1、工程力學-壓桿穩(wěn)定10.1 壓桿穩(wěn)定性的概念 穩(wěn)定性概念 構(gòu)件在平衡的前提下，平衡形式可以是穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡和臨界平衡。判斷平衡是否穩(wěn)定，必須加干擾。干擾可以是加一個力；可以是使其振動；甚至是吹一口氣。 穩(wěn)定平衡：干擾去掉以后，構(gòu)件可以完全恢復原有形式下的平衡，稱為穩(wěn)定平衡。 不穩(wěn)平衡：干擾去掉以后，構(gòu)件不能完全恢復原有形式下的平衡，稱為不穩(wěn)定平衡。 臨界平衡：臨界情況。小變形情況下，干擾到那里，就在那里保持曲線形式的平衡。 注意：不要混淆平衡的概念和穩(wěn)定性的概念。構(gòu)件不穩(wěn)定，不是指不平衡。穩(wěn)定性是指平衡形式是否穩(wěn)定，是在已經(jīng)平衡的前提下來討論該平衡形式是否穩(wěn)定。 現(xiàn)以如圖10-2所示一端

2、固定，一端自由細長的壓桿來說明這類問題。若壓桿為中心受壓的理想直桿，即假設：(1) 桿是絕對直桿，無初曲率。(2) 外力F絕對通過軸線，無偏心。(3) 材料絕對均勻。 則在外力F 的作用下，F(xiàn) 無論有多大，也沒有理由往旁邊彎曲。設壓桿受到干擾而彎曲，去掉干擾后，則任意橫截面上，有兩種彎矩在抗衡：MW = Fw使桿繼續(xù)彎曲。M = EIw使桿回彈。 若壓力F Fcr，這時MWFcr，這時MW M ，桿件的平衡將失去穩(wěn)定性。干擾解除后，桿件將繼續(xù)彎曲，不能恢復，表明壓桿在原來直線形狀下的平衡是不穩(wěn)平衡，見圖10-2(d)。壓桿喪失其直線形狀的平衡形式的穩(wěn)定性，稱為喪失穩(wěn)定，簡稱失穩(wěn)，也稱為屈曲。

3、兩端鉸支細長壓桿的歐拉公式 細長的中心受壓直桿在臨界力作用下，其材料仍處于理想的線彈性范圍內(nèi)，這類穩(wěn)定問題稱為線彈性穩(wěn)定問題。 理想壓桿兩端鉸支的歐拉臨界力公式為： （10-1）式中：E為彈性模量，EI 為彎曲剛度，L為壓桿長度。 其他支承形式下的臨界力 一端固定另一端自由，長度為L的壓桿的撓曲線，相當于兩端鉸支長為2L的壓桿撓曲線的上半部分，所以，一端固定另一端自由，長度為L的壓桿的臨界壓力，等于兩端鉸支長為2 L的壓桿的臨界力，即 (10-2) 對于兩端固定的壓桿如圖 10-4(c)所示，其撓曲線上有兩個距端部L/4處的拐點，即彎矩等于零的點，在力學上相當于鉸鏈。因此在這種支承形式下，壓桿

4、的臨界力只要在兩端鉸支的臨界力公式中，以0.5L替代長度L即可。 對于一端固定、一端鉸支的壓桿如圖10-4(d)所示，在其撓曲線上距下端0.3L處有一個拐點，這樣上下兩個鉸鏈的長度0.7L，因此在這種支承形式下，壓桿的臨界力只要在兩端鉸支的臨界力公式中，以0.7L替代長度l即可。10.2 細長桿臨界力 例10-1 如圖10-6所示細長壓桿，一端固定，另一端自由。已知其彈性模量E =10GPa ，長度l = 2m。試求h =160mm,b = 90mm和h = b =120mm兩種情況下壓桿的臨界力。解：(1) 計算情況的臨界力 截面對 y, z 軸的慣性矩分別為由于 Iy Iz ，所以壓桿必然

5、繞y軸彎曲失穩(wěn)，應將Iy代入公式(11.3)計算臨界力，根據(jù)桿端約束=2，即(2) 計算情況的臨界力，截面對 y, z 軸的慣性矩相等，均為10.3 臨界應力與臨界應力總圖 臨界應力 將壓桿的臨界力Fcr除以桿的橫截面面積A，變得到壓桿橫截面上的應力，稱為壓桿的臨界應力，用cr表示，即若令I /A = i2，即 ，i稱為壓桿橫截面的慣性半徑，臨界應力公式又可寫為 或 (10-4) 歐拉公式的適用范圍 由于推導臨界力的歐拉公式時，應用的是僅適用于比例極限以內(nèi)的撓曲線近似微分方程，因此由歐拉公式計算的臨界應力也不得超過材料的比例極限，即 p用柔度表示為 (10-5)令 p= (10-6)p是對應于

6、材料比例極限時的柔度值，稱為壓桿的極限柔度，也就是適用歐拉公式的最小柔度值。 臨界應力總圖 歐拉公式適用范圍的討論可知，根據(jù)桿件柔度的大小，可以將壓桿分為三類，并按其不同方式確定其臨界應力。細長桿，即p 時，用歐拉公式計算臨界應力；中長桿，即s p時，用經(jīng)驗公式計算臨界應力；短桿，即s時，這類壓桿一般不會失穩(wěn)，而可能發(fā)生屈服或是斷裂，按強度問題處理。 塑性材料壓桿的臨界應力隨其柔度而變化的情況如圖10-8，此圖稱為臨界應力總圖。從圖中可以看出，短桿的臨界應力與 值無關，而中長桿的臨界應力則隨 值的增加而減??；中長桿的臨界應力大于比例極限，而細長桿的臨界應力小于比例極限p。10.4 壓桿的穩(wěn)定計

7、算及合理設計 壓桿的穩(wěn)定條件1. 安全因數(shù)法壓桿的穩(wěn)定條件為： F 或 (10-10)式中nst 為規(guī)定的穩(wěn)定安全因數(shù)。臨界力Fcr與壓桿工作壓力F的比值，表示壓桿工作時的實際穩(wěn)定性儲備，稱為壓桿的工作穩(wěn)定安全因數(shù)，用n表示。于是得到安全因數(shù)表示的壓桿穩(wěn)定條件 n = nst (10-11)2. 穩(wěn)定因數(shù)法 =此式中，系數(shù) 為穩(wěn)定因數(shù)，其反映壓桿穩(wěn)定許用應力隨著壓桿柔度改變這一特點。 例10-3 空氣壓縮機的活塞桿由45號鋼制成s = 350MPaP = 280MPa ，E = 200GPa。長度L = 703mm，直徑d = 45mm。最大壓力F = 41.6kN。規(guī)定安全因數(shù)nst810。試校核其穩(wěn)定性。 解：由公式(10-6)，求出 p= =活塞桿兩端可簡化為鉸支座，所以=1?；钊麠U截面為圓形 ，由于p ，所以歐拉公式不再適用。由表 11-2 得到優(yōu)質(zhì)碳鋼 45號鋼的a = 460MPa，b = 2.57MPa ，代入公式(11.9)可見活塞桿sp，是中