單元中，橫向剪切應變和剪切應力不為零事實上，除了在 外它們處處不為零。出現(xiàn)附加剪切(見上圖)。 38剪切自鎖 4 CB梁的分析 這附加的橫向剪切對于單元的性能具有很大的影響。為了解釋這種影響的嚴重性，對于一個單位寬度矩形橫截面的線彈性梁，檢驗與彎曲和剪切應變有關(guān)的能量。上面節(jié)點位移的彎曲能量給出為關(guān)于梁的剪切能量給出為這兩種能量的比值為當剪切能量是顯著地大于彎曲能量。由于在純彎曲中剪切能量應該為零，這附加剪切能量吸收了大部分的能量。其結(jié)果是明顯地低估了總體位移。采用單元細劃使得剪切自鎖的單元可以收斂于精確解，只是非常慢。而體積自鎖根本得不到收斂結(jié)果。39剪切自鎖 4 CB梁的分析 由

21、方程立即提出問題，在這些單元中為什么不采用不完全積分消除剪切自鎖：注意到在 處橫向剪力為零，這對應于在一點積分中的積分點。因此，通過對剪切相關(guān)項的不完全積分消除了偽橫向剪切。 相對于2節(jié)點梁，在采用二次插值的3節(jié)點梁中，剪切自鎖是很不明顯的?？紤]一個長為 l 的3節(jié)點梁單元，采用母坐標 在該單元中的剪切應變給出為40剪切自鎖 4 CB梁的分析考慮純彎曲的狀態(tài)，將這些節(jié)點位移代入公式，證明在單元中橫向剪切為零。基于這個結(jié)果，這里沒有理由出現(xiàn)自鎖。但是，考慮另外一種變形 由于法線保持法向，剪力應該為零。但是，公式卻給出了橫向剪切，相應于這種變形的節(jié)點位移是所以，除了 ，有限元數(shù)值近似處處給出了非零

22、剪力。因此，對于自由剪切(純彎)模式，橫向剪切將發(fā)生在這種單元中，而在模擬薄梁時，它將是無效的。41 當結(jié)構(gòu)一個方向的尺度(厚度)遠小于其它方向的尺度，并忽略沿厚度方向的應力時，可以用殼單元模擬。例如，壓力容器結(jié)構(gòu)的壁厚小于典型整體結(jié)構(gòu)尺寸的1/10，一般用殼單元進行模擬。以下尺寸可以作為典型整體結(jié)構(gòu)的尺寸： 支撐點之間的距離； 加強件之間的距離或截面厚度有很大變化部分之間的距離； 曲率半徑； 所關(guān)注的最高階振動模態(tài)的波長。 殼單元假設垂直于殼面的橫截面保持為平面。請不要誤解為在殼單元中也要求厚度必須小于單元尺寸的1/10，高度精細的網(wǎng)格可能包含厚度尺寸大于平面內(nèi)尺寸的殼單元（盡管一般不推薦這

23、樣做），實體單元可能更適合這種情況。5 基于連續(xù)體的殼CB殼425 基于連續(xù)體的殼CB殼兩種殼單元：1 常規(guī)殼單元2 基于連續(xù)體的殼單元 通過定義單元的平面尺寸、表面法向和初始曲率，常規(guī)的殼單元對參考面進行離散。但是，常規(guī)殼單元的節(jié)點不能定義殼的厚度；還需要通過截面性質(zhì)定義殼的厚度。 基于連續(xù)體的殼單元類似于三維實體單元，它們對整個三維物體進行離散和建立數(shù)學描述，其動力學和本構(gòu)行為類似于常規(guī)殼單元。對于模擬接觸問題，基于連續(xù)體的殼單元與常規(guī)的殼單元相比更加精確，因為它可以在雙面接觸中考慮厚度的變化。然而，對于薄殼問題，常規(guī)的殼單元提供更優(yōu)良的性能。43殼體公式-厚殼或薄殼 殼體問題一般歸結(jié)為兩

