1、 PAGE PAGE 8第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)最新課程標(biāo)準(zhǔn) 1.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用(重點(diǎn)) 2熟練掌握等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))3能用遞推公式求通項(xiàng)公式(難點(diǎn))教材要點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一等比中項(xiàng)(1)前提：三個(gè)數(shù)x，G，y成等比數(shù)列(2)結(jié)論：_叫做x，y的等比中項(xiàng)(3)滿足的關(guān)系式：G2_.eq x(狀元隨筆)任意兩數(shù)都有等比中項(xiàng)嗎？提示不是，只有同號(hào)的兩數(shù)才有知識(shí)點(diǎn)二“子數(shù)列”性質(zhì)對(duì)于無窮等比數(shù)列an，若將其前k項(xiàng)去掉，剩余各項(xiàng)仍為_，首項(xiàng)為_，公比為_；若取出所有的k的倍數(shù)項(xiàng)，組成的數(shù)列仍為_，首項(xiàng)為_，公比為_知識(shí)點(diǎn)三等比數(shù)列項(xiàng)的運(yùn)算性質(zhì)在等比數(shù)列an中，若stpq(s

2、，t，p，qN)，則asat_.特別地，當(dāng)pq2s(p，q，sN)時(shí)，apaq_.對(duì)有窮等比數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的_，即a1ana2an1akank1.知識(shí)點(diǎn)四兩個(gè)等比數(shù)列合成數(shù)列的性質(zhì)若數(shù)列an，bn均為等比數(shù)列，c為不等于0的常數(shù)，則數(shù)列can，anbn，eq blcrc(avs4alco1(f(an,bn)也為_知識(shí)點(diǎn)五等比數(shù)列的單調(diào)性 基礎(chǔ)自測(cè)1已知等比數(shù)列an，a11，a3eq f(1,9)，則a5等于()Aeq f(1,81) Beq f(1,81)C.eq f(1,81) Deq f(1,2)2已知在等比數(shù)列an中，an1an，a2a86，a4a65，

3、則eq f(a5,a7)等于()A.eq f(5,6) B.eq f(6,5)C.eq f(2,3) D.eq f(3,2)3等比數(shù)列an中，a1eq f(1,8)，q2，則a4與a8的等比中項(xiàng)為_4若a，b，c既成等差數(shù)列，又成等比數(shù)列，則它們的公比為_題型一等比中項(xiàng)的應(yīng)用例1在等差數(shù)列an中，公差d0，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，則eq f(a1a3a9,a2a4a10)等于多少？方法歸納由等比中項(xiàng)的定義可知：eq f(G,x)eq f(y,G)G2xyGeq r(xy).這表明只有同號(hào)的兩項(xiàng)才有等比中項(xiàng)，并且這兩項(xiàng)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)反之，若G2xy，則eq f(G,x)e

4、q f(y,G)，即x，G，y成等比數(shù)列所以x，G，y成等比數(shù)列G2xy(xy0)跟蹤訓(xùn)練1若1，a,3成等差數(shù)列，1，b,4成等比數(shù)列，則eq f(a,b)的值為()Aeq f(1,2)B.eq f(1,2)C1 D1題型二等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例2已知數(shù)列an為等比數(shù)列(1)將公比為q的等比數(shù)列an依次取相鄰兩項(xiàng)的乘積組成新的數(shù)列a1a2，a2a3，a3a4A公比為q的等比數(shù)列B公比為q2的等比數(shù)列C公比為q3的等比數(shù)列D不一定是等比數(shù)列(2)若a1a2a37，a1a2a38，求數(shù)列(3)若an0，且a2a42a3a5a4a636，求a方法歸納在等比數(shù)列的有關(guān)運(yùn)算中，常常涉及到次數(shù)較高的指數(shù)運(yùn)

5、算若按常規(guī)解法，往往是建立a1，q的方程組，這樣解起來很麻煩通過本例可以看出：結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行整體變換，會(huì)起到化繁為簡的效果跟蹤訓(xùn)練2(1)下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積B當(dāng)q1時(shí)，an為遞增數(shù)列C當(dāng)q1時(shí)，an為常數(shù)列D當(dāng)a10，q1時(shí)，an為遞增數(shù)列(2)在等比數(shù)列an中，已知a4a72，a5a68，求a1a10題型三靈活設(shè)項(xiàng)求解等比數(shù)列例3有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，求這四個(gè)數(shù)方法歸納合理地設(shè)出所求數(shù)中的三個(gè)數(shù)，根據(jù)題意再表示出另一個(gè)是解決

