1、平穩(wěn)時(shí)序模型性質(zhì)第1頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三自回歸過程的性質(zhì)第2頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三AR模型平穩(wěn)性判別 判別原因AR模型是常用的平穩(wěn)序列的擬合模型之一，但并非所有的AR模型都是平穩(wěn)的 第3頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三例3.1:考察如下四個(gè)模型的平穩(wěn)性第4頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三例3.1平穩(wěn)序列時(shí)序圖第5頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三例3.1非平穩(wěn)序列時(shí)序圖第6頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三一階自回歸過程AR(1)的性

2、質(zhì)一階自回歸模型的形式為：或第7頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三1、平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：一個(gè)有限階的自回歸模型總是可逆的，所以，AR(1)模型總是可逆的。B.平穩(wěn)性：為滿足平穩(wěn)性， 的根必須在單位圓外，于是有：第8頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三AR模型平穩(wěn)性判別方法特征根判別AR(p)模型平穩(wěn)的充要條件是它的p個(gè)特征根都在單位圓內(nèi)根據(jù)特征根和自回歸系數(shù)多項(xiàng)式的根成倒數(shù)的性質(zhì)，等價(jià)判別條件是該模型的自回歸系數(shù)多項(xiàng)式的根都在單位圓外平穩(wěn)域判別 平穩(wěn)域第9頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三AR(1)模型平穩(wěn)條件特征根平穩(wěn)域

3、第10頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三二階自回歸AR(2)過程的性質(zhì)二階自回歸模型的形式為：或第11頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三B.平穩(wěn)性：為滿足平穩(wěn)性， 的根必須在單位圓外.1、平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：ar(2)模型總是可逆的。第12頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三第13頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三注：我們下面對AR(2)性質(zhì)的討論中都假定平穩(wěn)性條件滿足第14頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三-202-101實(shí)根復(fù)根AR(2)過程的平穩(wěn)性區(qū)域如下圖三角域所示第15頁

4、，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三AR(2)模型平穩(wěn)條件特征根平穩(wěn)域第16頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三例3.1平穩(wěn)性判別模型特征根判別平穩(wěn)域判別結(jié)論(1)平穩(wěn)(2)非平穩(wěn)(3)平穩(wěn)(4)非平穩(wěn)第17頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三p階自回歸過程AR(p)p階自回歸模型的形式為：或第18頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三B.平穩(wěn)性：為滿足平穩(wěn)性， 的根必須在單位圓外.平穩(wěn)性和可逆性A.可逆性：AR(p)模型總是可逆的。即如果1，2，p是 的根，那么它們的絕對值|i|1第19頁，共142頁，2022年，5

5、月20日，7點(diǎn)2分，星期三其實(shí)也就是要求特征方程的特征根都在單位圓內(nèi)。即如果1，2p是上述特征方程的p個(gè)特征根，那么為滿足平穩(wěn)性條件，必須有|i|1注：下面對AR(p)性質(zhì)的討論，都假定平穩(wěn)性條件滿足。第20頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三對于高階的自回歸過程，其平穩(wěn)性條件用其模型參數(shù)表示雖比較復(fù)雜，但都有最基本的一點(diǎn)：這是自回歸過程平穩(wěn)的必要條件之一。第21頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三平穩(wěn)AR模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)均值方差協(xié)方差自相關(guān)系數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)第22頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三均值 如果AR(p)模型滿足平穩(wěn)性條件

6、，則有根據(jù)平穩(wěn)序列均值為常數(shù)，且 為白噪聲序列，有推導(dǎo)出第23頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三Green函數(shù)定義AR模型的傳遞形式其中系數(shù) 稱為Green函數(shù)第24頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三Green函數(shù)遞推公式原理方法待定系數(shù)法遞推公式第25頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三方差平穩(wěn)AR模型的傳遞形式兩邊求方差得第26頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三例3.2:求平穩(wěn)AR(1)模型的方差平穩(wěn)AR(1)模型的傳遞形式為Green函數(shù)為平穩(wěn)AR(1)模型的方差第27頁，共142頁，2022年，5月2