24、類之一：薄殼和厚殼。厚殼假設橫向剪切變形對計算結(jié)果有重要的影響；薄殼假設橫向剪切變形小到足以忽略。圖(a)描述了薄殼的橫向剪切行為：初始垂直于殼面的材料線在整個變形過程中保持直線和垂直。因此，橫向剪切應變假設為零。圖(b) 描述了厚殼的橫向剪切行為：初始垂直于殼面的材料線在整個變形過程中并不要求保持垂直于殼面，因此，發(fā)生了橫向剪切變形。 5 基于連續(xù)體的殼CB殼445 基于連續(xù)體的殼CB殼經(jīng)典殼理論中的假設 兩種殼理論中，運動學假設為：Kirchhoff-Love理論： 中面的法線保持直線和法向。Mindlin-Reissner理論：中面的法線保持直線，但不是法向。實驗結(jié)果表明，薄殼滿足Kir

25、chhoff-Love假設。較厚的殼或組合殼體，Mindlin-Reissner假設是更為合適的，橫向剪切的效果特別重要。Mindlin-Reissner理論也可以應用于薄殼中：在這種情況下，法線將近似地保持法向，并且橫向剪切將幾乎為零。厚度與曲率半徑的比值的條件是對于殼理論適用性的重要要求。當它不滿足時，殼理論將是不適用的。 455 基于連續(xù)體的殼CB殼1 纖維保持直線（修正的M-R假設）； 2 垂直于中面的應力為零（也稱為平面應力條件）； 3 動量源于纖維的伸長，和沿纖維方向忽略動量平衡。 假設1與經(jīng)典的Mindlin理論不同之處在于約束纖維保持直線，而不是法向。必須布置節(jié)點，使纖維方向盡

26、可能地接近于法線。CB殼理論中的假設 在CB殼理論中常常認為纖維是不可伸長的，這是與平面應力條件矛盾的，當應用不可伸長的條件時，是為了忽略在p方向的相關(guān)運動的動量平衡，在計算節(jié)點內(nèi)力時，厚度的改變是不能忽略的。46定義三種坐標系統(tǒng)： 1. 總體Cartesian坐標系統(tǒng)（x, y, z）， 應用基矢量坐標系統(tǒng)5 基于連續(xù)體的殼CB殼2. 旋轉(zhuǎn)的層坐標系統(tǒng)應用基矢量3. 與主控節(jié)點相關(guān)的節(jié)點坐標系統(tǒng)表示在下表面和參考面之間沿著纖維方向的距離 表示在上表面和參考面之間沿著纖維方向的距離 表示厚度的改變，殼的厚度一般定義為在上下兩個表面之間沿著法線的距離。 47殼的材料方向 應用局部的直角、圓柱或者

27、球坐標系，可以代替整體的笛卡爾坐標系例如，如果在圖中的圓柱中心線與整體坐標3軸一致，局部材料方向可以這樣定義，使局部材料1方向總是沿著圓環(huán)方向，并使相應的局部材料2方向總是沿著軸方向。5 基于連續(xù)體的殼CB殼485 基于連續(xù)體的殼CB殼在主控節(jié)點上的節(jié)點速度和力為運動的有限元近似 以從屬節(jié)點的形式，描述運動的有限元近似為主控節(jié)點轉(zhuǎn)換速度和方向矢量角速度表示從屬節(jié)點的速度 厚度的變化率 當前節(jié)點的方向矢量給出為 495 基于連續(xù)體的殼CB殼在主控節(jié)點上的節(jié)點速度和力為運動的有限元近似 以從屬節(jié)點的形式，描述運動的有限元近似為主控節(jié)點轉(zhuǎn)換速度和方向矢量角速度表示從屬節(jié)點的速度 厚度的變化率 當前節(jié)