6、這類問題的關(guān)鍵，一般地，三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為eq f(a,q)，a，aq；三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為ad，a，ad.跟蹤訓(xùn)練3三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其積為512，如果第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減去2，則這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求這三個(gè)數(shù)教材反思1本節(jié)課的重點(diǎn)是等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，難點(diǎn)是等比數(shù)列性質(zhì)的推導(dǎo)2要重點(diǎn)掌握等比數(shù)列的常用性質(zhì)：(1)如果stpq，則有asatapaq；(2)如果2spq，aeq oal(2,s)apaq；(3)若s，t，p成等差數(shù)列，as，at，ap成等比數(shù)列；(4)在等比數(shù)列an中，每隔k項(xiàng)(kN)取出一項(xiàng)，按原來的順序排列，所得的新數(shù)列仍為等比數(shù)列；(5)如果an，bn均為等比

7、數(shù)列，且公比分別為q1，q2，那么數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)，anbn，eq blcrc(avs4alco1(f(bn,an)，|an|仍是等比數(shù)列，且公比分別為eq f(1,q1)，q1q2，eq f(q2,q1)，|q1|；(6)等比數(shù)列的項(xiàng)的對(duì)稱性：在有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積，即a1ana2an1a3an2.eq x(溫馨提示：請(qǐng)完成課時(shí)分層作業(yè)七)第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)新知初探自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一(2)G(3)xy知識(shí)點(diǎn)二等比數(shù)列ak1q等比數(shù)列akqk知識(shí)點(diǎn)三 apaqaeq oal(2,s)積知識(shí)點(diǎn)四等比數(shù)列基礎(chǔ)自測(cè)1

8、解析：在等比數(shù)列中，aeq oal(2,3)a1a5，所以a5eq f(aoal(2,3),a1)eq f(1,81).答案：C2解析：由a2a8a4a66，a4a65，a6a4，得a62，a43，eq f(a5,a7)eq f(a4,a6)eq f(3,2)，故選D.答案：D3解析：a4a1q3eq f(1,8)231，a8a1q7eq f(1,8)2716，a4與a8的等比中項(xiàng)為eq r(16)4.答案：44解析：只有非零常數(shù)列才滿足題意，所以公比q1.答案：1課堂探究素養(yǎng)提升例1解析：由題意知a3是a1和a9的等比中項(xiàng)，aeq oal(2,3)a1a9，(a12d)2a1(a18d)，得

9、a1d，eq f(a1a3a9,a2a4a10)eq f(13d,16d)eq f(13,16).跟蹤訓(xùn)練1解析：1，a,3成等差數(shù)列，aeq f(13,2)2，1，b,4成等比數(shù)列，b214，b2，eq f(a,b)eq f(2,2)1.答案：D例2解析：(1)由于eq f(anan1,an1an)eq f(an,an1)eq f(an1,an)qqq2，n2且nN，anan1是以q2為公比的等比數(shù)列，故選B.(2)aeq oal(2,2)a1a3代入已知，得aeq oal(3,2)8，a22.設(shè)前三項(xiàng)為eq f(2,q)，2,2q，則有eq f(2,q)22q7.整理，得2q25q20，q

10、2或qeq f(1,2).eq blcrc (avs4alco1(a11，,q2)或eq blcrc (avs4alco1(a14，,qf(1,2).)an2n1或an23n.(3)a2a42a3a5aeq oal(2,3)2a3a5aeq oal(2,5)36，(a3a5)236，又an0，a3a56.跟蹤訓(xùn)練2解析：(2)因?yàn)閿?shù)列an為等比數(shù)列，所以a5a6a4a聯(lián)立eq blcrc (avs4alco1(a4a72，,a4a78.)可解得eq blcrc (avs4alco1(a44，,a72)或eq blcrc (avs4alco1(a42，,a74).當(dāng)eq blcrc (avs4a

11、lco1(a44，,a72)時(shí)，q3eq f(1,2)，故a1a10eq f(a4,q3)a7q37；當(dāng)eq blcrc (avs4alco1(a42，,a74)時(shí)，q32，同理，有a1a107.答案：(1)B(2)見解析例3解析：法一：設(shè)四個(gè)數(shù)依次為ad，a，ad，eq f(ad2,a)，由條件得eq blcrc (avs4alco1(adf(ad2,a)16，,aad12，)解得eq blcrc (avs4alco1(a4，,d4)或eq blcrc (avs4alco1(a9，,d6.)所以，當(dāng)a4，d4時(shí)，所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16；當(dāng)a9，d6時(shí)，所求四個(gè)數(shù)為15,9,3,1.故所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.法二：設(shè)四個(gè)數(shù)依次為eq f(2a,q)a，eq f(a,q)，a，aq(a0)，由條件得eq blcrc (avs4alco1(f(2a,q)aaq16，,f(a,q)a12.)解得eq blcrc (avs4alco1(a8，,q2)或eq blcrc (avs4alco1(a3，,qf(1,3).)當(dāng)a8，q2時(shí)，所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16