7、0日，7點(diǎn)2分，星期三協(xié)方差函數(shù)在平穩(wěn)AR(p)模型兩邊同乘 ，再求期望根據(jù)得協(xié)方差函數(shù)的遞推公式第28頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三AR(1)過程第29頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三例3.3:求平穩(wěn)AR(1)模型的協(xié)方差遞推公式平穩(wěn)AR(1)模型的方差為協(xié)方差函數(shù)的遞推公式為第30頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三例3.4:求平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差平穩(wěn)AR(2)模型的協(xié)方差函數(shù)遞推公式為第31頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù)的定義平穩(wěn)AR(P)模型的自相關(guān)系數(shù)遞推公式第3

8、2頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三常用AR模型自相關(guān)系數(shù)遞推公式AR(1)模型AR(2)模型第33頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三AR模型自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)拖尾性呈復(fù)指數(shù)衰減第34頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三AR(1)過程的自相關(guān)函數(shù)第35頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三第36頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三第37頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三第38頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三通過上述推導(dǎo)可看出，當(dāng)過程平穩(wěn)即 時(shí)，AR(

9、1)過程的自相關(guān)函數(shù)（ACF）呈指數(shù)衰減。如果 ，那么所有的自相關(guān)系數(shù)都為正，并逐漸衰減。如果 ， 自相關(guān)系數(shù)的符號以負(fù)號開始，并呈正、負(fù)交替逐漸衰減。第39頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三例3.5自相關(guān)系數(shù)按復(fù)指數(shù)單調(diào)收斂到零第40頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三-6-4-202482848688909294969800模擬生成的AR(1)過程趨勢圖第41頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三例3.5:第42頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三-6-4-2024682848688909294969800Y模

10、擬生成的AR(1)過程趨勢圖第43頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三AR(2)過程的自相關(guān)函數(shù)第44頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三第45頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三第46頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三第47頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三通過上述推導(dǎo)可以如下結(jié)論，在AR(2)過程的平穩(wěn)性條件滿足時(shí)，如果特征方程的根為實(shí)根，即 時(shí)，AR(2)的自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減。如果特征方程的根為復(fù)根，即 時(shí)，AR(2)的自相關(guān)函數(shù)呈阻尼正弦波衰減。第48頁，共142頁，2022年，5

11、月20日，7點(diǎn)2分，星期三例3.5:自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)出“偽周期”性第49頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三例3.5:自相關(guān)系數(shù)不規(guī)則衰減第50頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三AR(p)的自相關(guān)函數(shù)ACF第51頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三第52頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三通過上述推導(dǎo)有如下結(jié)論：對于平穩(wěn)過程，有 |i|p時(shí)，上式分母行列式最后列是同一矩陣前面各列的線性組合。于是當(dāng)kp時(shí),有kk=0。所以， AR(p)過程的偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)滯后p階截尾。第75頁，共142頁，2022年，5月

12、20日，7點(diǎn)2分，星期三移動(dòng)平均過程的性質(zhì)第76頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三MA模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為 階自回歸模型，簡記為特別當(dāng) 時(shí)，稱為中心化 模型第77頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式引進(jìn)延遲算子，中心化 模型又可以簡記為 階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式第78頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三MA模型的可逆性MA模型自相關(guān)系數(shù)的不唯一性例3.6中不同的MA模型具有完全相同的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)第79頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三可逆的定義可逆MA模型定義若一個(gè)MA模型

13、能夠表示稱為收斂的AR模型形式，那么該MA模型稱為可逆MA模型可逆概念的重要性一個(gè)自相關(guān)系數(shù)列唯一對應(yīng)一個(gè)可逆MA模型。第80頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三可逆MA(1)模型 第81頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三MA模型的可逆條件MA(q)模型的可逆條件是：MA(q)模型的特征根都在單位圓內(nèi)等價(jià)條件是移動(dòng)平滑系數(shù)多項(xiàng)式的根都在單位圓外第82頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三MA(1)過程的平穩(wěn)性和可逆性A.平穩(wěn)性：AR(1)過程總是平穩(wěn)的。B.可逆性：為滿足可逆性，(B)=11B=0 的根必須在單位圓外。第83頁，共14