28、點的方向矢量給出為 505 基于連續(xù)體的殼CB殼運動的有限元近似 將從屬節(jié)點速度聯(lián)系到主控節(jié)點速度為在主控節(jié)點力的計算中采用了當前厚度，因此考慮了纖維的伸長 515 基于連續(xù)體的殼CB殼本構(gòu)方程 連續(xù)介質(zhì)材料的所有本構(gòu)都可以應用于CB殼。但是，必須引入平面應力條件 ?？梢詰脧娭埔爰s束的方法，如Lagrange乘子法和罰方法。以Voigt形式寫出的率更新方程為：切線模量矩陣是55和51子矩陣 通過消去第6個方程，可以獲得與非零應力增量相關(guān)的修正矩陣從第6個方程得到變形率分量 ，計算厚度的變化。 525 基于連續(xù)體的殼CB殼厚度 可以直接或者由率形式得到厚度。在任意時刻的厚度給出為 這里給出的

29、更新厚度提供了關(guān)于厚度的雙參數(shù)近似。在等參CB單元中，由于變形梯度在厚度方向近似為線性，這通常是足夠的。單參數(shù)形式經(jīng)常僅用于說明厚度的平均變化。雙參數(shù)形式是更精確的，因為當伸長時疊加彎曲，在壓縮邊和拉伸邊的厚度改變是不同的。 另一種更加精確的方法是計算所有積分點的新的位置，但通常是不必要的。53殼體厚度和截面點（section points） 描述殼體的橫截面必須定義殼體的厚度。此外，還要選擇是在分析過程中還是在分析開始時計算橫截面的剛度。如果選擇在分析過程中計算剛度，采用數(shù)值積分法，在沿厚度方向的每一個截面點（section points）（積分點）上獨立地計算應力和應變值，這樣就允許了非線

30、性的材料行為。例如，彈塑性材料的殼在內(nèi)部截面點還保持彈性時，其外部截面點可能已經(jīng)達到了屈服，4節(jié)點減縮積分殼單元中唯一的積分點位置和沿殼厚度方向上截面點的分布如圖示。5 基于連續(xù)體的殼CB殼54殼體厚度和截面點 當在分析過程中積分單元特性時，可指定殼厚度方向的截面點數(shù)目為任意奇數(shù)。對性質(zhì)均勻的殼單元，一般在厚度方向上取5個截面點，對于大多數(shù)非線性設計問題是足夠了。但是，對于一些復雜的模擬必須采用更多的截面點，尤其是當預測會出現(xiàn)反向的塑性彎曲時（在這種情況下一般采用9個截面點）。對于線性問題，3個截面點已經(jīng)提供了沿厚度方向的精確積分。當然，對于線彈性材料殼，選擇在分析開始時計算材料剛度更為有效。

31、 如果選擇僅在分析開始時計算橫截面剛度，材料行為必須是線彈性的。在這種情況下，所有的計算都是以整個橫截面上的合力和合力矩的形式進行。如果要求輸出應力或應變，輸出在殼底面、中面和頂面的值。5 基于連續(xù)體的殼CB殼555 基于連續(xù)體的殼CB殼主控節(jié)點力 在主控節(jié)點的內(nèi)力和外力可以由從屬節(jié)點力得到，即由連續(xù)體單元的程序計算從屬節(jié)點力 質(zhì)量矩陣 利用基本連續(xù)體單元的質(zhì)量矩陣通過轉(zhuǎn)換公式獲得CB殼單元的質(zhì)量矩陣。則66子矩陣給出為轉(zhuǎn)動慣量 平移質(zhì)量 565 基于連續(xù)體的殼CB殼離散動量方程 對于上面給出的對角化質(zhì)量矩陣，在節(jié)點處的3個平動方程為節(jié)點力和節(jié)點速度為以節(jié)點坐標系統(tǒng)表示的3個轉(zhuǎn)動方程為 上式就

32、是著名的Euler運動方程。它們對于角速度是非線性的，但是對于一個各向同性轉(zhuǎn)動質(zhì)量矩陣，二次項將消失。 No sum on I575 基于連續(xù)體的殼CB殼切線剛度 由基本連續(xù)體單元剛度矩陣的變換，得到切線剛度和荷載剛度矩陣： 連續(xù)體單元的切線剛度矩陣 5個自由度公式 如果沒有扭轉(zhuǎn)，不考慮 ，或剛體轉(zhuǎn)動對變形沒有影響，每個節(jié)點處的殼的運動用5個自由度描述。主控節(jié)點的節(jié)點速度為 對于CB殼理論，5個比6個自由度的描述更加合適。當殼為平坦時，對于6個自由度的描述其剛度為奇異的。另一方面，5個自由度的描述必須在角點處進行修正，使其符合結(jié)構(gòu)特點。對于在節(jié)點處采用可變化自由度數(shù)目的軟件，僅在需要增加附加自

33、由度的那些節(jié)點處應用6個自由度可能是最合適的，如連接處。58在Mindlin-Reisssner理論中，橫向剪應力沿著殼的厚度方向為常數(shù)。由于應力張量的對稱性，在這些表面的橫向剪力必須為零，除非一個剪切面力施加在上表面或者下表面。 對于平衡狀態(tài)下彈性梁的分析表明，沿梁的厚度方向，橫向剪應力應該為二次的，在上下表面處為零。因此，常值剪切應力分布高估了剪切能量。 通常采用一個修正因數(shù)，如矩形截面為5/6，已知為剪切修正，以減少與橫向剪切相關(guān)的能量，并且對于彈性梁和殼可以做出關(guān)于這個因數(shù)的精確估計。然而，對于非線性材料，估計一個剪切修正因數(shù)是非常困難的。結(jié)構(gòu)理論的非協(xié)調(diào)性和特殊性 6 CB殼理論A5

34、9結(jié)構(gòu)理論的非協(xié)調(diào)性和特殊性 6 CB殼理論 在Kirchhoff-Love理論中的非協(xié)調(diào)性甚至更加嚴重，由于運動學的假設(平截面假設并垂直中面)，導致了橫向剪力為零。 在結(jié)構(gòu)理論中，如果力矩不是常數(shù)，在梁中的剪力必須非零。因此，Kirchhoff-Love的運動學假設與平衡方程是矛盾的。但是，與實驗結(jié)果比較證明它是相當精確的，并且對于薄的均勻殼，它恰與Mindlin-Reissner理論同樣精確。 在薄壁結(jié)構(gòu)的變形中，橫向剪力并沒有起到重要的作用，是否考慮它的作用幾乎沒有影響。M-R單元簡單，甚至當橫向剪力的影響可以忽略時，應用M-R單元也滿足精度。60 修正的Mindlin-Reissne

35、r CB模型提供了產(chǎn)生誤差的附加可能性。如果方向矢量不垂直于中面，則運動與實驗觀察到的運動將會有明顯的偏差。 當一個法向面力施加在殼的任何面上時，零法向應力的假設是矛盾的，這里是 (這是學生經(jīng)常問到的問題)。 為了平衡，法向應力必須等于所施加的法向面力。然而，在結(jié)構(gòu)理論中它們被忽略了，因為與軸向應力相比它們是非常小的；法向應力僅僅吸收了很小部分能量，對變形幾乎沒有影響。結(jié)構(gòu)理論的非協(xié)調(diào)性和特殊性 6 CB殼理論61l 應用實例ptsmssm = ?st = ?mm62 應用實例pmm63 應用實例pttt (2 l )ppDl64結(jié)構(gòu)理論的非協(xié)調(diào)性和特殊性 6 CB殼理論 在殼體的分析中，要注

36、意邊界效應。某些邊界條件導致了邊界效應，在較窄的邊界層處性能發(fā)生了劇烈的變化。對于某些邊界條件，在邊界的角點處可能發(fā)生奇異性（管道交接處）。 應用結(jié)構(gòu)運動學假設的一個原因是它們改善了離散方程的適應性。如果一個殼體由三維的連續(xù)體單元模擬，自由度是所有節(jié)點的平動，與厚度方向應變相關(guān)的自然模態(tài)具有非常大的特征值。其結(jié)果，對于一個隱式更新算法，線性化平衡方程或者線性化方程的適應性可能是非常差的。 殼方程的適應性也不如標準連續(xù)體模型那樣好，但是比薄殼的連續(xù)體模型的適應性要明顯強一些。在顯式方法中，由于沿厚度方向模態(tài)的較大特征值，導致薄壁結(jié)構(gòu)的連續(xù)體模型需要非常小的臨界時間步長。CB殼模型可以提供更大的臨