14、2頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三注：以后對MA(1)過程性質(zhì)的討論中，都假定可逆性條件滿足，即有：|1|0,那么PACF都為負(fù)，且呈指數(shù)衰減；如果10,那么PACF正負(fù)交替呈指數(shù)衰減。第115頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三MA(2)過程的偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)第116頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三對于MA(2)過程，我們有如下結(jié)論：如果其特征方程:11B2B2=0 的根是實(shí)數(shù)，則kk是兩個(gè)衰減指數(shù)的和；如果其根是復(fù)數(shù)，則kk 是一衰減的正弦波。第117頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三MA(q)過程的偏自

15、相關(guān)函數(shù)（PACF）要用明確的公式表示出MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)是很困難的，但是從前面我們對MA(1)、MA(2)的討論中，可以看出：MA(q)過程的偏自相關(guān)函數(shù)是由的根確定的，呈混合指數(shù)衰或阻尼正弦波衰減。第118頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾 第119頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三MA模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾 第120頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三自回歸移動(dòng)平均過程的性質(zhì)第121頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三ARMA模型的定義具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為自回歸移動(dòng)平均

16、模型，簡記為特別當(dāng) 時(shí)，稱為中心化 模型第122頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三系數(shù)多項(xiàng)式引進(jìn)延遲算子，中心化 模型又可以簡記為 階自回歸系數(shù)多項(xiàng)式 階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式第123頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三ARMA(1,1)的性質(zhì)第124頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三ARMA(1,1)過程的平穩(wěn)性和可逆性第125頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三2.ARMA(1,1)過程的ACF第126頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三第127頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2

17、分，星期三第128頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三通過上式可以看出，ARMA(1,1)過程的自相關(guān)函數(shù)具有AR(1)過程和MA(1)過程的組合特性。當(dāng)k=1時(shí)，自相關(guān)系數(shù)由1和1共同決定。當(dāng)k2時(shí)，自相關(guān)系數(shù)僅取決于1即差分方程(B)=0的根，呈指數(shù)衰減。第129頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三ARMA(1,1)過程的PACFARMA(1,1)過程的PACF和它的ACF一樣，也是呈指數(shù)衰減，不過指數(shù)衰減的形態(tài)由1和1共同決定，因此指數(shù)衰減的形態(tài)比MA(1)過程PACF指數(shù)衰減形式更多。第130頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期

18、三平穩(wěn)條件與可逆條件ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)條件P階自回歸系數(shù)多項(xiàng)式 的根都在單位圓外即ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性完全由其自回歸部分的平穩(wěn)性決定ARMA(p,q)模型的可逆條件q階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式 的根都在單位圓外即ARMA(p,q)模型的可逆性完全由其移動(dòng)平滑部分的可逆性決定第131頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三傳遞形式與逆轉(zhuǎn)形式傳遞形式逆轉(zhuǎn)形式第132頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三ARMA(p,q)模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)均值協(xié)方差自相關(guān)系數(shù)第133頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三ARMA模型的相關(guān)性自相關(guān)系數(shù)拖尾偏自相關(guān)系數(shù)拖尾第134頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三ARMA(p,q)過程的ACF第135頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三第136頁，共142頁，2022年，5月20日，7點(diǎn)2分，星期三由上推導(dǎo)可以得出結(jié)論：ARMA(p,q)模型的自相關(guān)函數(shù)滯后q階后拖尾。當(dāng)kq時(shí)，即前q項(xiàng)自相關(guān)系數(shù)q,q-11取決于自回歸和移動(dòng)平均的參數(shù)。當(dāng)kq+1時(shí)，它僅取決于中自回歸的