37、界時間步長。 657 剪切和膜自鎖 殼單元的最大困難特性是剪切和薄膜自鎖。剪切自鎖源于出現(xiàn)了偽橫向剪切。更確切地說，它源于許多單元沒有能力表現(xiàn)彎曲變形，剪切剛度通常遠遠大于彎曲剛度，偽剪切吸收了大部分由外力產(chǎn)生的能量，而預計的撓度和應變成為非常小的量值，這就是所謂的剪切自鎖。 薄膜自鎖的出現(xiàn)是源于在殼單元中沒有能力表現(xiàn)變形的不可伸長模式。 殼彎曲而沒有伸長：一張紙，能夠很容易地將其彎曲，稱為不可伸長彎曲。然而，用手拉伸一張紙幾乎是不可能的。 殼的行為類似：彎曲剛度很小，而薄膜剛度很大。當有限元沒有伸長又不能彎曲時，能量是不準確地轉(zhuǎn)換成為薄膜能，于是導致低估了位移和應變。 在屈曲模擬中，薄膜自鎖

38、是尤為重要，因為許多屈曲模態(tài)是完全的或者接近于不可伸縮的。667 剪切和膜自鎖 剪切和薄膜自鎖與體積自鎖是相似的：當有限元近似的運動不能滿足約束時，約束模式比正確運動的剛度表現(xiàn)的更為剛硬。 在體積自鎖的情況中，約束是不可壓縮，體積剛度過大，而對于剪切和薄膜自鎖，在彎曲中的約束為Kirchhoff-Love正常狀態(tài)約束和不可伸長約束(與纖維的不可伸長沒有任何關(guān)系)。 應該注意的是薄殼的自由剪切行為不是一個精確的約束。對于較厚的殼和梁，希望有某些橫向剪切，但是，就像對于幾乎不可壓縮材料，體積自鎖的單元表現(xiàn)很差一樣，對于厚度適中的殼，即使當橫向剪切出現(xiàn)時，殼單元的剪切表現(xiàn)是很差的。 677 剪切和膜

39、自鎖 自鎖現(xiàn)象比較不可壓縮，等體積運動，J = 常數(shù)自鎖：單元沒有能力鎖住不該有的變形 或單元沒有能力表現(xiàn)該有的變形Kirchhoff-Love約束687 剪切和膜自鎖 薄膜自鎖 為了說明薄膜自鎖，利用Maguerre淺梁方程 考慮一個長為 l 的3節(jié)點梁單元，采用母單元坐標為在一個不可伸縮的模式中，薄膜應變必須為零。 對公式中的表達式進行積分，對于y0 令 考慮一個梁的純彎模式，有在沒有橫向剪切時，由公式可以得到697 剪切和膜自鎖 薄膜自鎖 在沒有橫向剪切時，證明：證明：積分：由邊界條件：得到：707 剪切和膜自鎖 薄膜自鎖 設在一個初始對稱構(gòu)形中，如果要求滿足公式 。由公式計算薄膜應變給

40、出為則在這種變形的不可伸縮模式下，除了在外, 伸縮應變處處不為零。 如果單元包括伸縮應變不為零的積分點，單元將展示薄膜自鎖。 對于3節(jié)點的CB梁，在 中給出的剪切和在上面給出的薄膜應變，它們都在點 處為零， 即兩點積分的Gauss積分點。這些點常稱為Barlow點。 717 剪切和膜自鎖 消除自鎖 通過在積分點 處對剪切能進行不完全積分，限制對其他點的剪切能取值可以避免附加剪切，從而使單元不會自鎖。 多場方法，通過設計合適的應變場，也可以回避自鎖。例如，如果應用Hu-Washizu弱形式，通過使得橫向剪切為常數(shù)可以回避剪切自鎖。橫向剪切速度和剪切應力場為（Hybrid法）：系數(shù)由離散協(xié)調(diào)方程和

41、本構(gòu)方程確定。 72 應用假設應變方法也可以避免自鎖，實質(zhì)是設計橫向剪切場和薄膜應變場，從而使得附加剪切和薄膜自鎖為最小。必須設計假設應變場，以保證剛度矩陣是正確的秩。對于2節(jié)點的梁，假設的應變場必須是常數(shù)，并且在純彎時必須為零。實現(xiàn)這些目的，如果7 剪切和膜自鎖 消除自鎖 是在中點處等于 的常數(shù)場，對于這個場，在純彎時整個單元中的假設剪切應變率將為零。 如果應用單元表示一般的三次位移場，在22 Gauss點處的應力將與節(jié)點位移具有相同的精度。在設計殼單元中，這一發(fā)現(xiàn)證明是非常有用的。例如，由Zienkiewicz、Taylor等提出的減縮積分的成果。因此，關(guān)于應用兩點Gauss積分（Barl

42、ow點）的剪切和薄膜功率，減縮積分將消除剪切和薄膜自鎖。 738 假設應變單元假設應變4節(jié)點四邊形 例如橫向剪切場的構(gòu)造， 在殼單元中，通過假設應變方法和選擇減縮積分也可以避免剪切和薄膜自鎖。然而，這些方法的設計對于殼比對于梁或者連續(xù)體更加困難。例如，Hughes等(1978)應用選擇減縮積分處理4節(jié)點四邊形板單元，單元始終存在一個偽奇異模式，即w 沙漏模式。因此，選擇減縮積分為連續(xù)體提供了強健的單元，而對于殼體是不成功的。 可以推論，對于一個純彎曲的梁，如果橫向剪切分布是線性的，并且在中間點為零，則它在常數(shù)場中的映射也為零。除了 的點，它們處處不為零。在純彎狀態(tài)時出現(xiàn)的橫向剪切常常稱為附加剪

43、切。748 假設應變單元假設應變4節(jié)點四邊形 為任意參數(shù)。 考慮平面矩形殼單元，類似于梁，當彎矩施加到兩端時，橫向剪力為零（純彎曲）；當材料為各向同性時，橫向剪切應變?yōu)榱?。通過使剪切應變?yōu)槌?shù)可以滿足這些條件，即令， 。但是，一個常數(shù)的橫向剪切將會導致秩缺乏，從而出現(xiàn)不穩(wěn)定單元，為了保存穩(wěn)定性，增加一個取決于y的項，給出橫向剪切為 ，線性項對于彎曲力學性能沒有影響，不會影響不自鎖行為。 對于 ，也有類似的討論。 擴展到四邊形的母單元上，有758 假設應變單元單元的秩 上面的單元是否滿秩？利用x-y面的平面殼元(板單元)來說明。我們僅考慮彎曲性能，每個節(jié)點則有3個相關(guān)的自由度：1個位移，2個轉(zhuǎn)角

44、( ) 。單元有4個節(jié)點共12個自由度，考慮3個剛體運動，單元適當?shù)闹仁?。 由第8章平面Q4單元的完全積分，8個自由度3個剛體位移5個線性獨立場，另外，這里2個橫向剪切有4個線性獨立場，因此，總的線性獨立場有5+4=9個，提供了適當?shù)闹取?節(jié)點四邊形殼元關(guān)于剪切的插值點 768 假設應變單元9節(jié)點四邊形 9節(jié)點殼避免薄膜和剪切自鎖的假設應變場，由內(nèi)部點插值的假設速度應變，如圖a 為a次一維Lagrange插值 778 假設應變單元9節(jié)點四邊形 在Gauss點，彎曲時橫向剪切為零，而在不可伸縮的彎曲時薄膜應變?yōu)榱?。因此，單元不會展示附加的橫向剪切或者薄膜應變，即不會產(chǎn)生自鎖行為。在假設速度應變

45、場中的高次項提供了穩(wěn)定性。 由點插值的速度應變?nèi)鐖Dc 所示。由點插值的剪切分量如圖b 所示。789 一點積分單元 在顯式軟件中，最常用的殼單元是一點積分的4節(jié)點四邊形。一點積分是指在參考面上積分點的數(shù)目(高斯點)，在厚度方向的任何位置可以采用3到30或者更多的積分點，取決于非線性材料響應的程度。 這些單元一般是應用于大規(guī)模的分析中，它們采用對角化質(zhì)量矩陣，極為強健。高階單元，諸如基于二次等參插值的，很快收斂到平滑的結(jié)果。但是，大多數(shù)大模型問題包括不平滑的現(xiàn)象，諸如彈-塑性和接觸-碰撞，因此，在這些問題中，高階單元的更高次近似的功能是不能實現(xiàn)的。 表9.2中列出了在計算軟件中最頻繁應用的單元，及

46、它們的一些特點和缺陷。 799 一點積分單元表9.2 4節(jié)點四邊形殼單元單元 簡稱 是否通過 在扭轉(zhuǎn)中 成本 強健 分片試驗 是否正確Belytschko-Tsay(1983) BT 否 否 1.0 高Hughes-Liu(1981a, b) HL 否 是 高*Belytschko-Wong-Chiang(1992) BWC 否 是 1.2 中等Belytschko-Leviathan(1994b) BL 是 是 2.0 中下Englemann-Whirley(1990) YASE 沒有 否 中等完全積分MacNeal-Wempner(Dvorkin-Bathe,1984) DB 是 是 3.

47、5 中下YASE單元（yet another shell element的縮稱）809 一點積分單元 最早的一點積分殼單元是BT單元。通過組合一個平板4節(jié)點單元和一個平面四邊形4節(jié)點薄膜單元，構(gòu)造了殼單元。當它出現(xiàn)翹曲構(gòu)形時，不能夠正確地作出反應（當應用單元的一條或者兩條線模擬扭曲梁時，這個缺點就自己暴露了）。 HL單元，是基于CB殼理論。在顯式程序中，它采用單一系列的積分點，因此需要沙漏控制；應用由Belytschko、Lin和Tsay發(fā)展的技術(shù)。在運算中它明顯地慢于BT單元。 BWC單元修正了扭曲，即在BT單元中翹曲構(gòu)形的缺陷。在BL單元中，引入了物理沙漏控制。這個沙漏控制是基于多場變分原

48、理和Dvorkin-Bathe應變近似公式（見9.8.4-5，假設橫向剪切速率）。 在實際中，應變和應力狀態(tài)的非均勻性限制了精確的物理沙漏控制。沙漏控制的這種形式提供了實質(zhì)上的優(yōu)點；它可以增加到適度大小的值而沒有自鎖，而在BT單元中，沙漏控制參數(shù)較高時將導致剪切自鎖。819 一點積分單元 BL單元和任何完全積分單元都被另一個缺陷困擾著。在具有大扭曲的問題中，這些單元會突然地和戲劇性地失效，并終止模擬。 另一方面，BT單元在嚴重扭曲下是非常強健的，并且很少終止運算。在工業(yè)應用中，這具有很高的實用價值。因此，單一積分點單元的優(yōu)點，不僅僅歸于它們的高速度，在出現(xiàn)嚴重扭曲的問題中，它們趨于更加強健。諸

49、如汽車碰撞模擬。 YASE單元改善了在梁彎曲時薄膜響應的薄膜場，即改進的彎曲運算。否則，它與BT單元是一致的。 BT、BWC和BL單元都是基于離散的Mindlin-Reissner理論；它們不是基于連續(xù)體單元。離散指這樣的事實，即僅在積分點處，將Mindlin假設應用于運動。通過要求當前的法線保持直線，對運動施加約束。這可以看做是對Mindlin假設的另一種修正；不是要求初始法線保持直線，而是要求當前法線保持直線。 829 一點積分單元速度場給出為上波浪是指當前參考面的法線。關(guān)于運動的有限元近似為將叉乘轉(zhuǎn)換為矩陣相乘，上式可以寫作NI 為4節(jié)點等參形函數(shù)，在積分點 關(guān)于轉(zhuǎn)動方向的偏斜對稱張量，

50、定義在公式(9.5.42)中 處的轉(zhuǎn)動變形率給出為 曲率 839 一點積分單元 在轉(zhuǎn)動坐標系中計算薄膜應變和薄膜沙漏控制。在積分點處的曲率給出為 在一個任意的坐標系中，對于剛體轉(zhuǎn)動，在曲率表達式中的最后一項不為零。而在轉(zhuǎn)動坐標系中，剛體轉(zhuǎn)動的節(jié)點速度正比于zyh，可以證明曲率為零，滿足框架客觀性。 其中 ，849 一點積分單元 由于U1僅利用了一個系列的積分點，缺乏穩(wěn)定性，單元是秩缺少的。 單元有3個剛體位移模式：平動w，繞x和y的轉(zhuǎn)動。 有4個運動模式：3個沙漏模式和1個扭曲模式，3個沙漏模式是可以相互表示的，而1個平面內(nèi)的扭曲模式是不能相互表示的。85其中，E 和G 為楊氏模量和剪切模量，

51、A為單元的面積，在公式中定義的材料參數(shù)b， 和 由用戶自己設定，其范圍必須在0.010.05之間。 由于U1僅利用了一個系列的積分點，單元是秩缺少的。對于一點積分，彎曲部分的秩是5：變形率場包含三個常數(shù)力矩和兩個常數(shù)剪切。通過秩的分析，在橫向剪切和曲率中，由于單元缺少線性項，所以，彎曲部分的秩缺乏為4。Hughes證明了偽奇異模式，3個沙漏模式是可以相互表示的(1個撓度和2個轉(zhuǎn)角)，而1個平面內(nèi)的扭曲模式是不能相互表示的。對3個相關(guān)模式應用沙漏控制：9 一點積分單元86 由于僅利用了一個系列的積分點，缺乏穩(wěn)定性，單元是秩缺少的。Hughes證明了偽奇異模式。模式中的3個是可以相互表示的，而1個

52、平面內(nèi)的扭曲模式是不能相互表示的。9 一點積分單元879 一點積分單元四邊自由板的沙漏模式889 一點積分單元 尚留下一個非傳播的奇異模式扭曲模式Ci是因數(shù)，相對獨立于材料參數(shù)，解答敏感于rw穩(wěn)定性矩陣899 一點積分單元受中點集中力的角支撐板中心線段17點的撓度， rw=0.010.1是不敏感的值域，rw=0.05 是精確解。909 一點積分單元 由于公式是建立在一個轉(zhuǎn)動的層坐標系統(tǒng)，應力率緊密地對應于Green-Naghdi率。因此，公式需要一個本構(gòu)定律，它將Green-Naghdi率聯(lián)系到轉(zhuǎn)動變形率張量。如在第9.5.7節(jié)，必須強化平面應力條件。在這些條件下，對于任意的大變形，公式依然成立。 對于扭曲構(gòu)形，這些廣義的沙漏應變率不是正交于剛體轉(zhuǎn)動，因此，消除剛體影響的映射是必要的。此外，有兩個沙漏模式與薄膜響應有關(guān)；在第7節(jié)中已經(jīng)描述了它們及其控制。除BL外，所有的單元都采用了擾動沙漏控制。91結(jié)論 薄膜自鎖源于有限元插值不能夠表示不可伸縮的運動。剪切自鎖源于有限元插值不能夠表示純彎模式。 在顯式軟件中，最常用的殼單元是一點積分的4節(jié)點四邊形。一點積分是指在參考